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 #1 - 03-05-2017 16:08:20

Sebhash
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2

Boit maximale

Mon fils préféré (et mon seul) a eu un petit exo de math à priori tout simple :

on a une feuille de carton de largeur 40 cm, on enlève un carré de largeur x à chaque coin de manière à avoir le "patron" d'une boite sans couvercle.
il suffit de replier les bords pour former la boite.

1) La question est basique : quel doit être x pour que le volume de la boite soit maximal.

PS : J'ai trouvé la solution (mais en utilisant une fonction polynomiale puis en cherchant  par la dérivée, ce qui est largement en dehors de son programme de 3ème).

2) La question que je me pose est que se passe t'il si on fait varier la taille du carton (on la note L et non plus 40cm). On constate facilement que le ratio est toujours le même, et donc que le volume maximal est aussi toujours le même en fonction de L

Par contre je n'arrive pas à trouver de méthode élégante pour le "prouver".



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 #2 - 03-05-2017 22:21:22

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
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boite maxilale

À mon avis, le prof de ton fils n'attend pas une méthode élégante. J'imagine plutôt qu'il attend qu'il teste quelques exemples, puis qu'il cherche par tâtonnement une valeur approchée de la solution ; voire qu'il trace la courbe. L'idée sous-jacente est sans doute de lui faire découvrir ou utiliser la notion de fonction.

Néanmoins, la question de l'existence d'une méthode élémentaire est intéressante, je vais y réfléchir.

 #3 - 03-05-2017 22:26:03

Sebhash
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2

bpite maximale

Je pense avoir réussi à montrer que pour un carton de taille L de coté, la taille de x est de L/6 par une fonction de calcul de volume, qu'on dérive puis résoudre l'équation de second degré en gardant la variable L. Le volume max dans cette configuration étant donné par 2/27 L^3.

Mais bon j'aurai préféré trouver une solution moins "technique"

 #4 - 04-05-2017 08:32:28

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
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Boite maximlae

Oui, c'est bien ça la solution. J'ai trouvé une solution "élémentaire".

Une fois que tu sais que la solution est L/6 (ce qu'un élève de 3e incomparablement motivé pourrait conjecturer à partir de diverses observations), au lieu de poser "x = côté du carré que tu découpes" avec x dans [0;L/2], tu poses "1/6+x = côté du carré que tu découpes" avec x dans [-L/6;L/3].

On a donc V=(L/6+x)(L-(L/6+x))² ce qui donne après développement 2L³/27 - 4x²(L/2 - x) : on enlève donc à la valeur 2L³/27 un terme toujours positif, ce qui prouve le résultat.

Après, il est clair qu'on n'attend pas ça d'un élève de 3e.

 #5 - 04-05-2017 09:32:40

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 438

Bote maximale

Bonjour,
Une autre façon de faire :
4V = 4x*(L-2x)*(L-2x)
La somme des 3 facteurs positifs est constante, leur produit est maximal lorsqu'ils sont égaux.
4x = L-2x
x = L/6

 #6 - 04-05-2017 10:40:45

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

Boite maximalee

@enigmatus: Très joli raisonnement: simple, astucieux (et juste wink)

 #7 - 04-05-2017 11:33:04

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
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Boite maximmale

C'est effectivement très élégant smile

Mais cela déplace le problème : peut-on justifier à un élève de 3e que "si la somme de 3 facteurs positifs est constante, alors leur produit est maximal lorsqu'ils sont égaux" ?

 #8 - 05-05-2017 07:11:37

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 438

boire maximale

Ebichu #7 a écrit:

Mais cela déplace le problème : peut-on justifier à un élève de 3e que "si la somme de 3 facteurs positifs est constante, alors leur produit est maximal lorsqu'ils sont égaux" ?

Tu as raison d'en douter. Je serais curieux de connaître la solution du professeur de cet élève.

