Cela ressemble plus à un exercice scolaire qu’à une énigme.
On peut déjà remarquer que tous les entiers conviennent.
Tout réel r peut s’écrire: r = {r} + ⌊r⌋, avec: 0 ≤ ⌊r⌋ < 1
On a donc: r² = {r}² + 2.{r}.⌊r⌋ + ⌊r⌋²
Pour que: {r}² = {r²}, il faut que: 2.{r}.⌊r⌋ + ⌊r⌋² < 1, soit: ⌊r⌋² + 2.{r}.⌊r⌋ - 1 < 0,
ou encore: ⌊r⌋ < V({r}²+1) - {r}, soit finalement: r < V({r}²+1)
Les réels r vérifiant: 1 ≤ r ≤ 10 et {r}² = {r²} sont donc les suivants:
1 ≤ r < V2; 2 ≤ r < V5; 3 ≤ r < V10; 4 ≤ r < V17; 5 ≤ r < V26; 6 ≤ r < V37; 7 ≤ r < V50; 8 ≤ r < V65; 9 ≤ r < V82 et 10
Le nombre de ces réels est bien entendu infini (pour répondre à ta question).

Salut. J'ai effectivement inversé partie entière ⌊...⌋ et partie fractionnaire {...}. Mon raisonnement est donc complètement faux. Je reviendrai le modifier dans la journée. A+

Edit: Sauf erreur, je trouve 51 tels nombres, mais je galère un peu sur une démonstration plus rigoureuse. Ces 51 nombres sont:
1       2         3      4          5       6         7       8           9       10
1,5    2,25    3,5    4,125    5,1    6,25    7,5    8,0625    9,5
         2,5              4,25      5,2    6,5              8,125
         2,75            4,375    5,3    6,75             8,1875
                           4,5        5,4                       8,25
                           4,625     5,5                      8,3125
                           4,75       5,6                      8,375
                           4,875     5,7                      8,4375
                                        5,8                      8,5
                                        5,9                      8,5625
                                                                   8,625
                                                                   8,6875
                                                                   8,75
                                                                   8,8125
                                                                   8,875
                                                                   8,9375

Ces nombres s'écrivent tous sous la forme: N = m.2^n + k/2^(n+1), et on aura:
(m.2^n + k/2^(n+1))^2 = (m^2).(2^2n) + m.k + (k/2^(n+1))^2, et donc:
{N}² = {N²}, mais j'ai du mal à démontrer la réciproque.