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 #1 - 18-06-2019 17:41:41

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2605
Lieu: 94110

Economie sd'énergie.

Dans cette tour comportant un appartement par étage, la transition écologique n'est pas un vain mot.
Les murs extérieurs ont été recouverts d'une épaisse  couche d'isolant et on est passé au triple vitrage, si bien que, à différence de température égale, ces parois laissent passer deux fois moins d'énergie qu'entre deux étages.
Surtout, la terrasse a été doublée en créant un comble , ce qui rend ce toit 7 à 8 fois plus isolant qu'un plancher.

Pour inciter les propriétaires a plus d'économie et que chacun paie sa juste part, il a été décidé avant l'hiver, de se conformer à l’arrêté du 30 mai 2016 sur l’individualisation des frais de chauffage et d'installer des capteurs sur tous les radiateurs.
Ainsi, Robert qui est un Réchauffé, a décidé de baisser la température de ses thermostats de 20 à 18 °C.
François, qui habite juste au dessus de Robert et est un Frileux, a lui baissé sa température de 21 à 20 °C. Il a juste au dessus de lui Roger, un autre Réchauffé qui a fait comme Robert.
D'ailleurs tout le monde dans l'immeuble a fait de même, depuis Raymond au premier, jusqu'à Frédéric au dernier étage, les Réchauffés et les Frileux alternant régulièrement dans tous les appartements. Le rez-de chaussé est occupé par un commerce qui dispose d'un chauffage autonome et qui a maintenu une température de 20°C dans ses locaux.

Grâce à cette nouvelle décision, pendant le mois de février où la température n'a à aucun moment dépassé 10°C, le syndic a pu calculer que la copropriété avait fait une économie de 10 % sur ses dépenses de chauffage !
Quels ont été les économies réalisées par Robert et François au cours de ce mois ?

Toutes les valeurs numériques données sont importantes, soit pour en calculer d'autres, soit pour valider ces calculs à postériori.

La case réponse confirme le pourcentage d'économie réalisé par Robert sous la forme 12.34 %

Spoiler : [Afficher le message] Il peut être pratique de choisir comme unité de quantité de chaleur celle perdue au travers des cloisons latérales pour une différence de température de 1°C.
Spoiler : [Afficher le message] Rappel : La quantité de chaleur traversant la frontière entre deux milieux est une fonction linéaire proportionnelle à la différence de température entre ces deux milieux.



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 #2 - 19-06-2019 22:30:49

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 822

Economies d'énrgie.

Ce problème me laisse songeur. Dans le dernier paragraphe, tu dis 12°C puis 10°C, cela semble se contredire, est-ce une coquille ?

Voici un début de raisonnement. Est-ce correct pour le moment ?

Concernant Robert, dans l'ancienne situation, il avait une perte énergétique valant K((20-T)/2-2), K étant une constante, et T la température extérieure. 20-T est la différence de température entre son appartement et l'extérieur, le /2 traduit que "ces parois laissent passer deux fois moins d'énergie qu'entre deux étages", et le -2 qu'il y a un apport d'énergie par le plafond et le plancher, chacun étant 1°C plus chaud que l'appartement de Robert. Dans la nouvelle situation, la perte devient K((18-T)/2-4). La baisse en % de cette perte vaut donc 100*(1-perte2/perte1) = 600/(16-T) : pour une température extérieure constante de 10°C, sa facture baisserait de 100%, pour une température extérieure constante de 6°C, sa facture baisserait de 60%.

Pour François, on trouve de même une hausse en % de 300/(25-T).

 #3 - 19-06-2019 22:55:13

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2605
Lieu: 94110

ecobomies d'énergie.

Ebichu a écrit:

Dans le dernier paragraphe, tu dis 12°C puis 10°C, cela semble se contredire, est-ce une coquille ?

Oups hmm ! Tu as raison. C'est 10°C et c'est corrigé. Merci smile .

Et bravo pour ton raisonnement. Après avoir remplacé ton inconnue T, nous arrivons au même résultat numérique big_smile .
Tu as juste oublié d'utiliser l'une des données pour y arriver.

