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 #1 - 03-08-2009 18:38:41

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 6199

Produit de 4 entiers consécutifs et carré parfaait

Proposition : Le produit de 4 entiers (naturels ou relatifs) consécutifs est toujours égal à un carré parfait moins 1.

Démontrez ou informez cette proposition.

Exemples :

2*3*4*5 = 120 = 121-1 = 11^2-1
7*8*9*10 = 504 = 5041-1 = 71^2-1

--

Cet énoncé est issu du concours mathématique MMM#38 de WildAboutMaths avec $10 de prix à la clé. Les solutions sont cachées la durée du concours.

Modalité du concours : http://wildaboutmath.com/2009/08/03/mmm … no-square/



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 #2 - 03-08-2009 20:08:17

perceval
Chevalier de P2T
Enigmes résolues : 48
Messages : 705
Lieu: C-FD

Produit de 4 entiers conséuctifs et carré parfait

Soit P le produit de 4 entiers consécutifs
P = n(n+1)(n+2)(n+3)

on pose u = (n+1)(n+2)
on remarque que u = n(n+3)+2

Donc P=u(u-2)
P + 1 = u²- 2u + 1
P + 1 = (u-1)²

P est donc bien un carré parfait moins un.


When i was a child i was a jedi

 #3 - 03-08-2009 23:43:34

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Produit de 4 entiers consécutifs et arré parfait

soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1
alors  Formule LaTeX : (n-1)n(n+1)(n+2)=Formule LaTeX : (n^2-1)(n^2+2n)=Formule LaTeX : n^4+2n^3-n^2-2n
=Formule LaTeX : n^4+2n^3-n^2-2n+1-1=Formule LaTeX : (n^2+n-1)^2-1

cqfd

 #4 - 03-08-2009 23:57:51

naturel
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 13

Produit de 4 entiers conécutifs et carré parfait

Soit n-1, n, n+1 et n+2 les quatre nombres consécutifs.

Il faut montrer que (n-1)(n)(n+1)(n+2) + 1 est un carré parfait.

On a : (n-1)(n)(n+1)(n+2) + 1 = n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n + 1

Cette expression est le carré de (n^2 + n - 1)

 #5 - 04-08-2009 09:29:20

doum37
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 17
Lieu: sur la Loire

produit de 4 enyiers consécutifs et carré parfait

On a l'identité:
n(n+1)(n+2)(n+3)=(n^2+3n+1)^2-1
Ce qui démontre le résultat.
Je dois avouer que je ne me suis pas trop fatigué: j'ai simplement tapé dans le logiciel Maple V la commande:

factor(n*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1);

 #6 - 04-08-2009 13:10:05

ddpm
Visiteur

produit de 4 entiers consécutifs et carré parfaiy

Soit n(n+1)(n+2)(n+3) le produit de 4 entiers consécutifs et A^2 le carré parfait
n(n+1)(n+2)(n+3) = A^2 - 1 = (A-1)(A+1)

n(n+1)(n+2)(n+3) = n(n+3)(n^2 +3n +2) = (n^2 + 3n)(n^2 +3n +2) =
[(n^2 + 3n +1) -1]*[(n^2 + 3n +1) +1] = (A-1)(A+1) = A^2 - 1
Donc
n(n+1)(n+2)(n+3) = (n^2 + 3n +1)^2 - 1

 #7 - 04-08-2009 15:05:01

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Produit de 4 enters consécutifs et carré parfait

je prends le produit de 4 entiers consécutifs et je fais apparaitres 2 égalités remarquables de type (a-b)(a+b)

