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 #1 - 17-02-2010 18:55:33

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 2×3121

Chèvre, Corde et Trianle équilatéral

Enigme issue des défis de M. Arnaud :

Soit un champ possédant 3 coté de 100m de long formant un triangle équilatéral.
Soit une chèvre (outil idéal de remplacement de la tondeuse) attachée à un des sommets par une corde.
Quelle doit être la longueur de la corde pour qu'elle puisse brouter exactement la moitié de la surface du pré.

Source : http://pi3141592.wordpress.com/2010/02/ … uilateral/



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 #2 - 17-02-2010 19:18:04

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 950

Chèvre, Corde et Triangle équilatééral

Aire du terrain : [latex]\frac {100*100*\sqrt{3}/2}{2} = 2500 \sqrt{3}[/latex]

Aire du secteur de rayon r : [latex]\frac {\pi*r^2}{6}[/latex] qui doit valoir la moitié de l'aire du triangle.

On en tire [latex]r^2 = \frac {6*2500 \sqrt{3}}{2 \pi}[/latex].

Le rayon doit être un peu inférieur à 64,31 mètres.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #3 - 17-02-2010 19:20:10

zikmu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 277

Chèvre, Corde et Triangle équiltéral

pi*corde*corde/6 = 100*100*cos(30°)/2/2 ou corde = 64.30 m wink

 #4 - 17-02-2010 19:26:48

papyricko
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 669
Lieu: Sur le plateau

Chèvre, Corde et Triangle quilatéral

Bonjour
Entre deux coup de gomme pour la 35D....

Surface du triangle: 4330 m2
La moitié: 2165 m2

Donc le rayon d'une portion de cercle de 60 degrés ayant une aire de 2165 m2

2165= pi /360 x60xr au carré

r au carré = 2165/ 0.5232 = 4138

Racine carrée de 4138 = 64.327

La corde fait 64.327 mêtres sans compter son coef d' élasticité ... Et l'humidité ambiante... Et le fait que ma calculette n'intégre pas toutes les nouvelles décimales de Pi

 #5 - 17-02-2010 22:42:05

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

Chèvre, Corde et Triangle équilaétral

racine(3*1250*racine(3))/pi = 45.47 environ. Je mets le paysan au défi de trouver une corde de longueur exacte.

 #6 - 17-02-2010 23:24:36

Immolation
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 4

Chèvre, Corde et rTiangle équilatéral

Je trouve 50.rac²(3pi.rac²(3))/pi m pour la longueur de la corde.

(on néglige bien évidemment la longueur du coup de la chèvre, le fait que la corde puisse être atachée sur le haut du poteau, etc.)

(rac²(x) désigne la racine carrée de x)

Une fois qu'on a calculé l'aire totale du pré, et qu'on a compris que la chèvre décrivait un sixième d'arc de cercle lorsque sa corde est tendue au maximum, on a fait le plus dur.

 #7 - 18-02-2010 03:03:57

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1773

Chhèvre, Corde et Triangle équilatéral

Bonjour,

Soit a la longueur des côtés du triangle équilatéral.
Alors la surface S du triangle est (a * a * racine(3) /2) /2

(base * hauteur )/2

Le pré a une surface S de 250 * racine (3) soit 4330,13 m²

La chèvre poura évoluer dans un secteur circulaire de rayon r = la longueur de sa corde et d'angle d'ouverture pi/3 donc de surface pi*r² / 6

On veut pi*r²/6 = S/2
soit r= racine (3*S / pi)

on trouve r = 64,30 m comme longueur de la corde.

on néglige l'extension du cou de la bête .... y a pas de mêêêêêêê !


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #8 - 18-02-2010 09:45:28

princessilla
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 536

hCèvre, Corde et Triangle équilatéral

la moitié de la médiane du triangle.
Suis-je claire ? 50 m
smile

 #9 - 18-02-2010 10:11:36

JohnMatrix
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 6

Chèvre, Corde et Trianglle équilatéral

On note ABC le triangle équilatéral avec AB = AC = BC = 100.
En utilisant le sinus, l'aire Ai de ABC vaut :
Ai = (100 * sin(60) * 100) / 2

L'aire Ab broutée pas la chêvre en fonction du rayon r est une portion de 1/6 de ce cercle de rayon r (puisque les angles du triangle vallent 60°) :
Ab = (1/6) * [latex]\pi[/latex] * r * r