 #4 - 20-06-2019 15:06:35

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 822

Economie sd'énergie.

Pour la suite je bloque...

En supposant que de Raymond à Frédéric, il y a un total de 2n étages, en considérant les échanges entre le bloc composé de ces 2n étages et le reste (extérieur et commerce), et le fait que ces échanges ont été 10% inférieurs à ce qu'ils auraient pu être, je trouve la relation : 11n-(2n+2)T-18/a = 0 où a est le coefficient compris entre 7 et 8. J'ai donc encore deux inconnues, n et a, dont il faudrait que je connaisse la valeur pour calculer T, et je ne vois pas ce que j'ai raté...

 #5 - 20-06-2019 18:08:09

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2605
Lieu: 94110

Econoomies d'énergie.

Imagine dans un premier temps que ton n tend vers l'infini. L'influence de ton a devient négligeable ; celui-ci sert juste à justifier à postériori que le calcul peut rester valable avec n petit.

J'ai ajouté un indice.

 #6 - 20-06-2019 21:39:21

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 822

Eocnomies d'énergie.

Bon, OK, j'ai trouvé la bonne réponse qui est 57.14 %. Il ne me reste plus qu'à expliquer pourquoi smile

 #7 - 20-06-2019 23:12:26

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2605
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Economies d'éenrgie.

Un grand bravo à Ebichu big_smile qui a réussi à valider la case réponse...

Mais le résultat le plus intéressant est de savoir ce qu'a gagné François en baissant son thermostat de 1°C !

J'ai ajouté un deuxième indice.

 #8 - 22-06-2019 10:42:26

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2605
Lieu: 94110

economies d'énrrgie.

Le but de ce petit problème n'est pas de se lancer dans des démonstrations rigoureuses.
C'est juste de se rendre compte de l'intérêt de l'arrêté sur l’individualisation des frais de chauffage en essayant de chiffrer approximativement (donc à l'aide d'un cas d'école et d'hypothèses simplificatrices) les gains que l'on peut espérer en tirer.
Je sais bien que je ne vous propose qu'un calcul assez simple, à peine digne de figurer parmi les énigmes mathématiques... Mais le résultat est suffisamment instructif, voire étonnant, pour qu'on s'y intéresse quelques instants wink .

 #9 - 23-06-2019 23:59:10

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2605
Lieu: 94110

evonomies d'énergie.

Je renouvelle mes remerciements à Ebichu smile qui m'a permis de me sentir un peu moins seul...

Le but de ce petit calcul était de vous faire réfléchir sur cet arrêté du 30 mai 2016. Ce me paraît être un échec, mais tout n'est peut-être pas perdu... pour ceux qui me liront ici tongue .

Rappel : La quantité de chaleur Q traversant la frontière entre deux milieux est une fonction linéaire proportionnelle à la différence de température entre ces deux milieux.
On peut donc faire les calculs de déperdition à partir des températures intérieure et extérieure moyennes.


Cliquer pour agrandir

Il y a autant de Réchauffés que de Frileux. La température moyenne intérieure est passée de 20.5 °C à 19 °C, soit une diminution de 1.5 °C. qui a apporté une économie de 10 %. La température moyenne  extérieure a donc été de 20.5 - (1.5 *100 / 10) = 5.5 °C.
En choisissant comme unité de quantité de chaleur Q celle perdue au travers des cloisons latérales pour une différence de température de 1°C :
- l'ancienne déperdition de chaleur de Robert vers l'extérieure aurait été de (20 - 5.5) soit 14.5, mais il aurait bénéficié d'un apport de ses deux voisins de 2*2*(21 - 20) = 4 Q, soit une déperdition globale de 10.5 Q.
- sa nouvelle déperdition devient (18 - 5.5) - 2*2*(20 - 18) = 4.5 Q.
Il a donc réalisé une économie de 100*(10.5 - 4.5)/10.5 soit 57.14 %
- l'ancienne déperdition de François vers l'extérieure aurait été de (21 - 5.5) soit 15.5 Q, et vers ses deux voisins de 2*2*(21 - 20) = 4 Q, soit 19.5 Q au total.
- la nouvelle déperdition devient (20-5.5) + 2*2*(20-18) = 22.5 Q.
Il en est donc de sa poche pour 100*(22.5 - 19.5)/19.5 = 15.14 % !
On peut aussi dire que, avec ces hypothèses, François et les Frileux vont payer 100*8/12.5 = 64 % des factures de Robert et des Réchauffés mad !

