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 #1 - 21-03-2020 17:40:01

TOUFAU
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 88

Carnage dan l’oliveraie.

Bonjour, je vous propose un problème orienté bactérie, pour changer le quotidien…

Doumé, un ami corse, décida après une brillante carrière dans le trading haute fréquence, de changer de vie pour retrouver les valeurs vraies.

Héritier d’un beau terrain familial dans le maquis avoisinant le village de ses ancêtres, il décida de se lancer dans la culture des oliviers pour tuer l’oisiveté. Il planta un olivier par m² sur les 2534 m² de son terrain, pour en faire vente à Jardiland. Chez qui un ami trader c’était lui aussi recyclé pour se rapprocher de la nature.

L’affaire marcha très bien, au point que rapidement le terrain familial devint trop petit. Doumé décida de voir plus grand, beaucoup plus grand. Comme il a toujours fait.

Il acheta donc le grand domaine attenant à son terrain. Dénouant à l’occasion une indivision séculaire entre 283 héritiers. Ce domaine, carré parfait d’un nombre entier de mètres de côté, lui coutât 6€ du m² et lui permit d’augmenter considérablement sa production, à raison toujours d’un olivier par m², mais désormais sur les deux terrains.

Un jour malheureusement, il découvrit un olivier atteint par la Xylella Fastidiosa. Le nom est sympa, mais impossible de lutter contre cette bactérie tueuse. « Encore un cadeau des italiens », disait Doumé. Et à partir de là, une descente aux enfers. Chaque semaine, il constatât que le nombre de nouveaux Oliviers touchés par la bactérie doublait par rapport au nombre de nouveaux oliviers touchés la semaine précédente.
Si bien qu’au bout de quelques semaines, le dernier doublement fit (exactement) que tous les oliviers des deux terrains étaient atteints, sans espoir de rémission…
‘Beaucoup plus douloureux que la crise des subprimes’ se lamentait Doumé devant son domaine ravagé…

Au fait, combien lui avait-il couté ?

Seuls les résultats par raisonnement comptent. Outils de calculs proscrits 😊



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 #2 - 22-03-2020 09:13:48

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3734

carnage dans l’oliverzie.

Le problème se ramène à résoudre :

a² + 2534 = 2^n -1

soit 2535 = 5 * 3 * 13² = 2^n - a²

Pour que ça marche modulo 5, il faut que n soit pair, ce qui donne une différence de 2 carrés, facile à tester. Dont :

2535 = 5 * 507

n + m = 507   
n - m  = 5

donne n = 256 et m = 251

2535 = 2 ^ 16 - 251²

Prix d'achat du terrain carré = 6 * 251² = 378006 €

 #3 - 22-03-2020 09:28:45

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 287

carnage dans l’olivzraie.

Bonjour ,


J'avoue que je n'ai rien compris concernant les 283 héritiers . Est-ce la succession du domaine carré ou celle de Doumé ?

La totalité de l'oliveraie avec autant de m² que d'oliviers est de la forme :
[TeX]2^{n} - 1[/TeX]
Cette valeur somme un carré parfait  et les 2534 oliviers plantés depuis le début .
soit:
[TeX]2^{n} - 1 = c^2 + 2534[/TeX][TeX]2^{n} - c^2  =  2535 = 3\times5\times13^2[/TeX]
Si n est pair , nous avons une différence de 2 carrés dont un est une puissance de 2
[TeX]2535 =  5\times507 [/TeX]
Alors :  [latex]2535 = (a - b)\times(a + b)[/latex]

avec :     [latex]a = 256  \;\  b = 251[/latex]

Dans ce cas :  [latex] n = 16  \;\ c = 251[/latex]

Le nombre d'oliviers planté par Doumé est :  [latex]2^{16} - 1[/latex]
Le premier domaine étant un héritage corse , il ne lui a strictement rien couté mais le grand domaine carré lui a couté :   [latex]6\times251^2 = 378 006 E[/latex]

n.b. je cherche encore si 283 n'est pas un leurre .

 #4 - 22-03-2020 10:36:10

Bastidol
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 136

Carnage dans l’oliverraie.

Bonjour,

Je trouve 378006 Euros.

@+

 #5 - 22-03-2020 10:45:34

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 713

Carnage dans l’olievraie.

Le nombre d'olivier infecté est de la forme 2^X-1 (X nombre de jour)
1 le premier jour, 3 le deuxième, 7 le troisième ect.
Le nombre d'olivier est égal à 2534 + Y²
donc 2^X - 1 = 2534 + Y²
2^X = 2535 + Y²
Ok, on fait quoi avec ça smile
Y² = 2^X-2535
Y = sqr(2^X - 2535)

L'écart entre deux carrés est une suite de nombre impair.
Donc Y < (2535+1)/2
Y < 1268
2^X =< 1268²
X < 21 (je ne connais pas la formule mais je le fais visuellement smile )
2^X > 2535
X > 11
ça va limiter notre réflexion.
De 12 a 20, ça se fait à la main, mais est-ce qu'on peut faire d'autre calcul ?

