Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

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 #1 - 07-11-2009 00:12:37

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Idenntité opposée

Bonsoir smile

Existe-t-il une fonction [latex]f[/latex] de [latex]\mathbb{R}[/latex] dans [latex]\mathbb{R}[/latex] telle que [latex] f \circ f = -Id_{\mathbb{R}} [/latex] ?

Grosse artillerie s'abstenir big_smile

Si l'énigme plait , j'en ai d'autres du même style , mais un seul lièvre à la fois ...

Amusez-vous bien smile

Vasimolo



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 #2 - 07-11-2009 00:16:09

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Idntité opposée

"c'est pas faux"


http://enigmusique.blogspot.com/

 #3 - 07-11-2009 00:41:55

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Rouen

dIentité opposée

J'arrive à bricoler des fonctions d'entiers qui respectent une condition similaire, en scindant les entiers en entiers pairs et impairs, et en appliquant des traitements différents aux uns et aux autres.

Je cherche désespérément une scission du même genre sur les réels, mais outre positif/négatif (qui ne me mène pas bien loin), rien pour l'instant.

Peut-être une opération simple et réversible qui change tout rationnel en irrationnel... et vice-versa ?!! Inconnue au bataillon, mon général lol Et vu les cardinaux des deux ensembles, pas de bijection possible.

72 heures pour méditer là-dessus... Le temps de s'acharner, quoi lol



J'ai pensé à repartir de l'idée toute bête que j'avais sur les entiers :

f(x) = x + 1 si x pair
         1 - x sinon

Ca marche pour les pairs mais pas pour les impairs, crotte. Comme quoi c'était vraiment une idée bête lol Bon ben... je m'acharne mais un peu dans le vide. L'idée, c'est de trouver une fonction qui marche sur N, puis de l'étendre en prenant les ensembles de type [2k,2k+1[ et [2k+1,2k+2[ à la place de "pair" et "impair". Je m'acharne encore...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 07-11-2009 06:30:56

emmaenne
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3058
Lieu: Au sud du Nord

Iedntité opposée

Vous pouvez répéter la question? mad


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #5 - 07-11-2009 10:33:01

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Identité oposée

Pour ceux qui sont gênés par le formalisme de l'énigme smile

On cherche une fonction de l'ensemble des nombres réels dans lui même qui appliquée deux fois à n'importe quel nombre donne son opposé ( pourquoi ai-je l'impression d'être de plus en plus abscons sad )

Un exemple : la fonction [latex]f(x)=1-x[/latex] .

[latex]f(8)=-7[/latex] et [latex]f(-7)=8[/latex] c'est à dire [latex]f\circ f(8)=8[/latex] .
[latex]f(-4)=5[/latex] et [latex]f(5)=-4[/latex] c'est à dire  [latex]f\circ f(-4)=-4[/latex] .
On obtient des résultats similaires pours tous les réels c'est à dire que [latex]f \circ f (x)= x[/latex] on dit que [latex]f \circ f[/latex] est l'identité sur [latex]\mathbb{R}[/latex] ( [latex]Id_{\mathbb{R}}[/latex] ) . Cet exemple ne répond pas au problème .

Il faudrait trouver une fonction [latex]f[/latex] telle que [latex]f\circ f(x)=-x[/latex] c'est à dire [latex]f \circ f(8)=-8[/latex] , [latex]f \circ f(-4)=4[/latex] , ... 

J'espère que formulée ainsi la question est plus claire smile

Vasimolo

 #6 - 07-11-2009 11:48:13

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 933

Identité opposé

Si f(a)=b, alors f(b)=-a. la courbe comprend donc les points M(a;b) et N(b;-a), le second étant l'image du premier par la rotation de centre O et d'angle droit négatif.
Cette courbe est donc globalement invariante par cette rotation.
Si on applique deux fois cette rotation, on trouve la symétrie de centre O, preuve que f doit être impaire.

On crée aisément point par point une solution de Z vers Z, mais comment passer à R ?

