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 #1 - 20-12-2016 11:35:30

Bogriga
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 5

patron triangulaore

Peut-on envelopper un cube avec une forme triangulaire, bien sur de façon "one-to-one" c'est à dire tous les points du cube sont couverts par un point et un seul du triangle, tous les points du triangle recouvrent un point et un seul du cube. Pas de plis.

Origine "Town Tournament". Un jeu-concours d'origine Russe. La réponse intuitive est NON. Je sais commencer : un sommet du cube ne peut pas être recouvert par un point intérieur du triangle, parce qu'autour d'un tel point, il y a 360° de triangle alors que autour du sommet du cube, 270° de faces de cube. Donc un sommet du cube doit être recouvert par un sommet du triangle, ou un point d'un côté du triangle. Mais après...mad ce n'est pas si facile. Je cherche, évidement, une démonstration claire...



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 #2 - 20-12-2016 18:16:08

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4776

patrin triangulaire

J'ai jeté un coup d’œil , c'est joli et pas évident smile

Le tournoi des villes a une vocation internationale , il s'est arrêté en France il y a quelques années faute de volontaires pour encadrer l'affaire ( je ne sais pas s'il a repris depuis ) .

J'ai toujours adoré ces petits problèmes qui l'air de rien remuent pas mal de choses .

Je ne suis pas sûr qu'il faille raisonner sur les angles . En tout cas il est clair qu'aucun "nœud" du patron ne peut être à l'intérieur du triangle , après il faut voir .

Vasimolo

 #3 - 21-12-2016 09:17:01

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 390

Patron trriangulaire

Spoiler : [Afficher le message] Il ne manque pas grand-chose à ton raisonnement pour que ce soit bon.

Autour d'un sommet du cube, il y a effectivement 270°. Si tu le recouvres avec un côté du triangle, cela enlève 180°. Il reste alors 90° que tu dois recouvrir avec au moins un sommet du triangle. Sinon, tu peux aussi recouvrir le sommet du cube avec plusieurs sommets du triangle. Mais dans tous les cas, au moins un sommet du triangle sera accaparé par le sommet du cube.

Il y a 8 sommets dans le cube et seulement 3 dans le triangle, donc il n'y aura pas assez de sommets dans le triangle pour tout le monde...

Ce raisonnement montre d'ailleurs qu'il faudrait au moins un octogone pour que ça fonctionne. Et avec un octogone, ça peut fonctionner : voir par exemple le patron classique du cube, formé de 6 carrés placés en forme de "T", c'est un octogone.

 #4 - 21-12-2016 09:28:07

Bogriga
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 5

patron trianhulaire

J'ai compris et je suis d'accord.

 #5 - 21-12-2016 10:29:41

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4776

patron truangulaire

J'ai trouvé ça http://www.diophante.fr/problemes-par-t … n-triangle qui reprend et prolonge les idées déjà développées .

Une question bonus :

On accepte les chevauchements et les fentes dans le patron ( à condition qu'il reste d'un seul tenant ) . Quelle aire minimale faut-il prévoir au triangle pour qu'il puisse recouvrir complètement les six faces du cube d'arête 1 ?

Vasimolo

 #6 - 21-12-2016 12:35:18

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4776

Patron trianguaire

Pour le bonus voilà ce que j'ai trouvé de mieux :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-Patrontriangulaire1.png


Le patron du cube préexiste dans le triangle ( on peut découper le triangle en conservant un patron du cube ) . Est-ce toujours vrai ou peut-on imaginer un triangle ne contenant aucun patron du cube mais pouvant le former ?

La question est sûrement très con ( un peu comme moi depuis un moment smile )

Vasimolo

 #7 - 21-12-2016 13:21:41

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

Ptron triangulaire

Mon idée, plus générale, serait de prouver qu'il est impossible d'envelopper un volume avec un polygone convexe.

 #8 - 21-12-2016 14:29:12

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,601E+3

PPatron triangulaire

Ca parait compromis avec une pyramide à base triangulaire... (tetraèdre, dont le patron est un triangle ) .

 #9 - 21-12-2016 15:40:43

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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patron trianfulaire

Voilà de quoi répondre à ta question Vasimolo :

http://www.prise2tete.fr/upload/Ebichu-triangle-autour-cube-v2.png

Au passage, si on considère que le cube est de côté 1, mon triangle a pour aire 841/108 soit environ 7,787. Le minimum théorique étant de 6, il y a sans doute encore de la place pour améliorer cela.

 #10 - 21-12-2016 17:28:51

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4776

atron triangulaire

Joli Ebichu smile

A part le tétraèdre , un autre patron convexe ?