On veut que Ab = (1/2) * Ai
=> (1/6) * [latex]\pi[/latex] * r * r = (1/2) * Ai = 50 * 50 * sin(60)
=> r * r = (6 * 50 * 50 * sin(60)) / [latex]\pi[/latex]
=> r = sqrt((6 * 50 * 50 * sin(60)) / [latex]\pi[/latex])
=> r = sqrt((15000 * sin(60)) / [latex]\pi[/latex])
=> r = 64.3

La solution est donc 64.3

 #10 - 18-02-2010 13:23:04

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

chèvre, corde et triangle ésuilatéral

Longueur de la corde:
[TeX]L=\frac{50*3^{3/4}}{\sqrt(\pi)}[/TeX]


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #11 - 18-02-2010 15:04:42

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

chèvre, corse et triangle équilatéral

La demi-aire du triangle équilatéral:
[TeX]l^2*\frac{sqrt(3)}{4} [/TeX]
L'aire couverte par la corde:
[TeX]c^2*\frac{\pi}{6}[/TeX]
Donc:
[TeX]c=r*\frac{\sqrt{3*\sqrt(3)}}{4*\pi}[/TeX]
Pour pour l = 100 m, c= 64,30 m.


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #12 - 18-02-2010 18:18:34

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 5,094E+3

Chèvre, Corde et Triangle équilatérral

Bonsoir

L'aire du champ est [latex]2500\sqrt{3} m^2[/latex] et l'aire d'un sixième de disque de rayon [latex]R[/latex] : [latex]\frac{\pi R^2}{6}[/latex] on a donc [latex]R=\frac{50\sqrt[4]{27}}{\sqrt{\pi}} \approx 64,30 m[/latex] .

Plutôt facile smile

Vasimolo

 #13 - 18-02-2010 18:51:29

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Chèvre, Corde et Triangle équiatéral

L'aire du champ est [latex]{{100 \times \sqrt3}\over 4}=25 \sqrt 3[/latex] cm²
Soit R le rayon de l'arc de cercle
l'aire de cet arc est [latex]{\pi \times R^2\times 60}\over 360 [/latex] qui doit etre égal à [latex]12,5 \sqrt 3[/latex] d'où R=[latex]\sqrt{{60\times 12,5\sqrt 3}\over \pi}=\sqrt{{750\sqrt 3}\over \pi}[/latex] qui est environ égal à 20,33m.

 #14 - 18-02-2010 18:54:12

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
Messages : 2216

Chèvre,, Corde et Triangle équilatéral

J'espère que je ne me plante pas big_smile :

L'aire total du champs :
[TeX]100^{2} * \frac{\sqrt{3}}{4} = 2500\sqrt{3} \approx 4330[/latex]  m²


Soit [latex]l[/latex] la longueur de la corde.

L'aire de la partie pouvant être broutée :

[latex]l^{2} * \frac{\pi}{6}[/latex] m²


On doit donc résoudre :

[latex]l^{2} * \frac{\pi}{6}=\frac{2500\sqrt{3}}{2}[/TeX][TeX]l^{2} = \frac{7500\sqrt{3}}{\pi}[/TeX]
[latex]l = \sqrt{\frac{7500\sqrt{3}}{\pi}} = \frac{50*3^{\frac{3}{4}}}{\sqrt{\pi}}[/latex]   (je suppose que la corde n'a pas une longueur négative big_smile)


[latex]l \approx 64,3[/latex] m.

 #15 - 18-02-2010 21:51:40

sebaiguilhe
Visiteur

Chèvre, Corde et Triangle éuilatéral

64.3m

 #16 - 19-02-2010 00:27:06

homere
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 2

chèvre, corde et teiangle équilatéral

hello!
ma solution: 51,66 mètres
1/6*pi*r^2=1/2*aire du triangle  r=51,66

 #17 - 19-02-2010 01:04:19

gelule
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 778

Chvre, Corde et Triangle équilatéral

en résumé, celà revient à chercher le rayon d'un cercle dont la surface est égale à la moitié de la surface de 6 triangles équilatéraux de 100m de côté
soit 64.31m
je vous fais grace des dessins et calculs