J'imagine une courbe qui serait portée par la réunion de deux droites, l'une d'équation y=2x, l'autre d'équation y=-0,5x. Mais peut-on effectivement choisir pour chaque abscisse tantôt un point de l'une, tantôt un point de l'autre ? Là, je ne suis pas sûr...
Je tenterais :
- la première droite sur [1;2[ ( & ]-2;-1] bien sûr )
- l'autre sur [0,5;1[ et [2;4[
- la première sur [0,25;0,5[ et [4;8[
- etc.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #7 - 07-11-2009 12:33:24

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Identité oppoée

f(x)=-|x| pour x>0 car f(f(x))=-|-|x||=-|x|
f(x)=|x| pour x<=0

 #8 - 07-11-2009 14:49:58

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Identitté opposée

Ne serais-ce pas cette raison que l'on ait inventé les nombres imaginaires?

f(x)= i. x ou i=sqrt(-1)
bien evidement, on est plus dans R, mais peut-etre que ce n'est pas possible dans R ?


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #9 - 08-11-2009 16:42:18

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Identitéé opposée

Si f est bijective alors il n'y a pas de solution car en effet,dans ce cas,la réciproque de f est egale a -f et donc la symetrie par rapport à la première bissectrice ammène sur -f.Par suite la symétrie,par rapport à la première bissectrice suivie de la symetrie par rapport à l'axe des abscisses,du graphe est incluse dans le graphe.Ce qui est egal à une rotation d'angle -pi/2.
Par bijectivité sur R le grphe passe par lun point d'ordonnée 0 puis par la rotation précedente par un point d'abscisse 0 puis en appliquant de nouveau la rotation, par le point d'abscisse 0 et d'ordonnée opposée ce qui donne deux images à un même point.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #10 - 08-11-2009 20:39:14

VanSS
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 31

Identité oppoése

Pas si facile, intuitivement j'étais persuadée que cela ne pouvait exister que dans [latex]\mathbb{C}[/latex]

Pourtant après reflexion, je me trompais il en existe plusieurs.
Sur un intervalle [latex]I\subset \mathbb{R}[/latex] centré en 0, on pose g une fonction bijective impair de [latex]I[/latex] vers [latex]\mathbb{R} \setminus I \cup\{0\}[/latex] et ensuite

-si [latex] x \in I, f(x)=g(x)[/latex]
-si [latex]x \notin I, f(x)=-g^{-1}(x)[/latex]

Alors pour comprendre, il faut déja savoir ce que fonction bijective veut dire : en fait c'est une fonction où toutes les images possibles sont atteintes et à partir de chaque image on peut retrouver l'antecedent de maniere unique. Du coup ce genre de fonction est inversible (c'est ce que veux dire mon [latex]g^{-1}[/latex]).
Pour fonction impair cela veut dire que [latex]g(-x)=-g(x)[/latex] d'où [latex]g(0)=0[/latex]

Ensuite pourquoi ça marche mon histoire
pour [latex]x=0, f\circ f(x)=f\circ(g(0))=f(0)=0[/latex]
pour [latex]x \neq 0 \in I, f(x)=g(x)[/latex] où [latex]g(x) \notin I[/latex] donc [latex]f \circ f(x)=-g^{-1}(g(x))=-x[/latex]
pour [latex]x \notin I, f(x)=-g^{-1}(x)[/latex] où [latex]g^{-1}(x) \in I[/latex], de même  [latex] -g^{-1}(x) \in I[/latex] car l'intervalle est centré en 0. Donc [latex]f \circ f(x)=g(-g^{-1}(x))=-g(g^{-1}(x))=-x[/latex]

Maintenant il faut se convaincre que de telles fonction [latex]g[/latex]  existe, je n'en ai pas trouvé de simple mais je propose la suivante
-si [latex]x=0,g(x)=0[/latex]
-si [latex]\exists k\geq0,x\in\]2k,2k+1\], g(x)=x+1[/latex]
-si [latex]\exists k\leq0,x\in\[2k-1,2k\[, g(x)=x-1[/latex]

 #11 - 09-11-2009 10:53:30

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Ientité opposée

Soit f définie par :
+ f(0) = 0
+ pour lxl € [2^(2p);2^(2p+1)[, f(x) = 2x (p entier relatif)
+ pour lxl € [2^(2p+1);2^(2p+2)[, f(x) = -x/2

Ca doit marcher !

