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 #1 - 03-05-2010 13:24:07

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

ateau 5 suite

On a vu que si l'on prenait un gabarit on arrivait toujours à 1; 2 ou 3 parts d'angle différents.

Si on prend un gabarit où l'angle est un entier n entre 1 et 360.
On montre qu'après un certain nombre de rotation on arrive au premier coup de couteau dans le gâteau et toutes les parts seront les mêmes

Quel sera en fonction de n l'angle de la part obtenue?
Combien en fonction de n aura-t-on obtenu de part?



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 #2 - 03-05-2010 14:09:05

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Gataeu 5 suite

On taillera juste assez de parts (un nombre k) pour que nk soit multiple de 360.

J'en déduis que l'angle de chaque nouvelle part est a=pgcd(n,360).

Le nombre de parts taillées est alors 360/pgcd(n,360), mais comme on sait que pgcd(a,b)*ppcm(a,b)=a*b, on peut simplifier :

On aura découpé ppcm(n,360)/n parts.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 03-05-2010 16:22:00

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 933

Gateua 5 suite

Il y a du Bézout là-dessous cool
L'angle de chaque part sera d=PGCD(n;360) et le nombre de parts 360/d.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #4 - 03-05-2010 16:28:05

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

Gateau 5 suitte

Prendre un angle, c'est prendre [latex]$x$[/latex] fois [latex]$2\pi$[/latex] (ou [latex]$x$[/latex] fois 360 degrés).

Si [latex]$x$[/latex] est un rationnel, alors on retombera sur ses pattes, c'est une question de primalité qui détermine alors l'angle final: soit [latex]$x=p/q$[/latex] avec [latex]$p$[/latex] et [latex]$q$[/latex] premiers entre eux... Alors après [latex]$q$[/latex] itérations, on aura parcouru un angle total de [latex]$p\times 2\pi$[/latex] en tout et on découpé toutes les parts sans jamais retomber sur une découpe déjà faite (sinon ça contredit la primalité de [latex]$p$[/latex] et [latex]$q$[/latex].); et les parts sont d'angle [latex]$2\pi/q$[/latex]. Donc dans le cas un entier entre 1 et 360 pour des degrés, soit [latex]$n$[/latex] cet entier : alors on a [latex]$x=n/360=\frac{n/(n \wedge 360)}{360/(n \wedge 360)}$[/latex] et donc les parts auront un angle de [latex]$\frac{2\pi\times (n \wedge 360)}{360}$[/latex] soit en degrés : [latex]$ n\wedge 360$[/latex]. Exemple [latex]$n=95=19*5$[/latex] donnera des angles de [latex]$n\wedge 360=5$[/latex] degrés.

Si [latex]$x$[/latex] n'est pas un rationnel, alors on ne retombe jamais sur ses pattes et on découpe des parts toujours plus petites jusqu'à en faire de la bouillie. En même temps en découpant des parts de moins de 10 degrés je pense que c'est déjà de la bouillie.

 #5 - 04-05-2010 17:18:35

VanSS
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 31

Gateau 5 suitee

Pour savoir combien de coupes il faut avant de revenir sur le premier coup de couteau, il faut trouver le minimum des k ds N* qui résout kn=0 mod 360
(c'est à dire un nombre qui multiplié par n soit un multiple de 360, de nombreux algorithme comme Bèzout font cela très bien).

Ensuite c'est très simple comme on a fait k coupes, on a k parts et chacune est de taille 360/k, j'ai un peu la flemme de vous donner le tableau pour chaque valeur par contre on peut déjà dire que le résultat pour n et 360-n sera le même.

 #6 - 04-05-2010 22:29:22

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gateai 5 suite

Bonsoir smile

En fait ta question ne demande rien d'autre que de déterminer l'ordre de l'entier [latex]n[/latex] dans [latex]\mathbb{Z}/360\mathbb{Z}[/latex] . Si on note [latex]d=PGCD(n,360)[/latex] alors le nombre de parts est [latex]\frac{360}{d}[/latex] et l'angle de chaque part est [latex]d[/latex] .

Pour s'amuser , on peut aussi choisir un gabarit dont l'angle est un nombre rationnel de degrés , 57,24°  par exemple wink

Vasimolo

 #7 - 06-05-2010 16:21:18

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

fateau 5 suite

bravo a tous

 

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