Enigmes

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 #1 - 03-09-2013 14:40:39

lol37
Passionné de Prise2Tete
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[anakyse] produits de fonctions trigo

Salut, voici un problème original
Soit la suite [latex](U_n)[/latex] définie pour tout n entier naturel par [latex]U_n = k sin(n)[/latex] avec k un réel ayant son module strictement supérieur à 1.
existe t'il k tel que le produit de chaque terme ( tout les termes ) de la suite se voit diverger grossièrement ? diverger en [latex]+\infty[/latex] ou [latex]-\infty[/latex] ? converger ?
en bref étudier la limite éventuelle des produits partiels de la suite en fonction de k
ps : le produit commence à n = 1 sinon c'est vite réglé...
Besoin d'aide ? Spoiler : [Afficher le message] Montrer que pour tout réel [latex]a \in ]-1,1[[/latex] il existe une application strictement croissante [latex]\phi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}[/latex] et aussi [latex]\phi(n) \ne n[/latex] tel que [latex]\lim_{n\to+\infty} \sin(\phi(n)) = a[/latex] ( en clair que la suite sans le k est dense dans ]-1,1[, je vous aide beaucoup mine de rien... )



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 #2 - 03-09-2013 15:06:15

Nombrilist
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[analysz] produits de fonctions trigo

Je ne suis pas sur de comprendre la question. On a Uo = 0. Donc, tout produit incluant Uo vaudra zéro. Je dois louper un truc.

 #3 - 03-09-2013 15:07:09

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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[Analyse] Produits d fonctions trigo

sin(0)=0

Je crois que ça règle le problème.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 03-09-2013 15:08:46

lol37
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[Analyse] Produist de fonctions trigo

hahaha j'ai édité mon post trop tard sad

 #5 - 03-09-2013 16:37:53

kossi_tg
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[analyse] profuits de fonctions trigo

lol37 a écrit:
le produit de chaque terme de la suite

C'est quoi le produit de chaque terme? ou je loupe quelque chose?

 #6 - 03-09-2013 16:48:12

lol37
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[Analysee] Produits de fonctions trigo

le produit de tout les termes de la suite à partir de n = 1

 #7 - 03-09-2013 16:51:19

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Lieu: Montargis

[analyse] produits de fonxtions trigo

Cool cool

 #8 - 04-09-2013 18:26:15

nodgim
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[analyse] produits fe fonctions trigo

Je n'ai pas la réponse, et sauf si c'est une propriété que j'ignore, ça me semble assez coton pour trouver.
Si k<1, pas de soucis, ça converge vers 0+-.
Il est évident que le produit des sin est < à la plus petite valeur, car tous les facteurs sont <1.
Pour compenser, faudrait il un k>e ?

 #9 - 05-09-2013 16:06:12

lol37
Passionné de Prise2Tete
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[Analyse] Produits de fontions trigo

j'ai écrit une petite aide pour ceux qui ne savent pas par quoi commencer

 #10 - 09-09-2013 09:48:39

Klimrod
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[Analyse] Produiits de fonctions trigo

Ce problème est-il tombé dans l'oubli ? roll


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #11 - 09-09-2013 09:57:39

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
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[analyse] prodiits de fonctions trigo

"Il est évident que le produit des sin est < à la plus petite valeur, car tous les facteurs sont <1."

Est-ce si évident ? Simple question de novice.

 #12 - 09-09-2013 19:18:34

lol37
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[Analyse] Produits de fonctions trigoo

"à la plus petite valeur", quelle plus petite valeur ?

 #13 - 09-09-2013 19:19:16

shadock
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[analyse] produits de fonctuons trigo

Je ne sais pas comment s'en servir mais il y a néanmoins un résultat intéressant,

Si on pose [latex]Q_n=\prod_{k=1}^{n-1} \left(1-e^{\frac{2ik\pi}{n}}\right)[/latex]

Il est facile de montrer que (je peux vous mettre la démo si vous voulez) [latex]\prod_{k=1}^{n-1} sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)=\frac{n}{2^{n-1}}[/latex]

Donc peut-être qu'on peut se débrouiller pour montrer que le produit est inférieur à 1.
Mais ce n'est pas chose facile à mon sens...


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #14 - 09-09-2013 19:21:50

lol37
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[Analyse] Produiits de fonctions trigo

Tu n'as pas mis de conditions, voudrais tu dire que c'est vrai tout le temps ?
ton Qn tu ne l'as pas utilisé en dessous !

