Enigme Chèvre, Corde et Triangle équilatéral @ Prise2Tete

EfCeBa · #1

Enigme issue des défis de M. Arnaud :

Soit un champ possédant 3 coté de 100m de long formant un triangle équilatéral.
Soit une chèvre (outil idéal de remplacement de la tondeuse) attachée à un des sommets par une corde.
Quelle doit être la longueur de la corde pour qu'elle puisse brouter exactement la moitié de la surface du pré.

Source : http://pi3141592.wordpress.com/2010/02/ … uilateral/

scrablor · #2

Aire du terrain : $Formule LaTeX : \frac {100*100*\sqrt{3}/2}{2} = 2500 \sqrt{3}$

Aire du secteur de rayon r : $Formule LaTeX : \frac {\pi*r^2}{6}$ qui doit valoir la moitié de l'aire du triangle.

On en tire $Formule LaTeX : r^2 = \frac {6*2500 \sqrt{3}}{2 \pi}$ .

Le rayon doit être un peu inférieur à 64,31 mètres.

zikmu · #3

pi*corde*corde/6 = 100*100*cos(30°)/2/2 ou corde = 64.30 m

papyricko · #4

Bonjour
Entre deux coup de gomme pour la 35D....

Surface du triangle: 4330 m2
La moitié: 2165 m2

Donc le rayon d'une portion de cercle de 60 degrés ayant une aire de 2165 m2

2165= pi /360 x60xr au carré

r au carré = 2165/ 0.5232 = 4138

Racine carrée de 4138 = 64.327

La corde fait 64.327 mêtres sans compter son coef d' élasticité ... Et l'humidité ambiante... Et le fait que ma calculette n'intégre pas toutes les nouvelles décimales de Pi

Nombrilist · #5

racine(3*1250*racine(3))/pi = 45.47 environ. Je mets le paysan au défi de trouver une corde de longueur exacte.

Immolation · #6

Je trouve 50.rac²(3pi.rac²(3))/pi m pour la longueur de la corde.

(on néglige bien évidemment la longueur du coup de la chèvre, le fait que la corde puisse être atachée sur le haut du poteau, etc.)

(rac²(x) désigne la racine carrée de x)

Une fois qu'on a calculé l'aire totale du pré, et qu'on a compris que la chèvre décrivait un sixième d'arc de cercle lorsque sa corde est tendue au maximum, on a fait le plus dur.

NickoGecko · #7

Bonjour,

Soit a la longueur des côtés du triangle équilatéral.
Alors la surface S du triangle est (a * a * racine(3) /2) /2

(base * hauteur )/2

Le pré a une surface S de 250 * racine (3) soit 4330,13 m²

La chèvre poura évoluer dans un secteur circulaire de rayon r = la longueur de sa corde et d'angle d'ouverture pi/3 donc de surface pi*r² / 6

On veut pi*r²/6 = S/2
soit r= racine (3*S / pi)

on trouve r = 64,30 m comme longueur de la corde.

on néglige l'extension du cou de la bête .... y a pas de mêêêêêêê !

princessilla · #8

la moitié de la médiane du triangle.
Suis-je claire ? 50 m

JohnMatrix · #9

On note ABC le triangle équilatéral avec AB = AC = BC = 100.
En utilisant le sinus, l'aire Ai de ABC vaut :
Ai = (100 * sin(60) * 100) / 2

L'aire Ab broutée pas la chêvre en fonction du rayon r est une portion de 1/6 de ce cercle de rayon r (puisque les angles du triangle vallent 60°) :
Ab = (1/6) * $Formule LaTeX : \pi$ * r * r

On veut que Ab = (1/2) * Ai
=> (1/6) * $Formule LaTeX : \pi$ * r * r = (1/2) * Ai = 50 * 50 * sin(60)
=> r * r = (6 * 50 * 50 * sin(60)) / $Formule LaTeX : \pi$
=> r = sqrt((6 * 50 * 50 * sin(60)) / $Formule LaTeX : \pi$ )
=> r = sqrt((15000 * sin(60)) / $Formule LaTeX : \pi$ )
=> r = 64.3

La solution est donc 64.3

shadock · #10

Longueur de la corde:

$Formule LaTeX : L=\frac{50*3^{3/4}}{\sqrt(\pi)}$

papiauche · #11

La demi-aire du triangle équilatéral:
$Formule LaTeX : l^2*\frac{sqrt(3)}{4}$

L'aire couverte par la corde:

$Formule LaTeX : c^2*\frac{\pi}{6}$

Donc:

$Formule LaTeX : c=r*\frac{\sqrt{3*\sqrt(3)}}{4*\pi}$

Pour pour l = 100 m, c= 64,30 m.

