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 #1 - 22-04-2018 08:13:15

Vasimolo
Le pâtissier
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Magie 66

Un petit tour de magie (original ) que j'ai expérimenté avec pas mal de succès smile

On fournit un lot de jetons de trois couleurs ( Bleu , Jaune ou Rouge ) à un membre du public et on lui demande de fabriquer une chaîne rectiligne avec neuf d'entre eux . On explique ensuite qu'il va devoir monter une pyramide ligne par ligne avec les jetons restants de la façon suivante : entre deux jetons de même couleur il posera un jeton de cette couleur et entre deux jetons de couleurs différentes il posera un jeton de la troisième couleur .

Une illustration avec une ligne de cinq :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-magie6.png

On demande ensuite à l'invité de choisir une des extrémités de sa ligne et d'indiquer la couleur qu'il souhaite au sommet de la pyramide ( à ce stade on n’a toujours rien vu ) .  Après qu'il ait annoncé ses choix on jette un bref coup d’œil à sa réalisation , on ajoute un pion à l’extrémité désignée , puis on le laisse monter sa pyramide . C’est assez long mais la surprise n’en est que plus grande lorsqu’on constate à l’arrivée que le dernier pion a la couleur voulue .

Un tour très facile à réaliser même en fin de soirée , mais comment fonctionne-t-il ?

Amusez-vous bien smile

Vasimolo

PS : il y avait un petit bug dans ma première version , désolé pour ceux qui ont cherché pour rien .



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 #2 - 22-04-2018 09:38:46

nodgim
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Maagie 6

Je ne sais pas si c'est ce que tu as attend, mais si on part de la couleur qu'on veut ajouter en haut de la pyramide, c'est très facile par déduction de retrouver la couleur en bas, puisque l'algorithme est réversible.

Cela dit, l'astuce est peut être de chercher la solution sur la base de la pyramide plutôt que sur la pente.

 #3 - 22-04-2018 10:03:27

Vasimolo
Le pâtissier
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mzgie 6

Non , l'algorithme n'est pas réversible , sous un B on peut avoir BB , JR ou RJ ce qui multiplie les possibilités au fil des étages .


http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-magie6dixpions.png

Et pourquoi ?

Vasimolo

 #4 - 22-04-2018 10:49:26

nodgim
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Mage 6

Je me suis mal fait comprendre.

Mettons que l'on veuille faire un ajout de jetons sur le flanc gauche d'une pyramide de hauteur 5 et que les jetons du flanc gauche, de bas en haut, soient 11223. Si on veut 1 en haut, il faut 2 en bas. 3+1 = 2; 2+2=2; etc...

C'est dans ce sens là que je parlais de réversibilité. Si a + b = c alors a + c = b.

 #5 - 22-04-2018 11:14:57

Vasimolo
Le pâtissier
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magoe 6

D'accord , mais comment prévoir le flanc gauche et surtout comment être sûr d'obtenir la bonne couleur au sommet et comment ?

Vasimolo

 #6 - 22-04-2018 15:42:43

enigmatus
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mague 6

Bonjour Vasimolo,
On représente les couleurs par les valeurs 0, 1, 2.
Avec une base de N jetons, numérotés de 0 à N-1, la valeur du jeton au sommet est donnée par l'expression :
{ (-1)**(N-1) * [somme, pour j=0->N-1 ( jeton(j) * cnp(N-1,j) ) ] } modulo 3

On peut remplacer les coefficients du binôme dans l'expression par leur valeur modulo 3.

Pour N=10, il se trouve que seuls les 2 jetons des extrémités interviennent, et on retrouve la règle initiale des triangles de base, à savoir : j3 = ( -j1 - j2 ) modulo 3.

Édité : Ajout de la dernière formule

 #7 - 22-04-2018 18:24:23

nodgim
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magir 6

" D'accord , mais comment prévoir le flanc gauche et surtout comment être sûr d'obtenir la bonne couleur au sommet et comment ? "

On dit bien dans l'énoncé qu'on regarde la "réalisation", c''est à dire la pyramide, pour ce que je comprends. La question que je pose autrement : la seule analyse de la chaîne de départ suffit elle à prévoir la couleur du jeton au sommet ?

 #8 - 22-04-2018 18:50:43

Vasimolo
Le pâtissier
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magoe 6

Non Nodgim , le magicien regarde simplement la ligne initiale de 9 pions .

Vasimolo

 #9 - 22-04-2018 18:55:37

Vasimolo
Le pâtissier
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Magi e6

@Enigmatus : je suis d'accord avec la réduction de ta formule mais tu l'expliques comment ?

