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 #1 - 26-11-2009 21:46:52

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Triangles en follie

Bonsoir à tous,


On tombe souvent sur des problèmes où on nous demande de compter le nombre de triangles que comporte une certaine figure.
Pour vous, j'en ai choisi une que j'ai généralisée.

Voici ma seconde énigme :

Mme Enigme a écrit:

Dessinez un triangle. Ensuite tracez n segments de droite partant d'un des sommets jusqu'à son côté opposé et m segments de droite partant d'un autre sommet jusqu'à son côté opposé.
Vous obtenez ainsi un triangle rempli de lignes formant divers figures géométriques.

Combien sont des triangles ?
Combien sont des parallélogrammes ?

A vos traits, prêt, tracez ! smile



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 #2 - 26-11-2009 22:10:36

magrio
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 7

trianfles en folie

je dirais qu'il y a (n+1)+m triangles et zero parallelogramme si on considère qu'un parallélogramme est un "quadrilatère dont les cotés opposés sont parallèle deux à deux" :-)
par contre je pense qu'il y a (m*n) quadrilatères!!!

 #3 - 26-11-2009 22:56:03

Papy04
Ricocheur en Chef
Enigmes résolues : 47
Messages : 1258

Trianngles en folie

Si j'ai bien compris (et construit ma figure), je dirais qu'il y a n+m+1 triangles et nXm quadrilatères. Mais je ne vois pas de parallélogramme, ce qui me parait normal, vu que les côtés de ces quadrilatères ont, deux à deux, la même origine. Me serais-je gravement planté?
De toutes façons je ne vois pas comment le démontrer roll

Je m'étais bien planté; après quelques échanges de MP  j'arrive à un nombre de triangles égal à:

1/2(m+1)(n+1)(m+n+2)

et bien sûr toujours pas de parallélogrammes!


Nous les souiris nous avons un défaut, nous sommes prétentieux. Mais nous nous sommes corrigés. Maintenant nous sommes parfaits

 #4 - 27-11-2009 18:15:35

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Triiangles en folie

i don't know!cool


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #5 - 27-11-2009 21:55:38

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Triaangles en folie

Si je peux vous donner un conseil, c'est de commencer avec un cas particulier simple du genre n=2 et m=3. Il est plus facile de généraliser à partir d'un cas concret.

Il est peut-être encore plus simple de commencer le raisonnement avec uniquement les lignes n ou m.

Attention aussi de ne pas oublier les petits triangles, les moyens, les grands et les autres.

 #6 - 28-11-2009 12:37:54

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
Messages : 2216

Triangles en fole

Sauf erreur de ma part :

On a pour [latex]m = 0[/latex] :
[TeX]\frac{(n+1)(n+2)}{2}[/latex] triangles.


Un peu plus compliqué pour [latex]m > 0[/latex] :

On a [latex]\frac{(n+1)(n+2)}{2} \times \frac{(m+1)(m+2)}{2}[/latex] polygones convexes.

Dont [latex]\frac{n(n+1)}{2} \times \frac{m(m+1)}{2}[/latex] quadrilatères convexes.

Ce qui nous fait donc :

[latex]\frac{(n+1)(n+2)}{2} \times \frac{(m+1)(m+2)}{2} - \frac{n(n+1)}{2} \times \frac{m(m+1)}{2} =[/TeX][TeX]\frac{(n+1)(m+1)[(n+2)(m+2)-nm]}{4} =[/TeX]
[latex]\frac{(n+1)(m+1)(n+m+2)}{2}[/latex] triangles.

(Aucun parallélogramme par contre big_smile)

 #7 - 28-11-2009 13:56:38

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

teiangles en folie

Excellent FRiZMOUT wink aucune erreur.

Les deux réponses sont celles attendues.

Le raisonnement me semble plus simple que le mien. lol

 #8 - 30-11-2009 16:18:07

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Trangles en folie

Il n'est pas évident de donner des indices pour ce problème. Je peux juste donner un file conducteur.