Vasimolo · #12

Bonsoir

L'aire du champ est $Formule LaTeX : 2500\sqrt{3} m^2$ et l'aire d'un sixième de disque de rayon $Formule LaTeX : R$ : $Formule LaTeX : \frac{\pi R^2}{6}$ on a donc $Formule LaTeX : R=\frac{50\sqrt[4]{27}}{\sqrt{\pi}} \approx 64,30 m$ .

Plutôt facile

Vasimolo

gabrielduflot · #13

L'aire du champ est $Formule LaTeX : {{100 \times \sqrt3}\over 4}=25 \sqrt 3$ cm²
Soit R le rayon de l'arc de cercle
l'aire de cet arc est $Formule LaTeX : {\pi \times R^2\times 60}\over 360$ qui doit etre égal à $Formule LaTeX : 12,5 \sqrt 3$ d'où R= $Formule LaTeX : \sqrt{{60\times 12,5\sqrt 3}\over \pi}=\sqrt{{750\sqrt 3}\over \pi}$ qui est environ égal à 20,33m.

FRiZMOUT · #14

J'espère que je ne me plante pas :

L'aire total du champs :

$Formule LaTeX : 100^{2} * \frac{\sqrt{3}}{4} = 2500\sqrt{3} \approx 4330$ m²

Soit $Formule LaTeX : l$ la longueur de la corde.

L'aire de la partie pouvant être broutée :

$Formule LaTeX : l^{2} * \frac{\pi}{6}$ m²

On doit donc résoudre :

$Formule LaTeX : l^{2} * \frac{\pi}{6}=\frac{2500\sqrt{3}}{2}$

$Formule LaTeX : l^{2} = \frac{7500\sqrt{3}}{\pi}$

$Formule LaTeX : l = \sqrt{\frac{7500\sqrt{3}}{\pi}} = \frac{50*3^{\frac{3}{4}}}{\sqrt{\pi}}$ (je suppose que la corde n'a pas une longueur négative )

$Formule LaTeX : l \approx 64,3$ m.

sebaiguilhe · #15

64.3m

homere · #16

hello!
ma solution: 51,66 mètres
1/6*pi*r^2=1/2*aire du triangle r=51,66

gelule · #17

en résumé, celà revient à chercher le rayon d'un cercle dont la surface est égale à la moitié de la surface de 6 triangles équilatéraux de 100m de côté
soit 64.31m
je vous fais grace des dessins et calculs

phil0156 · #18

Je propose:
Le sixième de l'aire du cercle est égal à la moitié de l'aire du triangle.
r^2=(100*100*0.433)*3/Pi
donne r=64,079 m

greg · #19

150/(racine carré de Pi)~84.63

racine · #20

63,7 m

dylasse · #21

Soit a = le coté du champ et d la longueur de la corde.

L'aire du champ est Ac = a/2 * a * rac(3)/2 = a² rac(3)/4

L'aire "broutable" est Ab = 1/6 * pi * d² = pi /6 * d² (formule OK pour d < hauteur du triangle)

On veut Ab = Ac / 2, donc d = a rac (6/pi rac(3)/8) = a rac (rac(3)/pi 3/4)

Pour a = 100 m on trouve d = 64,3 m

perceval · #22

on cherche a calculer l'aire d'un secteur angulaire.
Puisque le triangle est équilatéral, l'angle vaut pi/3.
la surface brouté par la chèvre sera donc de (pi * L²)/6 alors que la surface totale du pré vaut (a² * sqrt(3))/4

a = longueur d'un cote du pre
L = longueur de la corde

Pour que la chèvre tonde la moitié du pré il faut donc que
(pi * L²)/6 = (a² * sqrt(3))/8
soit
L² =3* (a² * sqrt(3))/(4*pi)

AN : L =64.30 m.

NickoGecko · #23

dylasse a écrit:
L'aire "broutable"

excellent !

walterp · #24

64,3 m

MthS-MlndN · #25

Ben m**de, j'étais persuadé d'y avoir répondu... o_0'

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#1 - 17-02-2010 18:55:33

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