 #15 - 09-09-2013 19:26:51

Franky1103
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[abalyse] produits de fonctions trigo

Le dessous doit être la partie imaginaire de Qn ou quelquechose comme ça.

 #16 - 09-09-2013 19:31:32

lol37
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[analyse] produits de fonctions trugo

Sa partie imaginaire est [latex]-\sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right)[/latex] (sans le produit).
mais bon ça sert à rien car en général le produit de la partie imaginaire d'un nombre complexe n'est pas égal à là partie imaginaire du produit de nombres complexes.

 #17 - 09-09-2013 19:33:05

shadock
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[Analyse] Produits de foncions trigo

Pour le dessous j'ai dis que je pouvais mettre la démo si vous voulez. smile

Mais vous pouvez aussi la chercher vous en êtes capables wink


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #18 - 09-09-2013 19:34:18

lol37
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[Analyse]] Produits de fonctions trigo

Nan nan c'est bon le but c'est de trouver les éléments pertinants pour résoudre le problème.
Tu n'as toujours pas répondu à ma question : es tu sur que tout les termes sont < à 1 ? tout le temps ?

 #19 - 09-09-2013 19:40:01

shadock
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[Analye] Produits de fonctions trigo

On pourrait essayer de faire la même chose avec des cosinus et essayer de trouver une expression de la dérivée du produit mais il y a des sommes qui apparaissent et c'est pas intéressant.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #20 - 09-09-2013 19:48:23

lol37
Passionné de Prise2Tete
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[Analyse] Produits de fonctionns trigo

J'ai modifié mon indice tardivement, auparavent ca n'avait aucun sens !

 #21 - 09-09-2013 19:57:35

shadock
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[Analyse] Produits e fonctions trigo

J'ai calculer [latex]\prod_{k=1}^{90} sin(k)=\frac{3\sqrt{5}}{2^{88.5}}[/latex] si ça peut aider quelqu'un smile

PS : Le calcul est monstrueux et le raisonnement hard ^^ Ca faisait une semaine que je cherchais big_smile
Une semaine c'est bien la réalité, puisque je m’entraîne pour les concours je ne pensais pas avoir une énigme de P2T là dessus ^^

Même Wolfram Alpha n'est pas capable de donner cette réponse exacte big_smilebig_smilebig_smilebig_smilebig_smilebig_smilebig_smilebig_smilebig_smilebig_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #22 - 09-09-2013 20:43:24

Franky1103
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[Analyse] roduits de fonctions trigo

Produit [sin(k^0)] (pour k de 1 à 90) = 90 x sin(1)
Il n'y aurait pas un schmilblick, là ?

 #23 - 09-09-2013 20:59:01

lol37
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[analyse] produits de fonctions yrigo

k^0 fait 1 quelque soit k entre 1 et 90.
je pense qu'il a voulu simplifier sin(1)^90.

 #24 - 09-09-2013 22:29:33

shadock
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3316

[analyse] prosuits de fonctions trigo

C'est pas un 0 c'est un degré... roll
C'était pour ne pas confondre avec les radians, j'édite donc mon post wink


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #25 - 09-09-2013 22:53:48

cogito
Expert de Prise2Tete
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Messages : 593

[Analyyse] Produits de fonctions trigo

Un k^0 ressemble à ça [latex]k^0[/latex], ce qui est dans la formule de shadock est [latex]k°[/latex], je pense que le ° est une erreur de frappe.

En tous cas son calcul est très intéressant.

Dans le produit des [latex]U_n[/latex] il y a deux parties :
une partie qui est [latex]k^n[/latex] et une autre qui est un produit de sinus.

Il est clair que le produit de sinus est < 1 (car un sinus est compris entre -1 et 1).
Le problème est que [latex]k^n[/latex] tend vers [latex]+\infty[/latex] et que le produit des sinus tend vers 0. Le truc est de savoir qui l'emporte.

Au début je pensait que le k^n l'emportait largement, mais le calcul de shadock, fait apparaître une division par [latex]2^{88,5}[/latex] (pour 90 termes) donc finalement c'est le produit des sinus qui a plutôt l'air de l'emporter.

Autrement écrit le produit des [latex]U_n[/latex] aurait plutôt tendance à tendre vers 0.

Edit : je dis n'importe quoi, si par exemple k = 2 alors le [latex]2^{90}[/latex] compenserait le [latex]2^{88,5}[/latex] donc du coups peut-être que pour certaines valeurs de k < 2 le produit tend vers 0 et que pour un k > 2 le produit diverge ...


Il y a sûrement plus simple.

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