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 #1 - 18-10-2020 22:23:36

Stewart
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 5

Réles

Pour tout réel r, ⌊r⌋ est le plus grand entier inférieur ou égal à r et la partie fractionnaire de r est le nombre {r}=r-⌊r⌋. Quel est le nombre de réels r vérifiant 1≤r≤10 et {r}²={r²} ?

Je ne sais comment le montrer.

En essayant avec r=4,0 :
r²=16,0
t=r²-16=0
t²=0

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 #2 - 19-10-2020 11:39:32

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3110
Lieu: Luxembourg

Réel

Cela ressemble plus à un exercice scolaire qu’à une énigme.
On peut déjà remarquer que tous les entiers conviennent.
Tout réel r peut s’écrire: r = {r} + ⌊r⌋, avec: 0 ≤ ⌊r⌋ < 1
On a donc: r² = {r}² + 2.{r}.⌊r⌋ + ⌊r⌋²
Pour que: {r}² = {r²}, il faut que: 2.{r}.⌊r⌋ + ⌊r⌋² < 1, soit: ⌊r⌋² + 2.{r}.⌊r⌋ - 1 < 0,
ou encore: ⌊r⌋ < V({r}²+1) - {r}, soit finalement: r < V({r}²+1)
Les réels r vérifiant: 1 ≤ r ≤ 10 et {r}² = {r²} sont donc les suivants:
1 ≤ r < V2; 2 ≤ r < V5; 3 ≤ r < V10; 4 ≤ r < V17; 5 ≤ r < V26; 6 ≤ r < V37; 7 ≤ r < V50; 8 ≤ r < V65; 9 ≤ r < V82 et 10
Le nombre de ces réels est bien entendu infini (pour répondre à ta question).

 #3 - 23-10-2020 22:15:45

Stewart
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 5

Réelss

Bonsoir Franky,

Je ne comprends pas pourquoi 2.{r}.⌊r⌋ + ⌊r⌋² < 1. Est-ce une coquille ?

Merci de votre réponse.

 #4 - 24-10-2020 10:47:02

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3110
Lieu: Luxembourg

Réles

Salut. J'ai effectivement inversé partie entière ⌊...⌋ et partie fractionnaire {...}. Mon raisonnement est donc complètement faux. Je reviendrai le modifier dans la journée. A+

Edit: Sauf erreur, je trouve 51 tels nombres, mais je galère un peu sur une démonstration plus rigoureuse. Ces 51 nombres sont:
1       2         3      4          5       6         7       8           9       10
1,5    2,25    3,5    4,125    5,1    6,25    7,5    8,0625    9,5
         2,5              4,25      5,2    6,5              8,125
         2,75            4,375    5,3    6,75             8,1875
                           4,5        5,4                       8,25
                           4,625     5,5                      8,3125
                           4,75       5,6                      8,375
                           4,875     5,7                      8,4375
                                        5,8                      8,5
                                        5,9                      8,5625
                                                                   8,625
                                                                   8,6875
                                                                   8,75
                                                                   8,8125
                                                                   8,875
                                                                   8,9375

Ces nombres s'écrivent tous sous la forme: N = m.2^n + k/2^(n+1), et on aura:
(m.2^n + k/2^(n+1))^2 = (m^2).(2^2n) + m.k + (k/2^(n+1))^2, et donc:
{N}² = {N²}, mais j'ai du mal à démontrer la réciproque.

 #5 - 24-10-2020 18:15:02

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3801

Réelss

{r²} = {([r]+{r})²} = {{r}² + 2[r]{r}} car {[r]²} = 0

Donc il faut {2[r]{r}}= 0

Pour chaque [r] de 1 à 9 : 2 [r] solutions: de 0/2[r] à (2[r]-1)/2[r]

Ne pas oublier la solution r = 10.

 

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