Vasimolo

 #11 - 21-12-2016 19:05:24

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
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PPatron triangulaire

Je suppose que si je propose le carré (patron du tore), on va dire que je triche big_smile

 #12 - 21-12-2016 19:16:18

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4776

Patron triangulaie

Tu le fais en papier , tu nous le montre et on valide lollollol

On cherche plutôt le patron d'un polyèdre , mais bon ...

Vasimolo

 #13 - 22-12-2016 17:28:18

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 390

Patron trianulaire

Je reviens à la question bonus. J'ai amélioré le patron au prix d'une astuce de découpage, et on obtient désormais 361/48 soit environ 7,52.

http://www.prise2tete.fr/upload/Ebichu-triangle-autour-cube-v3.png

C'est un problème ouvert sans doute très riche !

 #14 - 22-12-2016 20:44:23

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3003
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

oatron triangulaire

Si on n'accepte pas de chevauchements, on peut se poser la question de combien de triangles il nous faut pour recouvrir un cube...
Il est tres facile de le faire avec 4 triangles, mais peut-on le faire avec 3 seulement. Theoriquement, 3 triangles ont en commun un total de 9 cotés, et on sait qu'il nous faut au moins un octogone, donc serait possible?


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #15 - 22-12-2016 21:28:31

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 151

Patron triangulaiire

c'est exactement ce que propose d'infirmer le lien du message 5

 #16 - 23-12-2016 12:42:52

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4776

payron triangulaire

@Ebichu,

bravo pour le petit perfectionnement ( à peine plus d'une face et demi perdue en coupe , il sera très difficile de faire mieux ) . Le triangle est construit sur l'un des onze patrons du cube les dix autres étant bien moins performants . J'ai cherché un peu de références sur la toile sans succès .

Sans vouloir ajouter un bonus au bonus , la recherche du meilleur "patron" taillé dans une feuille carrée ou rectangulaire ne manque pas d'intérêt , elle non plus .

Vasimolo

 #17 - 23-12-2016 16:15:22

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 151

parron triangulaire

Bonjour, voici ma recherche
http://www.prise2tete.fr/upload/caduk-patronDansTriangle.JPG
L'aire de ce triangle est de 7.7511953942878
Ses mensurations sont de 0.2612924 pour la distance entre le bas du carré rouge et le bas du triangle, de 4.78388 pour la distance entre le bas du carré rouge et le sommet supérieur du triangle, et sa demi-base est égale à 1.5363588753256
On obtient donc très légèrement mieux que le premier avec ce découpage. En utilisant l'astuce d'Ebichu pour améliorer son découpage, on obtient 0.2023918959 pour la distance entre le bas du carré rouge et le bas du triangle
Etonnament, on obtient donc une nouvelle aire de 7.6607030820299, donc moins bien que la meilleure solution trouvée...
J'ai essayé de calculer le minimum en prenant directement en compte le découpage optimal, mais mes calculs n'ont jamais aboutis sur wolfram alpha. Quand à le calculer à la main, le système est trop complexe pour obtenir une formule analytique simple.
Conclusion: il y a peut être une forme optimale pas loin de ça, mais bien dure à calculer...
Sinon, il faut révolutionner le découpage, mais je n'ai rien trouvé de mieux...

Pour ouvrir la recherche sur le rectangle, sans avoir trop creusé, o trouve un aire de 8 en mettant 4 carrés d'affilés et 4 rectangles sur les côtés du patron. C'est moins bien que le triangle donc on doit surement pouvoir améliorer...

 #18 - 26-12-2016 11:05:52

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Messages : 5,601E+3

Patron riangulaire

On peut faire 7,2 faces en rusant un peu :
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-rectcarre.PNG

 #19 - 26-12-2016 11:12:59

caduk
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 151

Patron trianglaire

J'ai un doute sur le carré bleu, es tu sûr qu'il formera un carré après repliement ?(qu'il soit collé au coté bleu ou vert, le triangle bleu en bas à gauche ne semble pas se disposer au bon endroit...)
Edit:
Bon, l'aire de la zone bleue est de toute manière supérieure à 1.
Mais en déplaçant et en rétrécissant le triangle bleu, je pense que l'on conserve une bonne forme...
Edit:
En fait, il suffit de réduire les triangles bleus, et tout tient dans le même rectangle, on trouve donc bien une aire de 7,2

 #20 - 26-12-2016 12:07:21

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4776

Patron triangullaire

Super astucieux le triangle bleu : bien vu Gwen !

Vasimolo

 #21 - 26-12-2016 17:24:13

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Messages : 5,601E+3

Patron trriangulaire

Ce qui m'étonne c'est de ne pas réussir à le transformer en triangle...

 

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