 #9 - 06-05-2017 16:00:51

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Boite maximaale

Ebichu a écrit:

peut-on justifier à un élève de 3e que "si la somme de 3 facteurs positifs est constante, alors leur produit est maximal lorsqu'ils sont égaux" ?

Je dirais que oui, avec un raisonnement par l'absurde.

Si on me donne un parallélépipède dont la somme des trois dimensions est imposée et qu'on me dit que son volume est maximum, il est simple de voir que si deux de ses dimensions sont différentes, je peux en avoir un plus volumineux en égalisant 2, en comparant les aires des deux rectangles rouge et jaune :
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-x3max.PNG

 #10 - 07-05-2017 15:22:53

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
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Boite maximae

Désolé, mais je ne suis pas encore pleinement satisfait smile

Ta méthode prouve qu'un parallélépipède dont les trois longueurs ne sont pas égales ne peut pas être un maximum. Mais elle ne prouve pas l'existence d'un maximum...

En fait, ta méthode montre qu'un parallélépipède à trois longueurs différentes, mettons a<b<c, a un volume plus petit qu'un certain parallélépipède à deux longueurs égales, par exemple (a+b)/2 ; (a+b)/2 ; c. Mais ensuite, on obtient seulement que ce parallélépipède à deux longueurs égales a un volume plus petit qu'un autre parallélépipède à deux longueurs égales. Il faudrait pouvoir justifier que tout parallélépipède à deux longueurs égales a;a;b a un volume plus petit que le cube d'arête (2a+b)/3. Ce qui ne me saute pas aux yeux.

 #11 - 07-05-2017 16:00:39

gwen27
Elite de Prise2Tete
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boite laximale

Non, c'est le rasoir d'Orkam, si tu connais...

Cette solution simple dit : si un parallélépipède a 2 dimensions différentes, il n'a pas un volume maximum.

Donc quand tout a été éliminé sauf une solution, c'est la bonne.

 #12 - 07-05-2017 19:44:09

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 466

Boite maximaale

Ockham, tu veux dire ?

Je ne suis pas d'accord parce que rien ne dit (hormis l'énoncé) qu'il existe un maximum. Or on peut fabriquer des problèmes pour lesquels aucun maximum n'existe ; par exemple, "soit x dans [0;1[, quel est le maximum de x ?" Donc, si l'élève te demande : "mais comment on sait qu'il y a un maximum", ben t'es mal.

Entendons-nous bien : je préfère la méthode d'enigmatus à la mienne parce qu'on comprend mieux d'où elle sort. Mais j'espère tout de même que tu vois ce qui me dérange dans cette méthode, même avec ton apport.

 #13 - 08-05-2017 15:42:25

gwen27
Elite de Prise2Tete
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boitr maximale

Pas vraiment ... Entre 0 et L/2 on part de 0, on erre dans les positifs, et on revient à 0.

Il y a un obligatoirement un maximum, il est unique et peu importe si tu n'arrives pas à le mettre en chiffres.  Ce n'est pas parce que tu n'écris pas PI ou 1/3 que ce ne sont pas des valeurs . 1/9 x 9 est le maximum de [0;1[ si tu veux chercher la petite bète.

De toute façon, une solution simple de 3e ne peut pas être confrontée à des connaissances niveau Bac S (ou plus) .

Sinon, en CP : 5-7 serait possible. Il faut comprendre qu'en maths, on désapprend toute sa scolarité. Même un nombre négatif finit par avoir une racine.

 #14 - 08-05-2017 17:12:24

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

boite maxilale

En prenant les trois dimensions deux à deux et en faisant une sorte de dichotomie, à la fin, les trois valeurs sont égales, non ?

 #15 - 08-05-2017 18:29:43

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
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Biote maximale

@gwen27 :

Pas vraiment ... Entre 0 et L/2 on part de 0, on erre dans les positifs, et on revient à 0. Il y a un obligatoirement un maximum, il est unique et peu importe si tu n'arrives pas à le mettre en chiffres.

Ton "obligatoirement" sous-entend l'utilisation du théorème des bornes (https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o … r%C3%AAmes) dont les élèves de 3e ne disposent pas...

1/9 x 9 est le maximum de [0;1[ si tu veux chercher la petite bète.

Non, là, c'est une énorme bête smile
[0;1[ n'admet pas de maximum, et surtout pas 1/9 x 9 qui vaut 1 et qui n'appartient pas à cet intervalle.

De toute façon, une solution simple de 3e ne peut pas être confrontée à des connaissances niveau Bac S (ou plus) .

C'est là le fond du problème : on a le choix entre des démonstrations élégantes mais qui nécessitent des méthodes de +- Bac S (celle de SebHash ou celle d'enigmatus et toi), ou une démonstration moche mais justifiable rigoureusement avec les connaissances de 3e (la mienne). Je me demande si on peut trouver une démonstration élégante justifiable rigoureusement en 3e. Ça n'existe peut être pas, mais peut-être que si, jusqu'à preuve du contraire...

@franky1103 :

En prenant les trois dimensions deux à deux et en faisant une sorte de dichotomie, à la fin, les trois valeurs sont égales, non ?

En effet, mais je doute pouvoir justifier rigoureusement ton "à la fin" à des élèves de 3e.

 #16 - 08-05-2017 18:38:47

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Boite maxiimale

Ebichu, tu restes ancré dans tes connaissances avancées. Mets toi un peu au niveau d'un jeune élève. On s'en fiche du rigoureusement. Ils apprennent à raisonner avec les connaissance à leur disposition.

On verra plus tard à leur montrer que ce n'est pas "strictement" rigoureux. En l'état de leurs connaissances, ça l'est. C'est logique, c'est argumenté, et même si, au final, il y a une faille, c'est exact.

Le théorème des bornes est un truc intuitif qui peut se prouver plus tard...

 #17 - 08-05-2017 18:41:29

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Boite maxiamle

PS je ne parle plus de maths, mais d'enseignement...

Mais ça m'intéresserait aussi d'avoir la "solution" du prof.

 #18 - 08-05-2017 22:15:11

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
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Boite aximale

Ça tombe bien, je suis prof de maths.

Ebichu, tu restes ancré dans tes connaissances avancées. Mets toi un peu au niveau d'un jeune élève. On s'en fiche du rigoureusement. Ils apprennent à raisonner avec les connaissance à leur disposition.

À partir de la cinquième, on initie les élèves au raisonnement déductif, généralement en se basant sur la géométrie (propriétés des quadrilatères par exemple). À cette occasion, on leur apprend la différence entre une conjecture (par exemple, le triangle de dimensions 5, 5, 7 est rectangle) et un résultat démontré (alors que plus tôt dans la scolarité, on se satisfait généralement de l'observation avec les instruments).

En troisième, suivant les cas, le professeur va parfois se contenter de ce que l'élève formule une conjecture, parfois vouloir qu'il ait un argument plus ou moins précis en faveur du résultat, et parfois demander une démonstration complète, sans faille. Il ne faut pas demander systématiquement l'un ou l'autre, il faut varier l'enseignement ! Par contre, quand il y a une faille, il ne faut pas hésiter à le dire aux élèves, cette honnêteté intellectuelle contribue à former l'esprit scientifique : "à notre niveau, on ne sait pas démontrer ce résultat, mais on a l'intuition de sa validité".

On arrive dès la 3e à démontrer des résultats assez avancés, comme par exemple que racine(2) est irrationnel. Alors bien sûr, on n'est pas parti de l'axiomatisation ZF, il y a dans le programme des résultats non démontrés ; mais quand on peut démontrer quelque chose proprement, ce n'est pas plus mal. D'où mon souhait de trouver une démo propre et élégante dans le cadre de ce problème. Mais si on n'en trouve pas ce n'est pas dramatique smile

 

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