Vasimolo

 #10 - 22-04-2018 20:11:31

enigmatus
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Magi e6

Vasimolo #9 a écrit:

@Enigmatus : je suis d'accord avec la réduction de ta formule mais tu l'expliques comment ?

C'est parce que, pour j=1->8, les coefficients du binôme cnp(9,j) sont des multiples de 3, et n'interviennent pas dans le résultat.

 #11 - 23-04-2018 07:38:42

nodgim
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Magei 6

Soit n-k, le k-ième jeton de la n-ième ligne (en partant du bas) de la pyramide.

On a la relation générale : n-k + (n-1)-k + (n-1)-(k+1) = 0 [3]

On peut en déduire une valeur [3] pour n-k :
n-k = - (n-1)-k - (n-1)-(k+1)
= (n-2)-k + 2 (n-2)-(k+1) + (n-2)-(k+2)
= - (n-3)-k - 3 (n-3)-(k+1) - 3 (n-3)-(k+2) - (n-3)-(k+4)
=......

On reconnait les coefficients du triangle de Pascal. Bien entendu, on peut se contenter de ne donner que leurs valeurs modulo 3.

Il se trouve que pour n = 10 on obtient que des 0 pour les coefficients intermédaires, et donc :

10-1 = -(1-1) - (1-10)

Il suffit de regarder les 2 jetons d'extrémité à la base de la pyramide et d'appliquer la règle comme si le jeton tout en haut était juste au dessus des 2 jetons considérés comme joints.

 #12 - 23-04-2018 12:51:06

Vasimolo
Le pâtissier
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mahie 6

C'est bon Enigmatus et Nodgim smile

Vasimolo

 #13 - 23-04-2018 17:33:36

Ebichu
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agie 6

Les trois jetons aux extrémités de la pyramide de taille 10 vérifient la même règle que trois jetons formant une pyramide de taille 2.

Je ne détaille pas faute de temps et car je pense que certains ont fait ça mieux que moi, mais c'est lié au fait que dans la 10e ligne du triangle de Pascal, seuls les deux "1" aux extrémités ne sont pas divisibles par 3. Je peux préciser ma pensée si nécessaire.

 #14 - 23-04-2018 17:42:27

Vasimolo
Le pâtissier
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mahie 6

Beaucoup sont passés par le triangle de Pascal , j'ai fait un peu différemment smile

Le masque sera levé dans quelques heures et je ne suis pas sûr qu'il soit utile d'ajouter du temps .

Vasimolo

 #15 - 24-04-2018 11:43:02

scarta
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magoe 6

Dommage, j’arrive après la bataille ou presque. On note les couleurs 0,1 et 2
Un pion est calculé en faisant la somme de ses deux parents, et en prenant l’opposé, modulo 3
On associe au pion sommet le nombre 1
En redescendant la pyramide, on additionne les valeurs du ou des enfants (on gros c’est le triangle de Pascal), ce qui nous donne le nombre de fois où un pion de départ est utilisé

Il faut donc considérer la 9eme ligne du triangle de Pascal, et en plus modulo 3. Magique : tout est nul sauf les bords.
Il suffit donc d’appliquer la même règle que pour la construction aux deux pions « sommets » pour trouver le 3ème.
J’aurai aimé pouvoir formaliser un peu plus

 #16 - 24-04-2018 19:07:27

Vasimolo
Le pâtissier
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mafie 6

Je peux ajouter un peu de temps si tu veux formaliser un peu plus mais l'idée est là smile

Vasimolo

 #17 - 25-04-2018 08:01:23

Vasimolo
Le pâtissier
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Magie 66

Nous avons tous eu à peu près la même idée avec du modulo 3 .

On remarque que pour chaque petit triangle équilatéral de couleurs a , b et c on a a+b+c=0 [modulo 3] . On retrouve cette même égalité aux sommets de chaque triangle  équilatéral de côté 3 ( 4 points sur chaque arête ) et par voie de conséquence du grand triangle de côté 9 . Si on note « a » la couleur non sélectionnée à la base et « b » la couleur souhaitée en haut , on choisira la couleur c telle que a+b+c=0 à l’extrémité désignée .
http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-magie6sol.png
Merci aux participants smile

Vasimolo

 #18 - 25-04-2018 10:49:39

nodgim
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Magiee 6

Oui, et donc aussi pour toute chaîne de longueur 3^n + 1.

 

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