Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 18-10-2020 22:23:36

Stewart
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 5

Rééels

Pour tout réel r, ⌊r⌋ est le plus grand entier inférieur ou égal à r et la partie fractionnaire de r est le nombre {r}=r-⌊r⌋. Quel est le nombre de réels r vérifiant 1≤r≤10 et {r}²={r²} ?

Je ne sais comment le montrer.

En essayant avec r=4,0 :
r²=16,0
t=r²-16=0
t²=0

  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 19-10-2020 11:39:32

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3208
Lieu: Luxembourg

Réel

Cela ressemble plus à un exercice scolaire qu’à une énigme.
On peut déjà remarquer que tous les entiers conviennent.
Tout réel r peut s’écrire: r = {r} + ⌊r⌋, avec: 0 ≤ ⌊r⌋ < 1
On a donc: r² = {r}² + 2.{r}.⌊r⌋ + ⌊r⌋²
Pour que: {r}² = {r²}, il faut que: 2.{r}.⌊r⌋ + ⌊r⌋² < 1, soit: ⌊r⌋² + 2.{r}.⌊r⌋ - 1 < 0,
ou encore: ⌊r⌋ < V({r}²+1) - {r}, soit finalement: r < V({r}²+1)
Les réels r vérifiant: 1 ≤ r ≤ 10 et {r}² = {r²} sont donc les suivants:
1 ≤ r < V2; 2 ≤ r < V5; 3 ≤ r < V10; 4 ≤ r < V17; 5 ≤ r < V26; 6 ≤ r < V37; 7 ≤ r < V50; 8 ≤ r < V65; 9 ≤ r < V82 et 10
Le nombre de ces réels est bien entendu infini (pour répondre à ta question).

 #3 - 23-10-2020 22:15:45

Stewart
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 5

Réesl

Bonsoir Franky,

Je ne comprends pas pourquoi 2.{r}.⌊r⌋ + ⌊r⌋² < 1. Est-ce une coquille ?

Merci de votre réponse.

 #4 - 24-10-2020 10:47:02

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3208
Lieu: Luxembourg

RRéels

Salut. J'ai effectivement inversé partie entière ⌊...⌋ et partie fractionnaire {...}. Mon raisonnement est donc complètement faux. Je reviendrai le modifier dans la journée. A+

Edit: Sauf erreur, je trouve 51 tels nombres, mais je galère un peu sur une démonstration plus rigoureuse. Ces 51 nombres sont:
1       2         3      4          5       6         7       8           9       10
1,5    2,25    3,5    4,125    5,1    6,25    7,5    8,0625    9,5
         2,5              4,25      5,2    6,5              8,125
         2,75            4,375    5,3    6,75             8,1875
                           4,5        5,4                       8,25
                           4,625     5,5                      8,3125
                           4,75       5,6                      8,375
                           4,875     5,7                      8,4375
                                        5,8                      8,5
                                        5,9                      8,5625
                                                                   8,625
                                                                   8,6875
                                                                   8,75
                                                                   8,8125
                                                                   8,875
                                                                   8,9375

Ces nombres s'écrivent tous sous la forme: N = m.2^n + k/2^(n+1), et on aura:
(m.2^n + k/2^(n+1))^2 = (m^2).(2^2n) + m.k + (k/2^(n+1))^2, et donc:
{N}² = {N²}, mais j'ai du mal à démontrer la réciproque.

 #5 - 24-10-2020 18:15:02

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3801

Rels

{r²} = {([r]+{r})²} = {{r}² + 2[r]{r}} car {[r]²} = 0

Donc il faut {2[r]{r}}= 0

Pour chaque [r] de 1 à 9 : 2 [r] solutions: de 0/2[r] à (2[r]-1)/2[r]

Ne pas oublier la solution r = 10.

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : 

Un berger a 20 moutons, ils meurent tous sauf 12, combien en reste-t-il ?

Sujets similaires

Sujet Date Forum
10-03-2013 Enigmes Mathématiques
P2T
Un fil d'or et de cuivre. par 15129229518
31-08-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
Partage du trésor par nodgim
03-07-2020 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 115 par Vasimolo
23-12-2015 Enigmes Mathématiques
P2T
Probabilité dans un jeu par Damnation
12-12-2009 Enigmes Mathématiques
08-06-2011 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 59 par Vasimolo
05-05-2013 Enigmes Mathématiques
P2T
18-09-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
Badaboum ! 3 par franck9525
29-01-2011 Enigmes Mathématiques

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete