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#1 - 19-02-2021 13:45:18
- unecoudée
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aL boite à billes
bonjour à tous
Plus beaucoup d'énigmes mathématiques ces temps ci ; je propose celle là :
Je dispose de 2 billes de volumes : [TeX]\cfrac{\pi.\sqrt3}{2}[/TeX] et [TeX]4\pi.\sqrt3[/TeX] J'ai fabriqué la plus petite boite cubique pouvant les y enfermer . Jusque là c'est normal , étant ancien tôlier chaudronnier .
C'est à vous maintenant : je sais que je peux y ajouter des parallélépipèdes rectangles (dans cette boite ). Quel serait le volume maximum exact d'un de ces prismes logeable avec les 2 billes ?
bonne recherche .
n.b. [latex]\sqrt5 - 1[/latex] est l'écriture d'un nombre exacte
sinon vous arrondirez à 5 décimales .
#2 - 19-02-2021 21:13:44
- Jackv
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#3 - 20-02-2021 16:28:57
- Sydre
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La boite à billees
Salut
En supposant les billes sphériques je trouve : [TeX]\left(\frac{23}{4}\sqrt{2}-5\right)\left(1+\sqrt{3}\right)\frac{\sqrt{3\sqrt{3}}}{4}[/TeX]
#4 - 20-02-2021 20:49:05
- Franky1103
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La bote à billes
Rayons des boules: v1 = pi.V3 / 2 => r1 = V3 / 2 et: v2 = 4.pi.V3 => r2 = V3 Arête du cube: a.V3 = (r1 + r2).(1 + V3) => a = 3.(1 + V3) / 2 = 4,09808 env.
Le plus grand parallélépipède rectangle est un des quatre suivants: Calculons chacun des ces quatre volumes:
Vert: H = a - 2.r2 = (3 - V3) / 2 = 0,63397 env. et: l = L = 1 + V3 = 2,73205 env. d’où: V(vert) = 3 + V3 = 4,73205 env.
Gris: H = a - 2.r1 = (3 + V3) / 2 = 2,36603 env. et: l = L = (V6 + V2) / 4 = 0,96593 env. d’où: V(gris) = (9 + 5.V3) / 8 = 2,20753 env.
Orange: H = a = 3.(1 + V3) / 2 = 4,09808 env. et: l = L = V3 / 2 = 0,86603 env. d’où: V(orange) = 9.(1 + V3) / 8 = 3,07356 env.
Bleu: H = a = 3.(1 + V3) / 2 = 4,09808 env. l = a - 2.r2 = (3 - V3) / 2 = 0,63397 env. et: L = V3 + 3/2 - V(3V3 - 9/2) = 2,39769 env. d’où: V(bleu) = 9.(1 + V3 / 2 - V(V3-3/2)) / 2 = 6,22939 env. (qui est le volume maximal de ces quatre prismes)
Mais il y a peut-être d'autres grands prismes qui m'ont échappé.
NB: Je n’ai pas compris la mention ‘’V5 – 1 est l'écriture d'un nombre exacte’’.
Edit: Mise à jour générale des valeurs (fausses au départ).
#5 - 21-02-2021 09:31:02
- unecoudée
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La boite à biles
Bonjour ;
@Jackv : bizarre ton arrête c
@Sydre : non puisque ta formule donne environ V = 4.876
@Franky 1103 : en comparant le volume de la grosse bille avec celui de ton prisme bleu , tu n'aurais qu'un rapport global de 2 ?
#6 - 23-02-2021 17:07:23
- Jackv
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#7 - 23-02-2021 17:32:47
- unecoudée
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La bite à billes
bonjour ;
@Jackv : bravo ! et tu n'es pas parti dans les cordes .
c'est vrai qu'on peut vite s'affaler en se prenant les pieds dans les racines .
#8 - 23-02-2021 21:28:34
- Bastidol
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La botie à billes
Voilà voilà
Volume = 30,3221360734996
5,01909782242685 X 1,55499620728909 X 3,88512322621129
@+
#9 - 24-02-2021 09:48:48
- unecoudée
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la boite à nilles
bonjour ;
@Bastidol : non ; l'arête du cube est inférieure à 5 et donc à ta plus grande arête : 5.01909...
j'ai remis un peu de temps ; bon courage .
