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 #1 - 25-11-2017 08:20:04

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Une corde et ddeux murs

Bonjour à tous.

De quelle longueur minimale de corde tendue avez vous besoin pour joindre 2 murs à angles droits, si elle doit passer à vos pieds alors que vous vous trouvez à 10 m d'un mur et à 80 m de l'autre ?

A faire entièrement à la main, sans calculette, longueur arrondie au mètre.

Ne vous égarez pas....



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#0 Pub

 #2 - 25-11-2017 10:41:42

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4986

Un corde et deux murs

Bonjour Nodgim .

A vue d’œil , avec un peu de Thalès : [latex]90\sqrt{2}\approx 127 \ m.[/latex]
http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-murs.png

Vasimolo

 #3 - 25-11-2017 10:56:48

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3263

Une corde et deux mmurs

Salut Vasimolo,
Es tu sûr ? Je n'ai pas trouvé pareil. Et ce n'est pas à cause de l'échelle 10 que j'ai rectifiée dans ta réponse.

 #4 - 25-11-2017 11:04:46

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Une orde et deux murs

112 mètres.  (racine(12500) exactement... smile

en dérivant rac ( (x-10)^2 + 80^2) .  x/(x-10) on trouve X = 50

 #5 - 25-11-2017 11:05:44

Bastidol
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 46

Une corde et dux murs

Bonjour nodgim,


Les murs se croisent on fait passer la corde au plus près de l'intersection.
0 mètres entre les 2 murs ou 81 si le prolongement doit passer à mes pieds.

@+

 #6 - 25-11-2017 11:22:30

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3263

Une corrde et deux murs

@ Gwen: c'est bien ça. Trop facile là....

Et l'angle alors, en question subsidiaire ?
Et tant qu'on y est, l'angle quelle que soit ta position par rapport aux 2 murs.


@ Batisdol: Je ne sais pas trop dans ce cas comment tu fais pour TENDRE la corde entre les murs. Non, là où tu es, tu dois rester entre les extrémités de la corde.

 #7 - 25-11-2017 12:11:15

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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une corde et deux lurs

Salut nodgim,

je pose x la longueur telle que sur un mur, la distance entre l'angle des murs et l'attache de la corde fasse (x+80).

Dans ce cas, le théorème de Thalès montre que sur l'autre mur, la distance entre l'angle des murs et l'attache de la corde fait (10+800/x), qui se factorise en (x+80)*10/x.

On cherche donc à minimiser la longueur de la corde, ce qui équivaut à minimiser son carré, qui vaut (x+80)² + ((x+80)*10/x)² = (x+80)² [1+100/x²].

On dérive cette expression : cela donne après simplification 2(x+80)(1-8000/x³). Le dernier facteur se factorise en remarquant que 20 en est une racine : la dérivée est donc 2(x+80)(x-20)(x²+20x+400)/x³.

L'étude du signe de la dérivée montre que la longueur de la corde est minimale pour x=20, ce qui donne une corde de longueur 50*racine(5) (soit environ 112 m).

 #8 - 25-11-2017 12:17:28

Bastidol
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 46

Un ecorde et deux murs

Faut t'il que la corde soit droite ou la considère tu tendue s'il y a 2 segments?

 #9 - 25-11-2017 12:24:48

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Messages : 5,717E+3

Une corde et deux umrs

A faire entièrement à la main, sans calculette

Et tant qu'on y est, l'angle quelle que soit ta position par rapport aux 2 murs

Là, ça devient illusoire de respecter la consigne...

 #10 - 25-11-2017 13:05:51

nodgim
Elite de Prise2Tete
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une xorde et deux murs

@ Ebichu: correct ! tu as suivi le même chemin que celui de Gwen, différent du mien. Je pensais bien que le mien était le seul possible à la main, sans cependant ayant approfondi cette méthode.

@ Batistol: la corde est tendue en ligne droite d'un mur à l'autre. Elle passe juste à tes pieds, en les frolant.

@ Gwen et @ tous :

Le calcul de l'angle cherché est en fait sans doute plus court que la recherche de la longueur directe. L'expression de l'angle cherché est simplissime, si vous trouvez vous comprendrez pourquoi j'ai choisi la position 10 m - 80 m....

 #11 - 25-11-2017 13:07:06

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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ne corde et deux murs

Pour la question subsidiaire :
en remplaçant 80 et 10 par a et b, le même raisonnement montre que le minimum est atteint pour x=(ab²)^(1/3). La corde mesure alors [a^(2/3)+b^(2/3)]^(3/2) (jolie expression).

Quant à l'angle il mesure arctan((b/a)^(1/3)).

