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 #1 - 03-10-2017 22:48:21

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4986

Gâtau 145

Dans la même veine que le précédent smile

Mon courageux pâtissier a réalisé un cube de 20 cm d'arête avec 2 000 caramels de dimensions : 2 cm X 2 cm X 1 cm .

Une illustration avec un petit cube de 4 cm d'arête ( pas le courage de faire plus tongue )

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau145.png

Il a réussi à faire passer un pic d'une face à une autre sans percer les caramels . Ici il est passé par le centre du cube mais ce n'est pas une obligation .

Quelque soit la disposition des caramels , est-il assuré de réussir son projet ???

Amusez-vous bien smile

Vasimolo

Indice :Spoiler : [Afficher le message] http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-145indice.png



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 #2 - 04-10-2017 13:32:01

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,713E+3

GGâteau 145

Impossible, ils vont par paire (de même position et de même orientation selon leur axe central).
Or, il en faut 3 x 19 x 19 dans des positions qui s'excluent.

Il en faudrait donc 1083 x 2 , on n'en a que 2000.

 #3 - 04-10-2017 16:09:55

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4986

Gâteauu 145

C'est ça Gwen , comment justifies-tu cet appariement ?

Vasimolo

 #4 - 04-10-2017 16:43:32

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,713E+3

Gâetau 145

Juste par parité le long d'une arête, les deux autres sortes de forme amenant une dimension 2.

Puis par récurrence, une fois les "bords" du cube remplis avec cette contrainte.

 #5 - 04-10-2017 18:45:50

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4986

Gâetau 145

Pour les arêtes c'est clair mais je ne vois pas comment tu étends ça à l'ensemble du cube , la récurrence fonctionne assez mal avec un cube quelque peu boutonneux .

Vasimolo

 #6 - 04-10-2017 19:12:01

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,713E+3

Gâteu 145

Si je remplis uniquement une couche d'une face du cube, sur une épaisseur (dépassant ou pas sur la seconde couche ) les éléments "dépassant" seront en nombre pair dans les deux dimensions quelles que soient la ligne ou la colonne (sinon, la première couche n'est pas remplie) . Ils le seront donc sur la couche suivante que je dois finir de remplir avec le même constat, partant d'un nombre pair pour arriver à un nombre pair.

 #7 - 04-10-2017 19:51:48

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4986

âGteau 145

D'accord , la récurrence démarre après le remplissage d'une face smile

On peut faire plus simple avec une petite astuce .

Vasimolo

 #8 - 05-10-2017 12:11:46

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4986

Gteau 145

J'ai ajouté un indice dans le message initial .

Il ne faut surtout pas chercher quelque chose de compliqué smile

Vasimolo

 #9 - 05-10-2017 19:56:05

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 524

Gâteeau 145

Il y a 19*19*3=1083 axes. Il y a 2000 caramels, et chaque caramel ne bloque qu'un axe ; or comme les caramels sur un même axe sont en nombre pair, il y a au plus 1000 axes recouverts, et donc on peut traverser le grand cube de 83 façons différentes au moins.

La difficulté est de prouver que les caramels sur un même axe sont en nombre pair. Or je vois ça par récurrence, comme gwen27 si je comprends bien.

Découpons notre grand cube en minces colonnes verticales de 1x1x20, et prenons une de ces colonnes. Chaque caramel vertical (deux directions différentes) qui recouvre cette colonne en recouvre 2 cubes unité 1x1x1. Donc il y a un nombre pair de caramels horizontaux qui recouvrent cette colonne, chacun recouvrant un unique cube unité. Le problème est que ces caramels horizontaux ne sont a priori pas appariés en caramels de même axe ; or c'est bien le cas.

Pour le prouver, on considère une colonne verticale placée dans un coin du cube ; les caramels horizontaux qui la recouvrent sont tous alignés sur un même axe, les caramels sur cet axe sont donc en nombre pair. Si je considère une colonne juste à côté, les caramels horizontaux qui la recouvrent sont les mêmes caramels que ci-dessus (donc en nombre pair), ou ceux alignés sur un axe adjacent, qui sont donc aussi en nombre pair. De proche en proche, on montre cette propriété pour chaque axe vertical.

Il suffit enfin de faire pareil pour les deux autres directions.

 #10 - 05-10-2017 22:26:53

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4986

âGteau 145

Oui Ebichu , tu as la même approche que Gwen smile

As-tu regardé ce qui se passait si le caramel vert était le seul sur son axe ?

Vasimolo

 #11 - 06-10-2017 08:01:50

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 524

gâtrau 145

Ha oui, je n'avais pas vu l'indice.

Effectivement, le caramel vert serait le seul à contribuer pour 1 cube unité dans la colonne jaune de devant, les autres caramels contribuant pour 2. Ce qui contredit que le nombre de cubes unité dans la colonne jaune soit pair. Joli smile

 #12 - 06-10-2017 12:44:05

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4986

Gtâeau 145

Voilà Ebichu , ces problèmes de parité sont toujours très bluffant smile

Vasimolo

 #13 - 07-10-2017 09:53:15

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4986

Gtâeau 145

Pour résumer smile

Il y a en tout 19 X 19 X 3 = 1083 lignes susceptibles de traverser le cube sans dégâts  . Supposons que chacune d’entre elles soit empêchée par un caramel mal placé .

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-145indice.png

On découpe virtuellement le cube comme le suggère l’illustration , la ligne marron étant gênée par le caramel vert .

Chacun des pavés bleus ou jaunes contient un nombre pair de cubes unités ( 1 X 1 X 1 ) . Un caramel percé par la ligne marron envoie un cube unité dans chaque zone , tous les autres en envoient un nombre pair ( 0 , 2 ou 4 ) . Pour une raison évidente de parité , la ligne marron va nécessairement traverser un deuxième caramel . D’autre part un caramel donné ne peut pas bloquer plus d’une ligne marron . Pour chacune des 1083 lignes il faut donc au moins deux caramels pour interdire l’entreprise mais 1083 X 2 = 2166 est supérieur aux 2000 caramels disponibles . Pour conclure le pâtissier pourra toujours réaliser son exploit .

Un grand merci aux participants smile

Vasimolo

 

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