En attendant mieux, je me lance smile
Y² = 2^12-2535
Y² = 1561
marche pas

Y² = 2^13-2535
Y² = 5657
marche pas

Y² = 2^14-2535
Y² = 13849
marche pas

Y² = 2^15-2535
Y² = 30233
marche pas

Y² = 2^16-2535
Y² = 63001
Y = 251 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Trop facile (non, je déconne smile )

 #6 - 22-03-2020 18:53:22

TOUFAU
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 88

Carnage dans l’oliveaie.

Bravo à tous. Que des bonnes réponses, ce qui ne m'étonne pas trop en fait. Plus ou moins argumentées toutefois.

Unecoudée, oui une digression diversion. Tirée de faits réels, mais qui n'a fait dévier personne de la cible :-)

 #7 - 22-03-2020 19:12:27

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 886

Carnagge dans l’oliveraie.

Salut Toufau,

on se ramène à l'équation 2^n - x² = 2535

modulo 3, on a 2^n = 1 ou 2, x²=0 ou 1, et 2535 = 0, donc 2^n=1 et x^2=1.
2^n=1 mod 3 donc n est pair, et on pose n=2m.

On a désormais (2^m)²-x²=2535 soit (2^m+x)(2^m-x)=3.5.13²

Je fais un tableau des valeurs possibles de 2^m+x et 2^m-x :
2535 1
845 3
507 5
195 13
169 15
65 39

mais  (2^m+x) + (2^m-x) doit être une puissance de deux : la seule solution correcte est 2^m+x = 507 et 2^m-x=5

D'où on déduit x=251, et le prix du terrain était 251² * 6 = 378006 €.

 #8 - 23-03-2020 19:18:27

TOUFAU
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 88

Carnage ddans l’oliveraie.

Ebichu, c'est parfait ;

 #9 - 24-03-2020 09:05:12

JP5970
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 20

Carrnage dans l’oliveraie.

Bonjour TOUFAU,

378 006 € = 63001 m² x 6€/m²

Soit n, le nombre de semaines nécessaires à l'anéantissement de l'oliveraie, le nombre total d'oliviers et de m² est
(2^(n+1))-1 = 2534 + Z²                         avec Z entier
= 2^(n+1) = 2535 + Z²

2^(n+1)<70000000 m², surface totale dédiée aux oliveraies en Corse (7000 ha)
donc 12 <n+1 <=26.

parmi les possibilités restantes, seule fonctionne n+1 = 16 avec
(2^(n+1))-1 = 65535
251 = RAC(65535-2534).
251² = 63001

Cordialement.

 #10 - 25-03-2020 11:29:33

TOUFAU
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 88

carnage dans l’oliverzie.

Bonjour JP5970,

Bonne réponse!
Je ne savais pas qu'il y avait une surface totale dédiée aux oliveraies en Corse. Dans les faits effectivement la culture fruitière occupe environ 7000ha.

Pas nécessaire pour trouver la réponse par les maths, mais argument agricole rigolo :-).

 #11 - 25-03-2020 11:42:02

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3055
Lieu: Luxembourg

Carnage dans l’olieraie.

A vrai dire, je ne suis pas sûr d'avoir compris.
Cherche t-on des entiers A et B, tels que:
2^(A+1) - 1 = (283.B)^2 + 2534
Et le coût est alors de: 6.(283.B)^2   ?

 #12 - 25-03-2020 12:30:56

TOUFAU
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 88

Carnage dans l’oliveaie.

bonjour franky,

non... Tu peux oublier 283 (et toute la phrase associée). C'était seulement une diversion sans rapport avec le sujet :-)

Toufau

 #13 - 27-03-2020 20:05:01

TOUFAU
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 88

Carnage dans l’oliveraie

Bonsoir,

Bravo à tous, 100% de bonnes réponses, c’est beau.

Tout le monde a traduit l’énoncé sous la forme 2535+x² = 2^n, avec x (m²) et n (nb semaines) entiers

Plusieurs ont utilisé le raisonnement le plus robuste (Nodgim, Unecoudée et Ebichu).

L’astuce consistait à montrer que n est forcément pair - raisonnement par modulo, ou en regardant les valeurs possibles du chiffre des unités de chaque côté de l’équation (seuls 4 et 6 marchent).

Après, c’était du velours, avec 6 cas seulement (cités par Ebichu), dont 1 seul possible.

Godisdead a proposé un raisonnement par encadrement. Moins pur mais pas idiot et assez efficace quand même.

Quant à JP5970, un petit faible pour son encadrement agricole. Moins matheux, mais plus culturel 😊

Ne profitez pas du week end pour faire des folies (genre sortir dans la rue)

 

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