Il reste 2 données qui n'ont pas été utilisées mais qui servent à justifier l'exactitude des hypothèses de calculs :
a) La réfection de la toiture devenant 7 à 8 fois plus isolante qu'un plancher. Avec un facteur de 7.25, Frédéric, au dernier étage, perd autant d'énergie par le toit que par le plancher, comme tous les autres Frileux de l'immeuble.
b) Et comme l'a dit Ebichu dans son premier post,  à une température extérieure de  10°C, la facture de Robert baisse de 100%. Au delà, c'est la température de son appartement qui va grimper au dessus de 18° et les précédents calculs deviennent faux.

L’arrêté du 30 mai 2016 sur l’individualisation des frais de chauffage, a pour but avoué de réduire la consommation globale de chauffage et de mieux répartir les charges entre les copropriétaires.
Si on peut reconnaître que le premier objectif est relativement bien atteint, que penser de la réussite du second roll ?

 #10 - 24-06-2019 09:18:09

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 822

Economies d'énerggie.

Je n'avais pas pensé à ton paragraphe qui justifie la température extérieure moyenne de 5,5°C. J'allais te dire que c'était drôlement bien vu, mais comme c'est toi qui as conçu le problème... big_smile

Le 7,25 m'avait échappé également.

Pour la conclusion, l'énoncé est tout de même manipulateur : tu passes de 21 à 20 d'un côté et de 20 à 18 de l'autre. Il faudrait passer de 20 à 19 pour que ce soit plus équitable (mais alors le problème serait certes moins intéressant).

 #11 - 24-06-2019 12:21:20

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2605
Lieu: 94110

Economies 'dénergie.

Tu as raison pour ta deuxième remarque. C'était pour bien marqué le coup.

Mais une différence de température de réglage de 2 °C n'est pas du tout irréaliste et les 64 % de la facture payé par ses voisins me paraît tout à fait plausible et totalement scandaleux.

 #12 - 24-06-2019 16:18:35

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2931
Lieu: Luxembourg

Economies d'énrgie.

La répartition juste de frais (dont ceux de chauffage) est un sujet assez général et épineux. En Allemagne par exemple, on répartit 40% à 60% des frais de chauffage au prorata de la surface de l'habitation et 60% à 40% (le complément) selon les mesures de consommation (à l'aide de compteurs individuels sur chaque radiateur), puisqu'on a bien conscience que les frileux payent pour les réchauffés.

Dans un autre domaine, est-il juste que celui qui habite au rez-de-chaussée paie la même somme pour l'entretien de l'ascenseur que celui qui est au dernier niveau alors qu'il ne s'en sert presque jamais ? (voilà un bon sujet pour une prochaine énigme: LOL)

 #13 - 25-06-2019 11:26:52

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2605
Lieu: 94110

Economies d'énrgie.

Merci Franky smile . Tu m'apprends qu'en Allemagne ils essaient effectivement de tenir compte de ce problème et comment ils en atténuent (partiellement) les effets.

En restant dans le même domaine, il me semblerait intéressant d'exprimer le pourcentage des frais de chauffage payés au prorata de la surface de l'habitation p en fonction :
- de la Différence de Température Intérieure entre un Frileux et un Réchauffé DTi,
- de la Différence de Température entre un Frileux et l'Extérieur DTe
- et du Rapport R entre isolation extérieure et plancher
pour que Frileux et Réchauffés paient chacun proportionnellement à leur différence de température par rapport à l'extérieure.
J'espère que j'ai été suffisamment clair hmm .

(On s'en tiendra aux hypothèses de mon cas d'école, un appartement par étage alternant Frileux et Réchauffés, et ). Pour fixer les idées, A.N. avec les valeurs utilisées précédemment.)

 

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