Formule LaTeX : n(n+1)(n+2)(n+3) = <br />((n+\frac{3}{2})-\frac{3}{2})((n+\frac{3}{2})-\frac{1}{2})((n+\frac{3}{2}) +\frac{1}{2}) ((n+\frac{3}{2})+\frac{3}{2}) =<br />((n+\frac{3}{2})-\frac{3}{2})((n+\frac{3}{2})+\frac{3}{2})((n+\frac{3}{2}) -\frac{1}{2}) ((n+\frac{3}{2})+\frac{1}{2}) =<br />((n+\frac{3}{2})^2- \frac{9}{4})((n+\frac{3}{2})^2- \frac{1}{4})=<br />((n+\frac{3}{2})^4-\frac{10}{4}(n+\frac{3}{2})^2+\frac{9}{16}=<br />((n+\frac{3}{2})^4-2\times\frac{5}{4}(n+\frac{3}{2})^2+(\frac{5}{4})^2 -1=<br />((n+\frac{3}{2})^2-\frac{5}{4}))^2-1=<br />(n^2+3n+2)^2-1<br />

Le produit de 4 entiers consécutifs à partir de n est bien le carré moins un de l'entier Formule LaTeX : (n^2+3n+2).

 #8 - 04-08-2009 16:02:31

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
Messages : 2180

produit de 4 entiers conqécutifs et carré parfait

On peut remarquer que :

Formule LaTeX : (a+1) (a+2) - a (a+3) = (a^2+3a+2)-(a^2+3a) = 2

D'où,

Formule LaTeX : (a+1)(a+2) = a(a+3) + 2

Alors,

Formule LaTeX : a(a+1)(a+2)(a+3)

Formule LaTeX : = a(a+3) \times (a(a+3)+2)

Formule LaTeX : = ((a(a+3)+1)-1)\times((a(a+3)+1)+1)

Formule LaTeX : = (a(a+3)+1)^2 - 1^2

Formule LaTeX : = (a(a+3)+1)^2 - 1

CQFD tongue

 #9 - 04-08-2009 16:21:22

evariste
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 27

produit de 4 entiees consécutifs et carré parfait

n(n+1)(n+2)(n+3) = ((n(n+3)) ((n+1)(n+2)) =
= (n^2+3n)(n^2+3n+2) = ((n^2+3n+1)-1) ((n^2+3n+1)+1)) =
= (n^2+3n+1)^2 -1

Quelque soit n, n(n+1)(n+2)(n+3) est bien égal à un carré moins 1 et le nombre élevé au carré est égal à  n^2+3n+1

 #10 - 04-08-2009 19:04:16

petistef999
Visiteur

produit de 4 entierd consécutifs et carré parfait

En lisant les exemples j'ai remarqué que:

3x4=12
12-1=11
et que
8x9=72
72-1=71

Ce qui mène à l'équation: x(x+1)(x+2)(x+3)+1=((x+1)(x+2)-1)^2 qui est juste, avec x un nombre entier.

 #11 - 04-08-2009 19:39:00

tigui
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 1

Produit de 4 entiers conssécutifs et carré parfait

Remarque préliminaire 1 :
Pour tout x, x(x+1)(x+2)(x+3)+1 = (x²+x)(x²+5x+6)+1 = x⁴+6x³+11x²+6x+1 (en développant).

Remarque préliminaire 2 :
Pour tout x, [(x+1)²+x]² = [x²+3x+1]² = x⁴+6x³+11x²+6x+1 (en développant).

Remarque préliminaire 3 :
Pour tout x entier relatif, x+1 est un entier relatif, donc [(x+1)²+x] est un entier relatif.

Conclusion des deux remarques :
Pour tout x entier relatif, le produit de lui-même et de ses trois successeurs x(x+1)(x+2)(x+3) est égal à un carré parfait moins 1 :
x(x+1)(x+2)(x+3) = y²-1 avec y = [(x+1)²+x].

Remarque subsidiaire :
Le carré parfait recherché est celui de la somme du premier nombre et du carré du second.

 #12 - 06-08-2009 03:00:14

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

produit de 4 entiers consécutifs ey carré parfait

on remarque assez aisement que  le chiffre a élevé au carré  est  #n*(n+3) +1#

par devellopement n*(n+1)*(n+2)*(n+3) = n4+6n3+11n2+6n.
ainsi que (n(n+3)+1)^2 -1.

cqfd.