Pour n=1 et m=2, voici un exemple de figure obtenue :

http://soutien67.free.fr/math/niv03/geometrie/dessins/triangle02.jpg

Comptez tous les triangles. Il y en a Spoiler : [Afficher le message] 15 !!!

Une fois que vous les avez tous, il n'y a plus qu'à généraliser pour n et m quelconques. certains ne sont pas loin.

 #9 - 02-12-2009 09:35:38

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Trianngles en folie

Bonjour à tous,


Félicitations à FRiZMOUT et Papy04 pour avoir résolu le problème.

Je m'incline devant l'obstination de Papy04 qui n'a pas baissé les bras malgré ses tentatives infructueuses.

Merci à tous pour votre participations.


Voici les solutions:

- Combien sont des triangles ?
[TeX](n+1).(m+1).(M+1)[/TeX]
avec la moyenne [latex]M=\frac{(n+m)^}{2}[/latex]

- Combien sont des parallélogrammes ?

Aucun puisque les différents segments convergent.


Démonstration:

Soit A le sommet d'où sont tracé les n segments et B le sommet d'où sont tracé les m segments.
[TeX]N[/latex] (le nombre de triangle total)
=
[latex]N_{A}[/latex] (le nombre de triangle comprenant A)
+
[latex]N_{B}[/latex] (le nombre de triangle comprenant B)
-
[latex]N_{AB}[/latex]le nombre de triangle comprenant A et B

Les triangles comprenant A sont définis par A (bien sûr) et deux autres points. Ces points sont déterminés par 1 segment partant de B parmi (m+2-le segment AB) et 2 segments partant de A parmi (n+2). Toutes les combinaisons déterminent un triangle différent.
Il y en a donc:

[latex]N_{A}=\binom{m+1}{1}.\binom{n+2}{2}[/TeX]
Par symétrie du problème, on trouve aussi
[TeX]N_{B}=\binom{n+1}{1}.\binom{m+2}{2}[/TeX]
Les triangles comprenant à la fois A et B sont définis par A, B et un troisième point lui-même déterminé par 1 segment partant de A parmi (n+2-le segment AB) et 1 segment partant de B parmi (m+2-le segment AB). De nouveau toutes les combinaisons déterminent des triangles différents.
Il vient:
[TeX]N_{AB}=\binom{n+1}{1}.\binom{m+1}{1}[/TeX]
D'où finalement,
[TeX]N=\binom{m+1}{1}.\binom{n+2}{2}+\binom{n+1}{1}.\binom{m+2}{2}-\binom{n+1}{1}.\binom{m+1}{1}[/TeX]
Ce qui revient à,
[TeX]N=\frac{(m+1)!}{1!.m!}.\frac{(n+2)!}{2!.n!}+\frac{(n+1)!}{1!.n!}.\frac{(m+2)!}{2!.m!}-\frac{(m+1)!}{1!.n!}.\frac{(n+1)!}{1!.n!}[/TeX][TeX]=\frac{(m+1).(n+1).(n+2)}{2}+\frac{(n+1).(m+1).)(m+2)}{2}-(m+1)(n+1)[/TeX][TeX]=(m+1).(n+1).\left [ \frac{(n+2)}{2}+\frac{(m+2)}{2}-1 \right ][/TeX]
et en posant [latex]M=\frac{m+n}{2}[/latex], on trouve finalement la formule,
[TeX]N=(m+1).(n+1).(M+1)[/TeX]
Et dans le cas particulier où [latex]m=n[/latex],
[TeX]N=(n+1)^3[/TeX]
Une solution ma foi très élégante qui fait tout l'intérêt du problème.

 #10 - 12-02-2012 14:44:31

aquarelleag
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1

Trianngles en folie

pour les "parallélogrammes" en fait les non-triangles.
C'est mn(m+n)/2

 

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