En fait, j'ai cherché à découper R* en deux parties (chacune symétrique, i.e. si y € P1, -y € P1) où l'on peut trouver une fonction impaire (ici g(x)=2x qui fasse passer d'une partie à l'autre). Sur une partie on définie f égale à g, sur l'autre f=-g* (où g* est la fonction réciproque de g).

En voici une autre :
+ f(0) = 0
+ pour lxl € ]2n;2n+1] (n entier naturel), f(x)=x+1 pour x>0 et f(x)=x-1 pour x<0.
+ pour lxl € ]2n+1;2n+2], f(x)= -x+1 pour x>0 et f(x)=-x-1 pour x<0.

ou une autre
+ f(0) = 0
+ pour -1 <= x < 1, f(x) = 1/x
+ pour x < -1 ou x >= 1, f(x) = -1/x

Par contre, je ne pense pas (intuitivement hmm) qu'une fonction continue puisse posséder cette propriété. Il pourrait être intéressant de le démontrer ou de trouver un exemple démentant mon intuition).

Evidemment que ça plait ce genre de problème !!!!!

 #12 - 09-11-2009 13:09:13

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2126

Identité oppossée

En furetant sur le Web j'ai trouvé ça:

http://forums.futura-sciences.com/mathe … x-x-3.html

Principe:
f(x)=

0 si x=0
-1/x si x€]-inf;-1[
1/x si x€]-1;0[
1/x si x€]0;1[
-1/x si x€]1;+inf[

Mais qui pose problème en 1 et - 1.
Résolu par l'auteur en séparant les entiers des non entiers:


Soit f la fonction définie sur IR par :
si x appartient à IR\(Z*U{1/k|k€Z}) :
f(x)=

0 si x=0
-1/x si x€]-inf;-1[
1/x si x€]-1;0[
1/x si x€]0;1[
-1/x si x€]1;+inf[

si x€Z*U{1/k|k€Z}
f(x)=

-1/(x-1) si x€]-inf;-1]
(1/x)+1 si x€]-1;0[
(1/x)-1 si x€]0;1[
-1/(x+1) si x€[1;+inf[

Si ça n'est pas de l'artillerie lourde, ça sent quand même le mortier! lol


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #13 - 09-11-2009 19:58:12

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
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Lieu: Lille si j'y suis

Identité opposé

Mon raisonnement ne marche pas car la fonction si elle est bijective (ou peut- etre tout le temps?) est impaire donc passe par l'origine est ma rotation n'y fait rien.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #14 - 10-11-2009 10:59:20

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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identité oppodée

dylasse a écrit:

+ f(0) = 0
+ pour lxl € ]2n;2n+1] (n entier naturel), f(x)=x+1 pour x>0 et f(x)=x-1 pour x<0.
+ pour lxl € ]2n+1;2n+2], f(x)= -x+1 pour x>0 et f(x)=-x-1 pour x<0.

C'est celle que je cherchais et que je n'ai pas réussi à poser lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #15 - 10-11-2009 15:10:11

Vasimolo
Le pâtissier
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Identité oppoosée

Oui , de telles fonctions existent , j'avais pensé à la même que dylasse :

http://img132.imageshack.us/img132/1582/fofid.jpg

On peut en imaginer une infinité d'autres en considérant une partition de [latex]\mathbb{R}^*_+[/latex] en deux parties [latex]A[/latex] et [latex]B[/latex] de même cardinal et [latex]g[/latex] une bijection de [latex]A[/latex] vers [latex]B[/latex] . Alors on construit [latex]f[/latex] en complétant par symétrie autour de l'origine : [latex]f(0)=0[/latex] , [latex]f(x)=g(x)[/latex] si [latex]x \in A[/latex] et [latex]f(x)=-g^{-1}(x)[/latex] si [latex]x\in B[/latex] .

On a noté que [latex]f[/latex] est impaire , c'est aussi une bijection car [latex]- Id[/latex] en est une . D'autre part [latex]f[/latex] ne peut pas être continue , en effet [latex]f(1)=a[/latex] , [latex]f(a)=-1[/latex] , [latex]f(-1)=-a[/latex] et [latex]f(-a)=1[/latex] . Si [latex]a[/latex] est positif ( resp négatif ) [latex]f[/latex] prend des valeurs positives et négatives sur l'intervalle d'extrémités 1 et [latex]a[/latex] ( resp 1 et [latex]-a[/latex] ) si elle est continue elle s'annule sur cet intervalle et comme [latex]f(0)=0[/latex]  , on contredit le fait que [latex]f[/latex] est bijective .

