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 #1 - 25-06-2018 09:02:55

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 741

sproyts

Bonjour à tous,

vous connaissez peut-être le jeu "Sprouts" (jeu des pousses en français). C'est un jeu papier/crayon à deux joueurs, qui commence avec un certain nombre de points (3 sur mon exemple).

Chacun leur tour, les joueurs relient deux points par une ligne continue, puis ils placent un nouveau point quelque part au centre de cette ligne. Les règles suivantes s'appliquent également :
* la ligne tracée ne doit couper aucune ligne précédemment tracée, ni toucher aucun autre point.
* plutôt que de relier deux points, on peut relier un point à lui-même.
* il ne doit pas y avoir plus de 3 lignes partant d'un même point. Ainsi, on ne peut plus jouer avec un point dont partent 3 lignes, ni relier à lui-même un point dont 2 lignes partent.

Enfin, la partie se termine lorsqu'un joueur ne peut plus jouer. Son adversaire a alors gagné.

Voici un exemple de partie avec 3 points au départ : http://www.prise2tete.fr/upload/Ebichu-sproutsexemple.png

Les points représentés en rouge sont ceux dont 3 lignes partent, et avec lesquels on ne peut plus jouer. La partie se termine ici en 7 coups, donc par une victoire du premier joueur.

Vous en savez désormais assez pour répondre à la question suivante : dans le jeu avec deux points de départ, quel joueur est assuré de gagner, et quelle stratégie doit-il appliquer ?



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 #2 - 25-06-2018 15:45:01

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3500

Spruots

Le 1er joueur (a) perd contre b.

Le jeu se termine en 5 coups max, puisque le nombre de liaisons disponibles diminue d'une unité à chaque coup.

Sans la contrainte topologique, a gagnerait à tous coups. Mais du fait de cette contrainte, c'est b qui gagne à tous les coups.

Si a joue en 1er coup 1 seul point ( boucle ) qui n'enferme pas le 2ème point, b répond en reliant les 2 points de la boucle par l'intérieur. a est alors obligé de jouer le 2ème point en boucle et b termine. Si la boucle enferme le 2ème point, alors b répondra en reliant les 2 points de la boucle par l'extérieur.



a doit donc relier les 2 points.

b répond en reliant les points extrêmes, on a alors une boucle de 4 points, aucune boucle 1 point n'est plus possible.

a doit alors relier 2 points :
-si 2 consécutifs par l'extérieur, b répond en reliant les 2 autres par l'intérieur.
-si 2 conécutifs par l'intérieur, b répond en reliant les 2 autres par l'extérieur.
-si 2 points en diagonale: quel que soit la réponse de b, a ne pourra pas jouer une 3ème fois.

 #3 - 25-06-2018 15:57:37

fauconiv
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 7

Spprouts

C est le joueur qui fait le 2ieme coup qui gagne :
Si le 1ier relis les 2 points il faut que le 2ieme relis les 2 mêmes points
Si le 1ier fait une boucle avec un des deux points il faut que le 2ieme relis le point utilisé et le point créé à l extérieur de la boucle créé

 #4 - 25-06-2018 18:58:46

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1461
Lieu: Coutiches

sproutq

Salut ! Le 1er perd d'après les suites ci-dessous. Je pense ne pas avoir oublié de cas.
http://www.prise2tete.fr/upload/golgot59-sprout.png

 #5 - 25-06-2018 22:14:41

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 741

Sporuts

@nodgim, fauconiv, golgot59 : vous avez trouvé le joueur en position de force, bravo ! Néanmoins je me permets par la suite de pinailler pour m'assurer que vous n'avez rien manqué.

@nodgim, golgot59 : je pourrais vous opposer avec candeur que vous omettez l'un des trois premiers coups possibles.

@fauconiv : dans ton deuxième cas, tu ne précises pas suffisamment comment est fait ton dessin, ce qui fait que l'on pourrait estimer que ton analyse est fausse.

 #6 - 26-06-2018 08:09:46

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3500

Spruots

J'ai complété mon texte pour le cas de la boucle " 1er point " qui peut ou non enfermer le 2ème point. Mais il s'agit bien de toute façon de la même idée selon laquelle les boucles prédisposent à isoler des points et à les empêcher d'être reliés avec une 3ème liaison.
Je soupçonne qu'il va y avoir une suite à cette question....