 #18 - 19-02-2010 09:31:21

phil0156
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 286

Chèvre, Corde et Triangle éuilatéral

Je propose:
Le sixième de l'aire du cercle est égal à la moitié de l'aire du triangle.
r^2=(100*100*0.433)*3/Pi
donne r=64,079 m

 #19 - 19-02-2010 11:52:43

greg
Visiteur

chèvre, corde et triangle équimatéral

150/(racine carré de Pi)~84.63

 #20 - 20-02-2010 01:34:12

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

Chèvre, Corde et Trangle équilatéral

63,7 m

 #21 - 20-02-2010 14:33:27

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 375

chèvte, corde et triangle équilatéral

Soit a = le coté du champ et d la longueur de la corde.

L'aire du champ est Ac = a/2 * a * rac(3)/2 = a² rac(3)/4

L'aire "broutable" est Ab = 1/6 * pi * d² = pi /6 * d² (formule OK pour d < hauteur du triangle)

On veut Ab = Ac / 2, donc d = a rac (6/pi rac(3)/8) = a rac (rac(3)/pi 3/4)

Pour a = 100 m on trouve d = 64,3 m

 #22 - 20-02-2010 17:34:16

perceval
Chevalier de P2T
Enigmes résolues : 48
Messages : 723
Lieu: 37

Chèvre, Corde et Trianle équilatéral

on cherche a calculer l'aire d'un secteur angulaire.
Puisque le triangle est équilatéral, l'angle vaut pi/3.
la surface brouté par la chèvre sera donc de (pi * L²)/6 alors que la surface totale du pré vaut (a² * sqrt(3))/4

a = longueur d'un cote du pre
L = longueur de la corde

Pour que la chèvre tonde la moitié du pré il faut donc que
(pi * L²)/6 = (a² * sqrt(3))/8
soit
L² =3* (a² * sqrt(3))/(4*pi)

AN :  L =64.30 m.


When i was a child i was a jedi

 #23 - 21-02-2010 07:43:55

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1773

Chèvre, Corde et Triagle équilatéral

dylasse a écrit:

L'aire "broutable"

excellent !


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #24 - 21-02-2010 15:30:46

walterp
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 9

Chvère, Corde et Triangle équilatéral

64,3 m

 #25 - 21-02-2010 16:16:42

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Chèvvre, Corde et Triangle équilatéral

Ben m**de, j'étais persuadé d'y avoir répondu... o_0'