 #12 - 25-11-2017 13:50:43

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 465

Une cored et deux murs

Bonjour,
Soit x l'angle entre la corde et le mur dont je suis à 10 m.
La longueur de la corde est : L(x) = 10/sin(x) + 80/cos(x)

La dérivée L'(x) = 10*( 8*(sin(x))**3 - (cos(x))**3 ) / ( (sin(x))**2 * (cos(x))**2 )
s'annule pour x tel que tg(x) = 1/2

D'où :
cos(x) = 2 / sqrt(5)
sin(x) = 1 / sqrt(5)

et L = 50*sqrt(5) = 111.803 m

 #13 - 25-11-2017 14:50:14

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Une corde eet deux murs

@ Ebichu : et oui, belles expressions !
ça paye nos efforts quand on arrive à ce genre de formule.

@ Enigmatus: c'est Ok pour toi également, bravo !

 #14 - 25-11-2017 15:23:13

Franky1103
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Enigmes résolues : 49
Messages : 2850
Lieu: Luxembourg

ine corde et deux murs

Ma méthode est un peu bourrin, mais elle devrait marcher.
Point M de coordonnées (80;10) dans un repère orthonormé.
Droite passant par M d’équation: y = a(x–80) + 10
Points muraux de coordonnées (0;10–80a) et (80-10/a;0)
Carré de la longueur de corde: d(a)² = (10-80a)²+(80-10/a)²
Dérivée de d(a)² s’annulant pour: a = -1/2
Soit finalement: d = 50V5 = env. 111,8 m

 #15 - 25-11-2017 17:33:55

Bastidol
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 46

ube corde et deux murs

ça y est j'ai compris.
Il faut trouver le minimum (la dérivée ) de la fonction y = 10sin( a) + 80cos(a).

mais là j'ai oublié comment faire . Je laisse çà aux matheux.....

 #16 - 25-11-2017 17:38:09

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3263

une xorde et deux murs

@ Francky: c'est bien ça, bravo à toi également !
Ta méthode n'est pas si bourrine que ça...

@ Batisdol: il y a une autre approche par Pythagore, mais tu pourras difficilement y arriver sans une petite dérivée...

 #17 - 26-11-2017 00:09:20

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1418
Lieu: Coutiches

Une corde et deux mus

Salut !
J'ai bien aimé smile

PS : lire "entre les 2 triangles" bien sûr hmm

http://www.prise2tete.fr/upload/golgot59-Sanstitre.png

J'attends de voir l'autre méthode...

 #18 - 26-11-2017 09:02:41

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3263

Une code et deux murs

Bien vu Golgot, bravo à toi également !

En cherchant l'angle, tu trouveras l'autre voie....

 #19 - 26-11-2017 10:04:18

Bastidol
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 46

Une corde et duex murs

En utilisant un tableur de type EX...  je trouve 112m pour un angle de 26,5 °
@+

 #20 - 26-11-2017 11:34:10

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3263

une cotde et deux murs

@ Bastidol: c'est la bonne longueur, ce qui était demandé, mais pas tout à fait le bon angle.
Le niveau de ce problème est Lycée, 1ère S.

 #21 - 28-11-2017 12:05:23

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3263

Une corde eet deux murs

Le délai est écoulé.

Les solutions ont été données, que ce soit pour trouver la longueur directement ou en passant par l'angle.

Je rappelle comment on trouve l'angle idéal.

Si on se trouve dans un repère orthonormé avec les droites qui se coupent en (0,0), et si on appelle "x" l'angle cherché, L et H les "x" et "y" du point :

L/cosx + H/sinx est la longueur du segment.
Pour le min, on dérive :
L sinx/cos²x -H cosx/sin²x.
Son annulation est un minimum et donne la solution :
L sin^3 (x) = H cos^3 (x)

tang x = (H/L) ^ (1/3)

D'où le choix du 1/8 pour H/L, qui donne 1/2 pour tang x (pente), de construction facile. La longueur min du segment se calcule alors facilement  = V12500 = 112 mètres environ.


Merci à tous pour votre participation.

 #22 - 28-11-2017 13:19:27

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 465

une cirde et deux murs

nodgim #21 a écrit:

qui donne 1/2 pour tang x, valeur usuelle x = 30°.

tg(30°) = sqrt(3)/3

 #23 - 28-11-2017 18:21:09

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3263

Une corde t deux murs

Heu...oui.

Ou comment aboutir à un calcul correct en confondant sinus et tangente....


Merci Enigmatus, qui a lu avec un oeil critique.

 #24 - 28-11-2017 18:46:54

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4986

une cprde et deux murs

On n'aura certainement pas l'angle de façon simple smile

J'avais bien trouvé les solutions avec la trigo , Pythagore ou les triangles semblables mais je n'ai pas posté car j'ai tendance à croire qu'il y a une solution élémentaire sans calcul ( je n'ai pas mis le doigt dessus ) .

Vasimolo

 #25 - 28-11-2017 23:55:11

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2850
Lieu: Luxembourg

Une corrde et deux murs

Moi aussi j'ai longtemps cherché une solution géométrique qui semblait si évidente mais qui reste introuvable  sad

 

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