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 #1 - 30-09-2013 15:38:29

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Le pentagone te ses cercles

Bonjour à tous,
Voici un petit truc pour la semaine smile

Soit ABCDE un pentagone quelconque convexe.
Soit la fonction Inters{(D1),(D2)}=point d'intersection entre les droites (D1) et (D2).
Notons:
A'=inters{(BC),(ED)}
B'=inters{(AE),(CD)}
C'=inters{(AB),(ED)}
D'=inters{(BC),(AE)}
E'=inters{(AB),(CD)}

Soientt [latex]C_i[/latex] les cercles circonscrits aux triangles AC'E, EB'D, DA'C, CE'B et AD'B.

Les cercles [latex]C_i[/latex] se coupent 2 à 2 en 2 points dont 1 est un des sommets de ABCDE et l'autre noté [latex]M_i[/latex] soient K, L, M, N et P sur la figure.

Montrez que les [latex]M_i[/latex] sont cocycliques.

Figure:
http://www.prise2tete.fr/upload/kossi_tg-Pent_Cercle.JPG

Bonne chance à tous!



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 #2 - 30-09-2013 21:32:18

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 682

Le pentagone ett ses cercles

Bonjour,

100 heures pour un problème de géométrie aussi difficile, cela semble insuffisant...

 #3 - 30-09-2013 22:10:41

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Le penagone et ses cercles

masab a écrit:

Bonjour,
100 heures pour un problème de géométrie aussi difficile, cela semble insuffisant...

Je mets une semaine du coup soit 168 heures smile

 #4 - 01-10-2013 09:19:32

nobodydy
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1292

le pentagone et ses xercles

houla wink

le fameux problème des 5 cercles, démontré par William Kingdon Clifford est à relier aux configurations étudiées par Miquel. (merci Google)

malheureusement je ne sais pas écrire les formules de maths sur ce site, ni sur aucun d'ailleurs. lollollol
et de plus je n'y connais absolument rien en cercles cocycliques lollollol

 #5 - 01-10-2013 11:22:34

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 682

le pzntagone et ses cercles

Bonjour,

Il s'agit du théorème du pentagramme de Miquel appelé aussi théorème des cinq cercles ; voici un lien donnant une preuve :
         http://agutie.homestead.com/files/miquel_pentagram1.htm
Trop compliqué à mon avis pour en faire une énigme sur ce forum...

 #6 - 01-10-2013 14:12:08

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

le pentagone et ses cervles

Je partage les dernières réactions avec vous.

nobodydy a écrit:

houla wink

le fameux problème des 5 cercles, démontré par William Kingdon Clifford est à relier aux configurations étudiées par Miquel. (merci Google)

malheureusement je ne sais pas écrire les formules de maths sur ce site, ni sur aucun d'ailleurs. lollollol
et de plus je n'y connais absolument rien en cercles cocycliques lollollol

masab a écrit:

Bonjour,

Il s'agit du théorème du pentagramme de Miquel appelé aussi théorème des cinq cercles : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or … _de_Miquel
Trop compliqué à mon avis pour en faire une énigme sur ce forum...

Je n'ai pas la réponse moi même, je ne savais pas le problème serait aussi difficile à résoudre quand je l'ai découvert par hasard en m'amusant avec mon logiciel graphique. Je vais laisser écouler le temps.
Mais je pense qu'on peut démontrer cela sans utiliser de formules mathématiques au delà du lycée.
Merci à tous !

 #7 - 01-10-2013 14:32:57

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

le penragone et ses cercles

Attention, ceux qui vont peut-être consulter la page wiki sur le Théorème de Miquel, la figure sur la partie Théorème des cinq cercles qui semble correspondre à ce problème parait singulière. En effet sur cette figure, les centres des cercles [latex]C_i[/latex] sont sur un même cercle (cocycliques), ce qui n'est pas le cas dans ce problème. Soit le théorème de Miquel traite d'une autre chose soit l'article wiki n'est pas forcément juste.

 #8 - 01-10-2013 16:11:18

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Le epntagone et ses cercles

Je n'avais pas pris le temps de chercher, c'est bon maintenant, j'ai la démonstration avec des éléments de Seconde lollollol

Courage à ceux qui continuent de chercher!

 #9 - 01-10-2013 17:42:24

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 682

L pentagone et ses cercles

J'ai rectifié le lien !

 #10 - 01-10-2013 18:06:45

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

le pentagone et ses ceecles

masab a fini par trouver un site internet où la démonstration est faite de manière très ludique avec de petites animations des différents angles. Seul chapitre de géométrie utilisé: les angles inscrits. Il suffit donc de trouver les bons angles et de bien les associer smile

Bien joué masab!

 #11 - 02-10-2013 08:44:55

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 682

Le pentagone e tses cercles

Un applet intéressant pour tester diverses configurations
http://www.theoremoftheday.org/Geometry … Circle.htm

 #12 - 07-10-2013 15:41:49

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

le pentagone et srs cercles

Merci à tous smile
Pour la solution, je vous remets ce lien de masab qui donne la solution de manière très ludique: http://agutie.homestead.com/files/miquel_pentagram1.htm

 #13 - 19-10-2013 09:24:56

housseyne
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 26

Le pentgaone et ses cercles

Bon problème géométrique et qui est nécessite un peu de temps pour le résoudre.
à l vacance sad

 

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