Merci pour l'intérêt porté à l'énigme smile

Vasimolo

 #16 - 10-11-2009 15:35:08

Flying_pyros
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Identité oppsoée

J'ai rien compris mais le graphique est très beau... lol

 #17 - 10-11-2009 19:06:14

emmaenne
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Identité oppsée

Je n'ai rien compris mais le graphique est très beau... lol


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #18 - 10-11-2009 19:21:35

MthS-MlndN
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Identité oppsoée

En gros, le principe de base est de trouver une partition de l'ensemble des réels (une séparation, en gros) en deux ensembles, de telle manière à ce qu'une fonction puisse faire passer n'importe quel x d'un de ces deux ensembles vers l'autre et vice-versa.

Pour cela, il faut qu'ils aient même cardinal, c'est-à-dire "autant d'éléments". Je sais, il y a une infinité d'éléments dans R, mais ça ne nous empêche pas de couper cet infini en deux parts égales, de la même manière qu'on peut couper les entiers en "entiers pairs" d'un côté, "entiers impairs" de l'autre, et on devine aisément que ces deux sous-ensembles :
- auront autant d'éléments ;
- forment une partition des entiers, à savoir que tout entier appartiendra à un et un seul de ces sous-ensembles.

Ensuite, une fois trouvée une partition des réels en deux ensembles A et B, on doit trouver une fonction qui envoie tout élément de A dans B et tout élément de B dans A, car cette dissymétrie nous permettra de jongler tranquillement avec nos valeurs.

Je reprends un exemple sur les entiers, et je découpe les entiers en "entiers pairs" et "entiers impairs". Je veux une fonction qui transforme un entier pair en un entier impair, et un entier impair en un entier pair. Je veux aussi mettre un signe "moins" sur une seule des deux opérations. J'essaie avec les positifs, par exemple : 1. Première opération : je le transforme en 1+1=2. Deuxième : je transforme ce 2 en -1, par l'opération 1-2. Je peux faire pareil avec 129 : première opération --> 129+1=130 ; deuxième opération : 1-130=-129. Je commence donc à définir une fonction :

Si n est un entier positif impair, f(n)=n+1
Si n est un entier positif pair, f(n)=1-n

Maintenant, admettons que je donne à ma fonction un entier pair, disons 42. Une première application de f me donne 1-42 = -41, et il faut qu'une deuxième application de la fonction me fasse tomber sur -42 : je vais donc dire que ma fonction enlève 1 à un entier négatif impair (comme -41), ce qui complète ma définition.

Si n est un entier positif impair, f(n)=n+1
Si n est un entier positif pair, f(n)=1-n
Si n est un entier négatif impair, f(n)=n-1

Et si je donne -41 en entrée ? Une première application de f me donne f(-41) = -42, et une deuxième application de f devra me donner 41; soit -(-42)-1. Je dis donc que, si je donne à f un entier négatif impair n, elle me rendra -n-1, ce qui conclut la définition de la fonction :

Si n est un entier positif impair, f(n)=n+1
Si n est un entier positif pair, f(n)=-n+1
Si n est un entier négatif impair, f(n)=n-1
Si n est un entier négatif pair, f(n)=-n-1

La fonction f ainsi définie est telle que f(f(n))=-n quel que soit l'entier n.

Pour étendre aux réels, je remplace "pair" et "impair" par "de partie entière paire" et "de partie entière impaire" ; si j'ai par exemple x=26,167823 je dirai que sa partie entière 26 est paire, donc f appliqué à ce x-là renverra -x+1 (c'est un exemple). Ca nous donne le graphe qu'il y a ci-dessus, qui n'est pas évident à comprendre, en effet lol

J'espère que mon explication est "à peu près" compréhensible...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #19 - 10-11-2009 19:22:11

Vasimolo
Le pâtissier
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Identiét opposée

En fait , je suis dessinateur sur ordinateur ( raté hmm ) et avec quelques complices je liquide mes dessins sous couvert d'énigmes pour le moins douteuses big_smile