 #13 - 07-08-2009 00:18:16

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Produit de 4 entiers consécutifs et carré pafait

Enfin un MMM pas trop dur, ça repose lol

Ma démo (que j'ai déjà envoyée par mail) : si on a quatre entiers négatifs, c'est comme s'ils étaient tous les 4 positifs vu que les signes "-" s'annulent. Si on a des positifs et des négatifs, alors on a 0 au milieu, le produit fait 0=1²-1, youpi.

Plus qu'à faire la démo pour les positifs. On prend n>0.

Formule LaTeX : n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n^4+6n^3+11n^2+6n+1

Si c'est le carré de quelque chose, ce sera le carré de (n²+bn+1) avec b entier. Un exemple quelconque donne b=3, et on vérifie que (n²+3n+1)² vaut bien ce qui est ci-dessus, CQFD.

EDIT : J'ai même parfait ma solution depuis :

Formule LaTeX : \begin{align*}<br />n(n+1)(n+2)(n+3) &= \left[ n(n+3) \right] \left[ (n+1)(n+2) \right] \\<br />&= (n^2+3n)(n^2+3n+2) \\<br />&= \left[ (n^2+3n+1)-1 \right] \left[ (n^2+3n+1)+1 \right] \\<br />n(n+1)(n+2)(n+3) &= (n^2+3n+1)^2 - 1 \\<br />\end{align*}<br />


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #14 - 07-08-2009 11:13:12

scrablor
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Messages : 888

Produit de 4 enttiers consécutifs et carré parfait

Soit m la moyenne arithmétique de ces quatre entiers. Cette moyenne est de la forme p/2 où p est un entier impair.
Le produit demandé est donc :
(m-1,5)(m-0,5)(m+0,5)(m+1,5) = (p/2-3/2)(p/2-1/2)(p/2+1/2)(p/2+3/2)
= (p-3)(p+3)(p-1)(p+1)/16
= (p²-9)(p²-1)/16
= (p^4-10p²+9)/16
= [(p²-5)²-16]/16
Puisque p est impair, on pose p=2k+1 d'où p²=4k²+4k+1
Le produit envisagé se transforme en :
[(4k²+4k+1-5)²-16]/16 = [(4k²+4k-4)²-16]/16
= [16(k²+k-1)²-16]/16
= (k²+k-1)²-1
C'est bien un carré d'entier diminué de 1.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #15 - 09-08-2009 20:58:23

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1294
Lieu: Haute-Marne

Produit de 4 entiers conséccutifs et carré parfait

Posons que le deuxième de ces quatre entiers naturels consécutifs soit a.
Nous devons donc nous pencher sur le produit de : a-1 ; a ; a+1 et a+2

Le produit de ces quatre nombres est :
Formule LaTeX : (a-1) (a+2) a (a+1)<br />(a^2 + a - 2) (a2 + a)

on pose Formule LaTeX : b = a^2+a : Si a est entier, alors b l'est aussi.
Le produit de ces quatre nombres devient :
Formule LaTeX : (b-2)b
Soit Formule LaTeX : b^2 - 2b

Admettons que le résultat soit un carré parfait diminué de 1 : soit Formule LaTeX : x^2-1
donc : Formule LaTeX : b^2-2b=x^2-1

Formule LaTeX : b^2-2b=x^2-1

Je vais maintenant opérer de façon géométrique :
http://www.prise2tete.fr/upload/LeSingeMalicieux-carre_moins_1.PNG

Voilà Formule LaTeX : b^2, et Formule LaTeX : b^2-2b :
On voit bien qu'il manque Formule LaTeX : 1 à Formule LaTeX : b^2-2b pour être un carré !

Excusez ma non conformité mathématique...


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #16 - 10-08-2009 00:56:30

HAMEL
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2405
Lieu: Paris

Produit de 4 entiers consécutiffs et carré parfait

Essayons de le démontrer:

n*(n+1)*(n+2)*(n+3) = n^4 +6n^3 +11n^2 + 6n

à comparer à

(n*(n+3) +1 )^2 = (n^2+3n+1) ^2= n^4 + 6n^3 +11n^2 +6n +1

CQFD
Le produit de quatre entiers consécutifs est même plus précisément égal au carré du produit du premier et du dernier de ces entiers, augmentés de 1 puis diminué de 1 après carré.

