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 #1 - 28-06-2012 11:05:05

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 808
Lieu: Seahaven island

fonctiond circulaires

Hello!

Je poste ici la question subsidiaire que j'ai abordée dans blabla.
Il s'agit de trouver une fonction f de R dans R:
-définie partout
-continue partout
-tel que fofofo...f  n fois = identité
-et que fofofo...f  k fois différent de l'identité si k<n.

Ou prouver que ça n'existe pas.


(Son n-ieme itéré est l'identité et pas avant)

Le tout début est simple:
- n=1 :  x -> x convient.
- n=2 :  x -> -x convient.
- n=3 :  le mystère commence.

Bonne chance!

Tout comme la nuit, midi porte conseil, je pense avoir la solution. big_smile

Solution: de masab
Spoiler : [Afficher le message]
Ça n'existe malheureusement pas pour n>=3.
Démonstration:
f est continue, d’après les propriétés f est de plus bijective donc f est strictement monotone.
Supposons f croissante:
-Supposons qu'il existe a tel que a < f(a) en appliquant f à cette inégalité on a
  f(a) < f(f(a)) puis f(f(a)) < f(f(f(a))) d’où a < f^n(a)
-Supposons qu'il existe a tel que f(a) < a en appliquant f à cette inégalité on a
  f(f(a)) < f(a) puis f(f(f(a))) < f(f(a)) d’où f^n(a) < a
donc si f est croissante pour tout x f(x)=x, f est l'identité.

Supposons f décroissante:
L'identité étant une fonction croissante il faut nécessairement composer f un nombre pair de fois pour avoir la propriété voulue. On a donc f^2n = id. Ainsi donc F = f^2 composée n fois donne l'identité, f^2 étant croissante on a nécessairement f^2 = id comme précédemment démontré.

Autrement dit, sous nos hypothèses de définition sur R et de continuité les fonctions telles que f^n = id sont soit l'identité soit des involutions (ie fonction étant leur propre bijection réciproque, graphiquement celles dont leur courbe est symetrique par rapport à la droite f(x) = x).



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 #2 - 28-06-2012 11:49:02

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Fonctiosn circulaires

Quelque chose a déjà été proposé pour n=4 : http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=1964

Pas assez courageux pour réfléchir à ça aujourd'hui, désolé big_smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 28-06-2012 12:48:17

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 808
Lieu: Seahaven island

Fonctions circulaire

Quelque chose a déjà été proposé pour n=4

Non! tongue
J'ai dit définie partout tongue
Je pense avoir trouvé la solution à table ce midi.

 #4 - 28-06-2012 13:02:46

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,471E+3

fonctions circukaires

Peut-être avec les racines et les identités remarquables :

Pour n=2 par exemple : ( 1- racine cubique(x)  )^3

Ca peut peut-être s'adapter pour n= 3 ou 4

 #5 - 28-06-2012 15:00:19

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 682

Fonctions circulaire

f est bijective continue donc strictement monotone.

Supposons que f soit croissante. Supposons qu'il existe a tel que a<f(a).
Alors a<f(a)<f(f(a))<f(f(f(a))))<... d'où contradiction. On procède de façon analogue si l'on suppose f(a)<a [ajout suite à la remarque de Clydevil]. Donc f=identité.

Supposons que f soit décroissante. Posons g=fof. Alors g satisfait aussi aux hypothèses ; comme g est croissante on a g=identité. Autrement dit f=identité ou f est une involution.

 #6 - 28-06-2012 16:05:38

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 808
Lieu: Seahaven island

Fnctions circulaires

@masab: Très bien!
un petit détail:
Spoiler : [Afficher le message] Dans le premier paragraphe il te manque le 2eme "supposons" (faut faire aussi le cas a>f(a), qui est tout à fait possible même avec une fonction croissante)
Il est trivial comme l'autre cas mais sinon c'est un peu bourrin de dire "Donc" tongue

 #7 - 28-06-2012 17:12:36

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Fonction circulaires

Il me semble que ce n'est possible que pour n=2 (hormis l'identité).

Les fonctions sont du type:
f(x)=a-x

Je vais essayer de formaliser mon raisonnement plus tard.

 #8 - 30-06-2012 08:19:22

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

foncyions circulaires

fn(x)= x+sin(2pi/n) doit faire l'affaire
[TeX]f_n(x)=x+\sin{\frac{2\pi}n}[/TeX]
Latex est enfin de retour.

 #9 - 30-06-2012 09:07:23

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Fonctions circualires

Bonjour smile

Ce n'est pas une application directe du théorème de Sarkovski ?

Vasimolo

 #10 - 06-07-2012 14:09:21

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 808
Lieu: Seahaven island

Fonctions circulaaires

Solution: de masab
Spoiler : [Afficher le message]
Ça n'existe malheureusement pas pour n>=3.
Démonstration:
f est continue, d’après les propriétés f est de plus bijective donc f est strictement monotone.
Supposons f croissante:
-Supposons qu'il existe a tel que a < f(a) en appliquant f à cette inégalité on a
  f(a) < f(f(a)) puis f(f(a)) < f(f(f(a))) d’où a < f^n(a)
-Supposons qu'il existe a tel que f(a) < a en appliquant f à cette inégalité on a
  f(f(a)) < f(a) puis f(f(f(a))) < f(f(a)) d’où f^n(a) < a
donc si f est croissante pour tout x f(x)=x, f est l'identité.

Supposons f décroissante:
L'identité étant une fonction croissante il faut nécessairement composer f un nombre pair de fois pour avoir la propriété voulue. On a donc f^2n = id. Ainsi donc F = f^2 composée n fois donne l'identité, f^2 étant croissante on a nécessairement f^2 = id comme précédemment démontré.

Autrement dit, sous nos hypothèses de définition sur R et de continuité les fonctions telles que f^n = id sont soit l'identité soit des involutions (ie fonction étant leur propre bijection réciproque, graphiquement celles dont leur courbe est symetrique par rapport à la droite f(x) = x).

 #11 - 06-07-2012 16:32:54

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Foncitons circulaires

Pour ceux qui sont intéressé par une généralisation , un résultat assez surprenant :http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-sarkovski.pdf

Vasimolo

 #12 - 06-07-2012 19:24:21

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3316

fonctiond circulaires

@Vasimolo : Et en français, ça veut dire quoi l'énoncé ?


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #13 - 06-07-2012 22:51:08

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Fonctiions circulaires

Ben en clair , on dit que [latex]x[/latex] est n-périodique pour [latex]f[/latex] si [latex]n[/latex] est le plus petit entier strictement positif pour lequel [latex]f^n(x)=x[/latex] . Si une fonction [latex]f[/latex] d'un intervalle de [latex]\mathbb{R}[/latex] dans lui même admet un point 3-périodique alors elle admet un point de toute période [latex]k\geq 3[/latex] ce qui interdit [latex]f^k=Id[/latex] pour tout [latex]k\geq 3[/latex] .

Vasimolo

 

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