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la corde (2) — Dragon 50 m plus la moitie de la longueur (2) — Math corde triangle (2) — Defi 4 triangles avec 6allumettes (2) — Probleme de chevre (2) — Exercice 6eme longueur de corde cercle avec chevres (2) — (2) — Chevre cercle surface (2) — Aire du disque et probleme des 2 chevres dans un pre rectangulaire (2) — Enigme taille dragon solution (2) — 47 triangles (2) — Montrer que racine 1323= 21 racine 3 (2) — Reponse enigme taille dragon (2) — Moitie surface cercle avec chevre (2) — Enigme chevre champ rond (2) — (2) — Calculer corde triangle (2) — Polygone en 3 triangles (2) — Champs chevre enigme (2) — Enigme chevre terrain (2) — Casse tete ficelle (2) — Enigme chevre et la corde (2) — Enigme chevre champs corde (2) — Les chevre avec un tringle en bois autour du cou (2) — Dragon 50metre et moitier enigme (2) — Un ane est dans un champ rectangulaire attache a une corde (2) — Exercice math 6 les chevres (2) — Enigme dragon (2) — Chevre jardin carre (2) — Montrer que racine carre de 1323 egal 21 racine carre de 3 (2) — Enigme dragon mesure 50m (2) — Maths chevre pre carre 30 m (2) — Enigme dragon de 50 m (2) — Enigme chevre champ (2) — Un champ a la forme d un triangle equilateral de 48 m de cote. a chque sommet du champs est attchee une chevre a l aide d une corde. (2) — Casse tete allumette triangle (2) — Corde cercle triangle equilateral (2) — Triangle equilateral cos30 (1) — Enigme des 47 triangle (1) — Resolution probleme chevre (1) — Enigme mathematique : les deux cordes (1) — Translation circulaire triangle equilateral (1) — Triangle equilaterale 100m ficelle (1) — La reponse a l enigme de la ficelle (1) — Enigmes chevre (1) — Solution+chevre+pre+aire+math (1) — Tondre jardin carre chevre enigme (1) — Un dragon mesure 60 m + la moitie de sa longueur (1) — 6 allumettes 47 triangles equilateraux (1) — Mesure d un angle isocele non equilateral (1) — Corde chevre (1) — Probleme de la chevre dans un pre circulaire (1) — Tondre jardin rectangulaire enigme solution (1) — 1 chevre attachee sur le perimetre du cercle (1) — Enigne chevre piquet (1) — Triangles pour chevres (1) — Exercice de maths un paysan possede un pre carre 33 m (1) — Calcul hauteur chevre (1) — Calcul aire de triangle (1) — Mathematiques chevre champ (1) — Solution casse-tete triangles ficelle (1) — Enigme 50 metres plus sa moitie (1) — Math chevre corde cercle (1) — Forme triangulaire en maths (1) — Probleme moitie superficie cercle surface (1) — Chevre pre piquet surface math (1) — Chevre champs carre (1) — Combien de m2 fait un triangle equilateral de 30m de cote (1) — (1) — Calcul aire triangle corde (1) — Probleme chevre et le champ (1) — Exercice logique piquets d un champ (1) — Probleme math corde 9 metres deux champs (1) — Enigme la chevre (1) — Resolution probleme chevre champm (1) — Triangle equilateral a trois cotes (1) — Exercice chevre cercle (1) — Le cercle math avec triangle isocele (1) — Cercle chevre cercle aire (1) — Devinette sur un cercle chevre (1) — Chevre a 2 tete 2011 (1) — Racine 3 triangle (1) — Enigme de la chevre attachee a une corde de 8 metrees (1) — Exercices mesure longueur arc er aire secteur circulaire (1) — Dragon 50 metres solution (1) — Le contraire de equilateral (1) — Enigme un dragon mesure 50 m plus la moitie de sa longueur solution (1) — Chevre champ demi (1) — Exercices de maths ; la chevre tondeuse (1) — 50 metre plus la moite de sa longueur (1) — Formes triangulaire (1) — Demontrer que la hauteur des triangles equilateraux est egales a racine de 3/2 (1) — Demontrer qu un triangle est equilateral sachant qu on ne connait que deux mesure du trriangle (1) — Dragon 50m (1) — Une chevre est attachee au sommet a (1) — Avec 6 allumettes formez 4 triangles equilateraux. (1) — Ch?e corde longueur moiti? (1) — Comment faire un carre dans un champs avec une corde de 100 m (1) — Carre + triangle sont la moitie de l air (1) — Mettre un triangle autour du cou d un bouc (1) — Casse tete ficelles deux personnes (1) — Quelle longueur faut-il donner a la corde pour que la chevre (1) — Enigme mathematiques chevre (1) — Corde 15 m enigme (1) — M2 triangle calcul (1) — Hauteur triangle equilateral a racine de 3 (1) — Casse tete triangle a ficelle solution (1) — Chevre moitie champ circulaire (1) — Un dragon mesure (1) — Une chevre dans un cercle combien de corde (1) — Enigme racine carre (1) — En utilisant 10 allumettes est-ce possible de construire un triangle dont un cote mesure 6 allumettes (1) — Surface de pre (1) — Casse tete les trois triangles ficelle solution (1) — Math exercice chevre carre (1) — Triangle equilaterales (1) — Chevre attachee resolution problemes (1) — Hauteur triangle isocele racine 3 (1) — Demi surface chevre 1 ere s (1) — Defi 6 triangles equilateraux dans un cercle (1) — Demontrer qu un triangle est egal a une aire donnee (1) — Hauteur triangle 3racine 3 (1) — Hevre resume (1) — Comment peut on montrer qu un triangle est isocele en utilisant un calcul (1) — Ficelle calcul (1) — Enigme 50 metres plus la moitie de sa longueur (1) — Hauteur de corde pour 1/3 de disque (1) — Dragon 50 metre plus moitier (1) — 8 triangles equilateraux avec 6 allumettes (1) — 4 triangles casse tete (1) — Une chevre maths (1) — Enigme chevre tondre pre rectang (1) — Engime taille dragon (1) — Enigme 3 corde (1) — 9 z.. dans un m.. 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