Bonjour ,


J'avoue que je n'ai rien compris concernant les 283 héritiers . Est-ce la succession du domaine carré ou celle de Doumé ?

La totalité de l'oliveraie avec autant de m² que d'oliviers est de la forme :
[TeX]2^{n} - 1[/TeX]
Cette valeur somme un carré parfait  et les 2534 oliviers plantés depuis le début .
soit:
[TeX]2^{n} - 1 = c^2 + 2534[/TeX][TeX]2^{n} - c^2  =  2535 = 3\times5\times13^2[/TeX]
Si n est pair , nous avons une différence de 2 carrés dont un est une puissance de 2
[TeX]2535 =  5\times507 [/TeX]
Alors :  [latex]2535 = (a - b)\times(a + b)[/latex]

avec :     [latex]a = 256  \;\  b = 251[/latex]

Dans ce cas :  [latex] n = 16  \;\ c = 251[/latex]

Le nombre d'oliviers planté par Doumé est :  [latex]2^{16} - 1[/latex]
Le premier domaine étant un héritage corse , il ne lui a strictement rien couté mais le grand domaine carré lui a couté :   [latex]6\times251^2 = 378 006 E[/latex]

n.b. je cherche encore si 283 n'est pas un leurre .

Le nombre d'olivier infecté est de la forme 2^X-1 (X nombre de jour)
1 le premier jour, 3 le deuxième, 7 le troisième ect.
Le nombre d'olivier est égal à 2534 + Y²
donc 2^X - 1 = 2534 + Y²
2^X = 2535 + Y²
Ok, on fait quoi avec ça
Y² = 2^X-2535
Y = sqr(2^X - 2535)

L'écart entre deux carrés est une suite de nombre impair.
Donc Y < (2535+1)/2
Y < 1268
2^X =< 1268²
X < 21 (je ne connais pas la formule mais je le fais visuellement )
2^X > 2535
X > 11
ça va limiter notre réflexion.
De 12 a 20, ça se fait à la main, mais est-ce qu'on peut faire d'autre calcul ?

En attendant mieux, je me lance
Y² = 2^12-2535
Y² = 1561
marche pas

Y² = 2^13-2535
Y² = 5657
marche pas

Y² = 2^14-2535
Y² = 13849
marche pas

Y² = 2^15-2535
Y² = 30233
marche pas

Y² = 2^16-2535
Y² = 63001
Y = 251 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Trop facile (non, je déconne )

Salut Toufau,

on se ramène à l'équation 2^n - x² = 2535

modulo 3, on a 2^n = 1 ou 2, x²=0 ou 1, et 2535 = 0, donc 2^n=1 et x^2=1.
2^n=1 mod 3 donc n est pair, et on pose n=2m.

On a désormais (2^m)²-x²=2535 soit (2^m+x)(2^m-x)=3.5.13²

Je fais un tableau des valeurs possibles de 2^m+x et 2^m-x :
2535 1
845 3
507 5
195 13
169 15
65 39

mais  (2^m+x) + (2^m-x) doit être une puissance de deux : la seule solution correcte est 2^m+x = 507 et 2^m-x=5

D'où on déduit x=251, et le prix du terrain était 251² * 6 = 378006 €.

Bonjour TOUFAU,

378 006 € = 63001 m² x 6€/m²

Soit n, le nombre de semaines nécessaires à l'anéantissement de l'oliveraie, le nombre total d'oliviers et de m² est
(2^(n+1))-1 = 2534 + Z²                         avec Z entier
= 2^(n+1) = 2535 + Z²

2^(n+1)<70000000 m², surface totale dédiée aux oliveraies en Corse (7000 ha)
donc 12 <n+1 <=26.

parmi les possibilités restantes, seule fonctionne n+1 = 16 avec
(2^(n+1))-1 = 65535
251 = RAC(65535-2534).
251² = 63001

Cordialement.

A vrai dire, je ne suis pas sûr d'avoir compris.
Cherche t-on des entiers A et B, tels que:
2^(A+1) - 1 = (283.B)^2 + 2534
Et le coût est alors de: 6.(283.B)^2   ?

Bonsoir,

Bravo à tous, 100% de bonnes réponses, c’est beau.

Tout le monde a traduit l’énoncé sous la forme 2535+x² = 2^n, avec x (m²) et n (nb semaines) entiers

Plusieurs ont utilisé le raisonnement le plus robuste (Nodgim, Unecoudée et Ebichu).

L’astuce consistait à montrer que n est forcément pair - raisonnement par modulo, ou en regardant les valeurs possibles du chiffre des unités de chaque côté de l’équation (seuls 4 et 6 marchent).

Après, c’était du velours, avec 6 cas seulement (cités par Ebichu), dont 1 seul possible.

Godisdead a proposé un raisonnement par encadrement. Moins pur mais pas idiot et assez efficace quand même.

Quant à JP5970, un petit faible pour son encadrement agricole. Moins matheux, mais plus culturel 😊

Ne profitez pas du week end pour faire des folies (genre sortir dans la rue)