Suis-je clair lol


-C'est curieux chez les marins ce besoin de faire des phrases !

 #17 - 10-08-2009 05:26:10

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2743
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Produit de 4 entiers consécuutifs et carré parfait

Si on part depuis le debut...
si on prend a=le premier nombre de la serie.
le produit des quatre nombre est:
a(a+1)(a+2)(a+3)=
a(a+3) * (a+1)(a+2)=
(a^2+3a) * (a^2+3a+2) =
si on remplace a^2+3a+1 par b, on a:
a(a+1)(a+2)(a+3)= (b-1)(b+1)
on sait que (b-1)(b+1)=b^2-1
donc a(a+1)(a+2)(a+3)= b^2-1


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #18 - 11-08-2009 15:16:45

phil0156
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 286

Produit de 4 entiers consécutifs et carrré parfait

Bonjour,

2*3*4*5 = 120 = 121-1 = 11^2-1, soit 11= (2*5)+1

7*8*9*10 = 504 = 5041-1 = 71^2-1, soit 71=(7*10)+1

en prenant comme nombres n, n+1, n+2, n+3; le carré donne [[n(n+3)+1]]²

n(n+1)(n+2)(n+3)= n^4+6n³+11n²+6n=(1)

[[n(n+3)+1]]²-1=n^4+6n³+11n²+6n=(2)

Le produit de 4 entiers (naturels ou relatifs) consécutifs est toujours égal à un carré parfait moins 1.

 