#10 - 24-02-2021 19:31:56
- Bastidol
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#11 - 25-02-2021 09:32:15
- unecoudée
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la boite à bulles
bonjour ;
@Bastidol : hélas ! non
#12 - 25-02-2021 14:10:08
- TOUFAU
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la boite à bimles
Salut UneCoudée
Je trouve un volume max d’environ 6,22939, dans l’unité de tes billes. Ou [18+9√3+9(1-√3)√(√3)]/4, qui est vilain.
6 emplacements dans la boite, 3 simultanés possibles. Pas mieux.
#13 - 25-02-2021 17:34:36
- unecoudée
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la boite à bimles
@Toufau : bravo ! j'ai un tout petit peu moins vilain .
#14 - 26-02-2021 10:55:22
#15 - 27-02-2021 12:03:38
- Franky1103
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la bpite à billes
J'ai mis à jour mes calculs dans le post initial. Je trouve un volume maximal unitaire de: 9.(1 + V3 / 2 - V(V3 - 3/2)) / 2 soit: 6,22939 env. (mais sans la garantie du gouvernement: LOL)
#16 - 27-02-2021 16:40:20
- unecoudée
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L aboite à billes
bonjour ;
@Franky1103 : et de trois ! bravo ! par contre tu as fait une erreur de signe devant le grand radical . ( en recopiant sans doute , et dans les 2 postes )
#17 - 27-02-2021 18:28:12
- Bastidol
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La boite à billse
J'avis confondu la diagonale du cube et la diagonale de la face. [TeX]V\quad =\frac { 3*\sqrt { 3 } +3 }{ 2 } \quad *\quad \frac { 2*\sqrt { 3 } +3 }{ 2 } \quad *\quad \frac { \sqrt { 3 } +3 }{ 2 } \quad =\quad 9\sqrt { 3 } +8\quad =\quad 31,338457268119[/TeX] @+
#18 - 27-02-2021 19:22:31
- unecoudée
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La boite à bliles
@Bastidol : non ; ni pour l'approximation qui correspond au résultat numérique , ni pour la formule [latex]9.\sqrt3 + 8[/latex] qui , elle , donne une valeur : 23.588...inexacte elle aussi
#19 - 28-02-2021 11:09:58
- Bastidol
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L boite à billes
[TeX]V\quad =\frac { 3*\sqrt { 3 } +3 }{ 2 } \quad *\quad \frac { 3-\sqrt { 3 } }{ 2 } \quad *\quad \frac { 3+\sqrt { 3 } }{ 2 } \quad =\quad \frac { 9(\sqrt { 3 } +1) }{ 4 } =\quad 6,14711431702997[/TeX]
#20 - 28-02-2021 12:24:39
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La bboite à billes
bonjour;
@Batisdol :
tu es à environ 7 ou 8 centièmes , mais ce n'est toujours pas la bonne formule .
#21 - 28-02-2021 17:38:34
- unecoudée
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La boite à billse
Merci à vous tous ; c'était un slalom très spécial avec des [latex]\sqrt3[/latex] accrochées à chaque piquet .
Voici ma solution :
avec l'arête du cube : [latex] a = \cfrac{ 3\sqrt3.(1+\sqrt3)}{2\sqrt3} = \cfrac{3.(1+\sqrt3)}{2} [/latex]
a sera aussi la plus grande côte du volume recherché .
Ce volume doit s'intercaler entre la grosse bille et une paroi du cube : b [TeX] b = a - 2\sqrt3 = \cfrac{3.(1+\sqrt3)}{2} - 2\sqrt3 = \cfrac{3 - \sqrt3}{2}[/TeX] Il reste à trouver c ; on constate que la côte b trouvée est inférieure au rayon de la petite bille : [latex] r = \cfrac{\sqrt3}{2}[/latex]
cette différence vaut : [latex]h = \cfrac{2\sqrt3 - 3}{2}[/latex]
la côte c recherchée vaut donc [latex]a - r - \sqrt{\left[\cfrac{\sqrt3}{2}\right]^2 - \left[\cfrac{2\sqrt3 - 3}{2}\right]^2}[/latex]
Et : [latex]c = \cfrac{2\sqrt3 + 3}{2} - \sqrt{3\sqrt3 - \frac92}[/latex]
Le volume recherché [latex]V = a.b.c [/latex] [TeX]V = a.b.c = \cfrac{9}{2}.\left[1 + \cfrac{\sqrt3}{2} - \sqrt{\sqrt3- \frac32}\right]\approx6.22939[/TeX]
#22 - 01-03-2021 09:00:35
- Franky1103
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a boite à billes
@unecoudée Effectivement, c'est une erreur de recopie que j'ai corrigée. Merci pour cette énigme "casse-tête".
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