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 #1 - 13-01-2018 09:30:08

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3360

Nombers réfractaires

Bonjour @ tous.

On dit qu'un nombre " n " est réfractaire à un nombre premier " p " si n >p,  si la division de " n " par " p " n'est pas juste et si en plus, en changeant 1 seul chiffre de " n " , on n'arrive pas davantage à obtenir une division juste (reste nul).

Quels sont les nombres premiers " p " pour lesquels il n'existe aucun nombre réfractaire ?

Une partie de la réponse est évidente. Une partie seulement.

Bonne recherche.



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#0 Pub

 #2 - 13-01-2018 11:20:47

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 631

Nombres réfracatires

Salut nodgim,

pour p=2, 3, 5, 7, il est clair qu'il n'existe aucun nombre n réfractaire à p : par exemple pour p=7, si on change le dernier chiffre de n par 0, puis 1, 2, 3, 4, 5, 6, un des 7 nombres obtenus est divisible par 7.

Si p>100, alors 11 est réfractaire à p, car les premiers multiples de p sont 0 qu'on ne peut obtenir en changeant un seul chiffre de 11, puis p qu'on ne peut non plus obtenir car 11 n'a pas assez de chiffres.

Si p est à deux chiffres et différent de 11, on écrit la liste des multiples de p compris entre 00 et 99, et on trouve un nombre réfractaire à p en prenant un chiffre des unités et un chiffre des dizaines qui ne sont pas dans la liste.

Par exemple, si p=17, la liste est 00;17;34;51;68;85, la liste des chiffres des unités est donc 0;1;4;5;7;8 et celle des chiffres des dizaines est 0;1;3;5;6;8, n=22 ou n=43 sont donc deux nombres réfractaires à p (il y en a d'autres).

Le pire cas, p=13, fournit la liste 00;13;26;39;52;65;78;91, et donc 44 est réfractaire à 13.

Il reste le cas de p=11 qui ne peut se régler ainsi. Mais j'ai trouvé n=545 qui est réfractaire à 11, en utilisant le critère de divisibilité par 11. Si on change le premier chiffre, on obtient 045;145;...;945. La somme des chiffres de rang impair est 5;6;...;14, et celle des chiffres de rang pair est 4 : la différence entre ces deux sommes ne sera jamais un multiple de 11. De même avec le deuxième ou le troisième chiffre.

 #3 - 13-01-2018 11:25:09

Bastidol
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 60

oNmbres réfractaires

Bonjour,

Tous les nombres premiers  p < 10 n'ont aucun n réfractaire car on pourra toujours changer n en P.

Si  p > 10 tous les n < 10 seront réfractaires .
et en règle générale tous les n < p/10 (partie entière)



mais ça me parait trop facile hmm
@+

 #4 - 13-01-2018 12:46:28

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3360

nombres réfractaites

Ah je vois, mon énoncé n'était pas assez précis....

Je corrige l'énoncé en précisant que n > p. 

Sinon, c'est trop facile.

 #5 - 13-01-2018 18:09:05

Bastidol
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 60

Nombres réfracaires

Maj suite à modif  n>P

Je pense qu'il suffit de démontrer que n est réfractaire  lorsque n =p+1.

(p+1)/p  ne peut être entier que pour p=1 non premier.
Lorsque l’on modifie un chiffre n peut s’écrire  :
[TeX]n= p+1+k*{ 10 }^{ l }[/TeX]
   avec  0< l < rang -1 depuis la droite  du chiffre modifié.
   et      1< k < complément à 9 (ou 10 ?)  du chiffre modifié.
  Il faut démontrer que [latex]1+k*{ 10 }^{ l }[/latex] n’est pas multiple de p.

Suis je sur une bonne voie ????

 #6 - 13-01-2018 18:40:42

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 631

Nombres réfractaies

Ça ne me parait pas beaucoup plus dur, une fois qu'on a l'idée d'utiliser le principe des tiroirs.

Si le nombre premier p a k chiffres, il y a au plus 9 multiples de p (en commençant par 0) qui ont k chiffres (sans compter 0 qui est aussi multiple de p). Il y a 9k façons de changer exactement un des chiffres d'un de ces multiples. Donc cela fait au plus 10*(9k+1) nombres à k chiffres qui ne sont pas réfractaires à p.

Pour un nombre premier à 3 chiffres (k=3), cela fait au plus 280 nombres à 3 chiffres qui ne sont pas réfractaires à p. Donc si p<=718, par le principe des tiroirs, il existe un nombre réfractaire à p à trois chiffres parmi les nombres de [p+1;999] (ensemble de cardinal >=281).

Mais si k=3 et p>718, on regarde les multiples de p à <=4 chiffres (il y en a au plus 14), il y a donc au plus 14*(9*4+1)=518 nombres à 4 chiffres réfractaires à p, donc là encore le principe des tiroirs assure qu'il existe un nombre à 4 chiffres réfractaire à p.

Si k>3, la même méthode fonctionne, et même encore mieux car 10*(9k+1) augmente moins vite que le nombre de nombres à k chiffres.

Reste les cas k=1 et k=2. Si p n'a qu'un chiffre, il n'existe aucun nombre réfractaire à p (cf mon message précédent). Si p a deux chiffres, il existe à chaque fois un nombre réfractaire à p. Le cas le plus dur est 11, pour lequel n=545 convient. Pour les autres, il suffit de traiter les nombres premiers un par un, c'est beaucoup plus facile à trouver que pour 11.

 #7 - 14-01-2018 07:39:47

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3360

nombres réfractairrs

Bon, en effet, après réflexion ça reste assez élémentaire, plutôt loin de l'idée vers laquelle je voulais vous emmener....

J'ouvre un second fil qui, je l'espère, sera plus intéressant.

 #8 - 14-01-2018 09:32:41

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3360

nombres réfraxtaires

@ Bastidol :

Si tu choisis n = p + 1 , ça ne marche que si p se termine par 9. Car si p se termine par 3, 7 ou 1, alors ton chiffre des unités sera 4, 8 ou 2 qu'il suffira de ramener à 3, 7 ou 1 pour retrouver p.

 #9 - 14-01-2018 10:42:28

Bastidol
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 60

nombres réfracyaires

Mais il faut que n>p !!!

je mets à jour l'étendue de k et l
[TeX]n= p+1+k*{ 10 }^{ l }[/TeX]
   avec   l = rang -1 depuis la droite  du chiffre modifié.
   et      0 < k <  10 - chiffre modifié.
  Il faut démontrer que [latex]1+k*{ 10 }^{ l }[/latex] n’est pas multiple de p.

 #10 - 14-01-2018 12:42:57

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3360

Nombres réfratcaires

Oui c'est ça Bastidol.

Dans le message précédent, tu avais écrit qu'il fallait démontrer que p+1 était réfractaire, d'où ma mise en garde.

 #11 - 19-01-2018 16:52:20

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3360

nombres réfractaures

Bon, vous pouvez voir la réponse d'Ebichu qui utilise le principe dit des tiroirs pour démontrer qu'il existe pour tout nombre premier de plus d'un chiffre pas mal de nombres réfractaires.

Mais, pour un nombre premier en existe t'il une infinité ?

C'est l'objet du second message sur le sujet auquel je vous invite à réfléchir.

 

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