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(16) — Nombres entiers relatifs consecutifs (15) — Produit de 3 entiers consecutifs (14) — La somme de 2009 nombres relatifs strictement negatifs est + quel est leur produit ? (14) — N(n+1)(n+2)(n+3)+1est au carre? (13) — Entier consecutif (13) — Entier relatif consecutif (13) — Soit p le produit de quatre entiers naturels consecutifs (12) — Demontrer que le produit de quatre entiers naturels consecutifs augmente de 1 est le carre d un entier (12) — La somme de trois entiers naturels consecutifs est inferieure ou egale a 12 (12) — Entiers relatifs consecutifs (11) — Produit 4 entiers consecutif (11) — Entiers consecutifs (10) — Demontrer que le produit de quatres entiers naturels consecutifs augmente de 1 est le carre d un entier naturel (10) — Demontrer que la somme 1+3+5+...+99 est le carre d un entier naturel (10) — La somme de trois entiers naturels consecutifs est inferieur ou egale a 12 (10) — Nombre entier consecutif (10) — Demontrer que si l entier naturel p est impair la somme de p nombres entiers consecutifs est un multiple de p (10) — Produit de quatre par trois (9) — La somme de 2007 nombres entiers strictement negatifs est est leur produit (9) — Produit de trois entiers consecutifs (9) — Produit de nombre consecutif (8) — Nombre relatif consecutif (8) — 2n+1 carre parfait (n+1) somme carres parfaits (8) — 4 nombres consecutifs (8) — 4 entiers naturels consecutifs (8) — Quatre entiers naturels consecutifs (8) — Produit de 4 entiers (8) — Quels nombres entiers consecutifs donnent 2010 comme somme (8) — Quatre entier consecutif (7) — Produit de quatre entiers consecutif (7) — Quel est le produit de quatre par trois (7) — Produit de quatre entiers naturels consecutifs (7) — Produit quatre entiers consecutifs (7) — Produit entier consecutif (7) — Quatre entiers consecutifs (7) — Le produit de quatre entiers naturels consecutifs (7) — Somme de 4 entiers consecutifs (7) — Produit 3 entiers consecutifs (7) — Demontrer que le produit de quatres entiers consecutifs (7) — Produit de n entiers consecutifs (6) — p est le produit de quatre entiers naturels consecutifs (6) — Trouver si possible trois entiers consecutifs tels que le produit du premier et du troisieme soit egal au carre du deuxieme (6) — Quel est le produit de quatre par trois ? (6) — 4 nombre entier consecutif (6) — Pourquoi le produit de deux entiers consecutifs est toujours pair (6) — Demontrer que le produit de quatre entiers naturels consecutifs augmente de 1 est le carre d un entier naturel. (6) — Demontrer que le produit de quatre entiers naturels consecutifs (6) — Carre parfait quatrieme (6) — Trouver trois entiers consecutifs dont le produit du premier et du troisieme soit egal au carre du deuxieme (6) — Multiple de 4 consecutif (6) — Enigme carre parfait (6) — La somme de 4 nombres entiers consecutifs est 1422 (6) — P+1 carre parfait (6) — Demontrer que le produit de quatre entiers naturels (6) — Produit 4 entiers consecutifs (6) — Peut on trouver trois entier naturel consecutifs tels que leur produit soit egal a leur somme (6) — La somme de 4 multiples consecutifs de 7 est egale a 406 (6) — Produit de quatre entiers consecutifs augmente de 1 (6) — Somme de 4 nombres consecutifs (5) — Demontrer que le produit de 4 entiers naturels consecutifs augmente de 1 est le carre d un entier naturel (5) — Le carre parfait (5) — Produit de 4 nombres consecutifs + 1 (5) — Montrer que le produit de 4 entier naturels consecutifs augmente de 1 est toujours le carre d un entier naturel (5) — La somme de 4 nombres consecutifs vaut 46 (5) — Trouver cinq entiers naturels consecutifs tels que la somme des carres des deux plus grands soit egale a la somme des carres des trois autres (5) — Le produit de quatre entiers consecutifs augmente de 1 est le carre d un entier naturel (5) — Produit de 4 entiers consecutifs multiple de 8 (5) — 3 entiers consecutifs (5) — Produit de trois entier consecutif (5) — 5 entier consecutifs tel que la somme des carre des deux plus grand entiers (5) — Le produit de quatre nombre entiers (5) — Produit de nombres consecutifs (5) — 3 entiers consecutifs dont le produit du premier et du troisieme est egal au carre du deuxieme (5) — Naturel consecutif (5) — Somme de carres d entiers consecutifs (5) — Deux nombre consecutif definition (5) — Demontrer que si p est impair la somme de p nombres consecutifs est un multiple de p (5) — Produit 4 nombre consecutif (5) — Carre parfait 7p - 4 (5) — Carres parfaits (5) — Multiplier 4 entiers consecutif + 1 (5) — Demontre que la somme de deux entiers impairs consecutifs est un multiple (5) — Multiple consecutif (5) — Si n est un nombre entier alors (n-1)(n+1)+1est toujours egal au carre d un entier (5) — La somme de quatres multiples