 #7 - 26-06-2018 08:14:05

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3500

sprouys

Il faudrait ajouter tout de même une contrainte à l'énoncé :

Une liaison a un tracé libre mais ne doit pas tangenter avec elle même ( ou une autre liaison ). Sans cette règle, le 1er joueur peut tuer le problème à son 1er coup, en isolant tous les points, y compris celui qui est créé avec la liaison.

 #8 - 26-06-2018 13:48:24

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 741

Sproutss

@nodgim : c'était bien cela que je sous entendais, je suis d'accord que c'est la même idée.

Pour ton autre remarque, on pourrait effectivement préciser. Mais s'il y a tangence, alors il y a un point de contact, donc on coupe une ligne précédemment tracée, ce qui est interdit. Enfin bon, c'est un jeu papier crayon, on va éviter les considérations topologiques trop abstraites, disons juste qu'il est très vilain de tricher smile

 #9 - 26-06-2018 21:29:42

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1461
Lieu: Coutiches

Sproouts

Oups, j'avais effectivement oublié un cas : Dur d'être sûr de ne rien avoir oublié !
http://www.prise2tete.fr/upload/golgot59-sprout2.png

 #10 - 26-06-2018 23:09:51

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 741

Srpouts

@golgot59 : c'est bien cela !

 #11 - 30-06-2018 12:19:12

juju
Visiteur

Sprouuts

Bonjour,
Alors pour moi, je pense d'abord qu'il ne faut pas commencer le jeu sinon on perd !
Ensuite
- si la personne commence par faire un cercle avec un point, on relie les 2 extrémités et de même pour l'autre et on gagne.
- sinon (la personne relie les 2 points), alors on relie les extrémités de façon à former un cercle avec 4 points. Si la personne relie à l'intérieur du cercle, on relie les 2 autres points à l'extérieur, et inversement, comme cela il ne pourra pas jouer le dernier coup.

 #12 - 30-06-2018 18:38:43

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 741

prouts

Félicitations aux participants, qui avaient tous trouvé la bonne stratégie. La principale difficulté est de ne pas se perdre parmi toutes les possibilités de tracé. Une façon compacte et exhaustive de visualiser la solution est la suivante :

* si le premier joueur relie un point à lui-même, il divise alors la feuille en deux régions. Le deuxième joueur relie alors les deux points de la boucle qui vient d'être créée par un chemin dans la région qui ne comporte pas le point isolé restant. Il reste alors deux coups à jouer avec ce point isolé.

* si le premier joueur relie les deux points entre eux, le deuxième répond en reliant ces deux mêmes points, formant une boucle à 4 points qui là aussi divise la feuille en deux régions. Si ensuite le premier joueur relie deux points de la boucle dans une des deux régions, le deuxième joueur répond en reliant les deux autres points de la boucle dans l'autre région, et la partie est terminée.

Pour finir, puisque nodgim semblait espérer une question subsidiaire, je propose d'analyser le jeu à deux points sur un ruban de Möbius (on imagine qu'on fabrique un tel ruban avec du plastique transparent, et qu'on joue avec un feutre).

http://www.prise2tete.fr/upload/Ebichu-mobius.png

 #13 - 01-07-2018 07:32:51

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3500

sorouts

Ce n'est pas tant que j'espérais une suite, mais je me demandais si tu n'allais pas nous proposer une généralisation avec n points au départ. Il me semble que pour 3 points, le 1er joueur gagne.

 #14 - 01-07-2018 11:11:04

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 741

Spouts

Oui, avec 3 points, c'est bien ça. On peut faire une analyse relativement simple du jeu jusqu'à n=5, après, des analyses manuelles existent mais ça devient long, il vaut mieux avoir recours à l'ordinateur.

Pour savoir quel joueur gagne en fonction de n, il y a une conjecture qui existe (le joueur 2 gagne ssi n=0, 1, ou 2 mod 6) qui a été vérifiée informatiquement jusqu'à de grandes valeurs de n (plus de 40), mais qui parait très difficile à démontrer.

 

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