Qui m'a trahi smile

Vasimolo

PS : j'ai d'autres dessins mais on ne peut pas les voir sans un tube de ma composition , les amateurs peuvent me contacter , je leur dirais où envoyer le chèque big_smile

 #20 - 10-11-2009 21:04:30

Flying_pyros
Sage de Prise2Tete
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Identité opposé

Il serait pas à 87.10 euros ton tube ???? lollollol

 #21 - 10-11-2009 22:42:30

E271828
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 1
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Identtité opposée

La réponse de MthS-MlndN m'impressionne car elle couvre manifestement tous les cas possibles smile .  Toutefois, elle me met aussi un rien mal à l'aise car elle distingue quatre cas et, d'un cas à l'autre, le signe d'un des membres de la fonction change sad .
Pour ma part, en lisant l'énoncé:
"Existe-t-il une fonction... "
j'espérais trouver une fonction (miracle) et unique, couvrant tous les cas, et je crois bien que je ne suis pas le seul à avoir eu cette lecture/interprétation.
Autrement-dit: est-il courant de considérer comme fonction unique un protocole qui distingue quatre cas ?
Comme à l'époque de mes études on parlait très peu d'ensembles, de groupes, d'anneaux  etc  il est possible (si pas probable) que je sois tout à fait à côté de la question... Quelqu'un pourrait-il m'éclairer de manière simple à ce sujet ?
.
Enfin, il est aussi possible que la solution donnée par MthS-MlndN soit la preuve que la fonction miracle recherchée n'existe pas puisqu'il faut quatre fonctions distinctes pour couvrir tous les réels. hmm
.

 #22 - 10-11-2009 22:46:03

kosmogol
Banni
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isentité opposée

j'espérais trouver une fonction (miracle) et unique, couvrant tous les cas, et je crois bien que je ne suis pas le seul à avoir eu cette lecture/interprétation.
Autrement-dit: est-il courant de considérer comme fonction unique un protocole qui distingue quatre cas ?

c'est mignon wink


http://enigmusique.blogspot.com/

 #23 - 10-11-2009 23:14:54

Vasimolo
Le pâtissier
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Ientité opposée

Tiens , on a vu les mêmes pubs sur la même chaîne big_smile

Un grand merci au passage à Mathias pour son bel effort pédagogique . Personnelement je ne force pas trop sur les explications pour ne pas harceller ceux qui suivent le fil d'un oeil distrait et je préfère joindre un petit dessin . Ceux que le problème titille vraiment demanderont au besoin des éclaississements sur le forum ou par MP .

Mais bon , chacun a sa vision du forum et c'est tant mieux smile

Vasimolo

 #24 - 11-11-2009 08:46:07

Vasimolo
Le pâtissier
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identité oppisée

Après vérification , on obtient bien toutes les solutions avec la partition de [latex]\mathbb{R}^*_+[/latex] en deux parties .

Vasimolo

 #25 - 11-11-2009 17:21:08

MthS-MlndN
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Lieu: Rouen

Iddentité opposée

j'espérais trouver une fonction (miracle) et unique, couvrant tous les cas, et je crois bien que je ne suis pas le seul à avoir eu cette lecture/interprétation.
Autrement-dit: est-il courant de considérer comme fonction unique un protocole qui distingue quatre cas ?

Bien que nous soyons habitués à manipuler des fonctions "simples et efficaces", continues, etc., n'importe quel objet mathématique qui associe à des valeurs d'un ensemble de départ I des valeurs d'un ensemble d'arrivée J est une fonction.

Si je dis "f(2)=1, f(-1)=4, picétou", je définis pleinement une fonction de l'ensemble {-1;2} vers l'ensemble {1;4}, c'est même une fonction bijective (un élément de départ a une et une seule image, et vice-versa). En pratique, je viens d'inventer la fonction la moins utile du monde, mais tant pis lol

