Quelque chose a déjà été proposé pour n=4 : http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=1964

Pas assez courageux pour réfléchir à ça aujourd'hui, désolé

Peut-être avec les racines et les identités remarquables :

Pour n=2 par exemple : ( 1- racine cubique(x)  )^3

Ca peut peut-être s'adapter pour n= 3 ou 4

@masab: Très bien!
un petit détail:
Spoiler : [Afficher le message] Dans le premier paragraphe il te manque le 2eme "supposons" (faut faire aussi le cas a>f(a), qui est tout à fait possible même avec une fonction croissante)
Il est trivial comme l'autre cas mais sinon c'est un peu bourrin de dire "Donc"

fn(x)= x+sin(2pi/n) doit faire l'affaire



Latex est enfin de retour.

Solution: de masab
Spoiler : [Afficher le message]
Ça n'existe malheureusement pas pour n>=3.
Démonstration:
f est continue, d’après les propriétés f est de plus bijective donc f est strictement monotone.
Supposons f croissante:
-Supposons qu'il existe a tel que a < f(a) en appliquant f à cette inégalité on a
  f(a) < f(f(a)) puis f(f(a)) < f(f(f(a))) d’où a < f^n(a)
-Supposons qu'il existe a tel que f(a) < a en appliquant f à cette inégalité on a
  f(f(a)) < f(a) puis f(f(f(a))) < f(f(a)) d’où f^n(a) < a
donc si f est croissante pour tout x f(x)=x, f est l'identité.

Supposons f décroissante:
L'identité étant une fonction croissante il faut nécessairement composer f un nombre pair de fois pour avoir la propriété voulue. On a donc f^2n = id. Ainsi donc F = f^2 composée n fois donne l'identité, f^2 étant croissante on a nécessairement f^2 = id comme précédemment démontré.

Autrement dit, sous nos hypothèses de définition sur R et de continuité les fonctions telles que f^n = id sont soit l'identité soit des involutions (ie fonction étant leur propre bijection réciproque, graphiquement celles dont leur courbe est symetrique par rapport à la droite f(x) = x).

@Vasimolo : Et en français, ça veut dire quoi l'énoncé ?