La définition de fonctions "par morceaux" (comme celle de cette énigme) est plus courante dans l'interpolation, dont le principe de base est : je dispose de points de mesure, comment les recoller "au mieux" pour avoir une idée de ce qui se passe entre les mesures ? On fait ça pour énormément de choses, je prends des exemples au pif :
- pour établir empiriquement une loi physique, on mesure la température de fusion de je-ne-sais-quel-corps pour des pressions différentes ; mon nombre de mesures étant limité, j'obtiens sur un graphique un nuage de points de la forme (P,T) : en abscisse, la pression, et en ordonnée la température d'ébullition associée. Si je trouve une fonction "qui colle bien aux données", je peux obtenir T en fonction de P pour n'importe quelle valeur, alors que je n'ai fait que quelques mesures.
- ce cas était simple (en l'occurrence, on pourra trouver une fonction simple à exprimer qui correspondra exactement), mais dans des cas plus complexes... allons-y : je calcule la pression dans une enceinte quelconque, mais la limitation en moyens de calcul fait que je calcule les pressions sur des points séparés dans l'espace, et je ne trouverai probablement aucune fonction "simple" pour recoller à mes points, alors je ruse : je définis ma pression en fonction de la position par morceaux. Admettons que mes points fassent une belle grille régulière dans toutes les dimensions (si je relie les points dans chaque direction, j'obtiens plein de cubes de taille identique, genre Rubik's Cube 1000x1000x1000 lol). Je cherche alors, dans chaque cube, une fonction qui recolle mes points. Je peux imposer des conditions en plus lors de mon calcul des morceaux de fonction dans chaque cube, de façon à ce qu'il n'y ait pas de "cassures" trop brutales entre plusieurs morceaux.

Tu peux te l'imaginer en une seule dimension (je récupère ma pression seulement sur une ligne de points alignés et je recolle ce que j'obtiens). Fais l'expérience : trace un graphique, place dix points également répartis en abscisse (x=1, x=2, x=3...) mais avec des ordonnées "pifométriques" (il ne faut pas que ça ressemble à une petite fonction simple, comme dans la Nature, qui a une fâcheuse tendance à nous compliqur la tâche wink). Relie-les : instinctivement, tu feras une jolie courbe continue en t'imaginant que "ça doit vraiment ressembler à ça", alors que, si la seule condition à remplir était "il faut que ça passe par tous les points", les relier par des segments de droite était largement suffisant... Dans les deux cas, tu crées une fonction définie par morceaux, sauf que dans un des deux cas, ça paraît bien plus naturel (car "lisse"), alors que dans l'autre, on trouve ça "bizarre".

En l'occurrence, la fonction de cette énigme était encore plus "bizarre" car même pas continue, et pourtant, dès que tu relies des points sur un graphique, ta main crée une fonction par morceaux. En interpolation, on fait la même chose, mais avec des maths (l'ordi le fait à notre place, il est plus précis, et ses graphs sont plus jolis que les notres lol)

Je précise que l'interpolation n'est qu'un exemple, mais encore une fois, n'importe quel "truc" qui associe à des valeurs de départ des valeurs d'arrivée est une fonction. Les fonctions les plus "usuelles" sont de classe [latex]C^{\infty}[/latex], c'est-à-dire qu'elles sont continues, que leur dérivée est continue, que la dérivée de cette dérivée est continue, etc. (tous les polynômes, toutes les fractions rationnelles, l'exponentielle, le logarithme, et j'en oublie énormément, sont [latex]C^{\infty}[/latex] à l'intérieur de leur ensemble de définition.) Mais on en vient vite à considérer des fonctions qui ne seront "que" [latex]C^1[/latex] (continue et de dérivée continue, mais la dérivée seconde ne l'est pas -- ce qui ne se voit pas facilement sur une courbe), voire [latex]C^0[/latex] (continue mais de dérivée non continue, donc avec des "cassures", par exemple la fonction "valeur absolue" qui, d'ailleurs, est une fonction définie par morceaux : |x| = x si x positif, -x si x négatif roll), voire même des fonctions pas continues du tout... celle de cette énigme entre beaucouo d'autres, puisqu'en toute logique il n'y a rien de plus simple que de créer une fonction qui n'est pas continue. Il suffit même de prendre une fonction continue et de déplacer UN point pour que la fonction ne soit pas continue :

f(x) = 2x+3 si x différent de 0 et f(0) = 981,3 lol

Encore une fois, mon explication est très longue (c'est tout moi, ça), j'espère qu'elle aura au moins diverti/enseigné/pas trop ennuyé (biffer les mentions inutiles) les lecteurs courageux big_smile


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