consecutifs de 7 est egale a 406 (5) — Quatre carres parfaits (5) — La somme de 2007 nombres entiers strictement negatifs est - 2008. quel est leur produit ? (5) — La somme de 2007 nombres entiers strictement negatifs est 2 008 (5) — La somme de 2010 nombres entiers strictement negatifs est egale a - 2011 (5) — Montrer que le produit de 4 entiers naturels consecutifs augmente de 1 est toujours le carre d un entier naturel (4) — Carre parfait definition (4) — Montrer que le.produit de 4 entier consecutif augmente de 1 est le.carre d un entier (4) — Somme de 4 nombres entiers consecutifs (4) — Nombre entier qui suit 20 999 (4) — La somme de cinq entiers consecutifs est toujours egale au produit du troisieme entier par 5 (4) — Somme de 4 multiples consecutifs de 7 egale a 406 (4) — Carre parfait entier consecutif (4) — Que peut-on dire du produit de 3 nombres entiers consecutifs (4) — X et x+99 carres parfaits (4) — 6 entiers naturels consecutifs (4) — La somme de trois entiers naturels consecutifs est inferieure ou egale a 12. (4) — La somme de 4 nombres impairs consecutifs quelconques est un multiple de 8 (4) — Demontrer que le produit de quatre entiers naturels consecutifs et non nuls ne peut pas etre un carre parfait. (4) — 5 nombres entiers consecutifs dont la somme des carres des plus petits est egale a la somme des carres des plus grands (4) — Montrer que n(n+1)(n+2)(n+3)+1 est un carre parfait (4) — Produits de quatre entiers consecutifs plus 1 (4) — Quatre nombres consecutifs (4) — 4 entier naturel consecutif (4) — Produit de 4 entiers consecutifs 1 (4) — Demontrer que la somme de p nombres entiers consecutifs est toujours un multiple de p (4) — Demontrer que la somme de 1 + 3 + ... + 99 est le carre d un entier naturel (4) — P(x)=-3x3+11x²+24x-20 (4) — Montrer que le produit de 4 entiers consecutifs augmente de 1 est un carre parfait (4) — Nombre entier relatif distinct (4) — Demontrer que si p est un entier naturel impair la somme de p nombres consecutif est un multiple de p (4) — Nombre entiers consecutifs (4) — Les produits par nombre de 2 34 5 (4) — 4 nombres eniters consecutifs carre parfait (4) — Demontrer quela somme de p entiers consecutifs est toujours un multiple de p (4) — Produit d un nombre entier consecutif augmente de 1 (4) — Tous les nombres n tels que le produits des trois consecutifs est un carre parfait (4) — Carre entier (4) — En deduire l entier naturel dont 10*11*12*13+1 est le carre (4) — Somme de p entier consecutif (4) — Produit de 4 entiers consecutifs augmente de 1 (4) — 1 produit de4 entier naturel consecutif egal a 358800 (4) — Le produit de 4 nombres entiers consecutifs + 1 est egal au carre d un n (4) — Produit d entiers consecutifs (4) — Demontrer que le produit de quatre entiers (4) — Comment demontree que 2 entiers impairs consecutif est un multiple de 4 (4) — Faire le produit du plus petit et du plus grand de ces entiers+seconde (4) — Nombres entiers consecutifs (4) — Le produit de 4 entiers consecutifs (4) — Demontrer que le produit de quatre (4) — Entier naturel consecutif (4) — Montrer que le produit de quatre naturels consecutifs quelconques augment (4) — Le produit de 4 entiers consecutifs augmente de 1 est toujours un carre parfait (4) — Demontrer que le produit de quatre entiers naturels consecutifs augmente de 1 (4) — Montrer que le produit de 4 entiers naturels consecutifs augmente de 1 est toujours un carre d un entier naturel (4) — Relatif consecutif (4) — Multiple consecutif de 47 (4) — Trouver trois nombres entiers consecutifs tels que leur somme soit egale a 261. (4) — Monter que deux nombres entiers impairs cosecutif est un multiple de 4 (3) — P=n(n+1)(n+2)(n+3)+1 carre parfait (3) — Produit de 4 entier consecutifs augmente de 1 (3) — Produit entiers naturels consecutifs (3) — La solution de le produit de quatre nombreconsecutif plus un est un carre (3) — 2n+1 carre parfait demontrer que n+1 somme de deux carres parfaits (3) — Parfait je suis entier (3) — Somme des carres d entiers consecutifs ex (3) — Demontrer que le produit de quatre entiers naturels consecutifs augmente de 1 est le carre d un entier natuel (3) — Entier relatif consecutifs (3) — Nombres consecutufs et carre parfait (3) — Quatre entier naturel consecutif (3) — Montrer qu une somme de nombres impairs consecutifs est un carre parfait (3) — Quatre nombres entiers consecutifs (3) — Trouver si possible trois entiers consecutifs tel que le produit du premier et du troisieme soit egal au carre du deuxieme (3) — Quels nombres entiers consecutifs donnent 2010 comme somme ? (3) — 2 nombre relatif consecutif dont le produit est egal a leur somme augmente du premier nombre au carre (3) — La somme de 2 nombres consecutifs est egal a 57 (3) — La somme de trois entiers naturels consecutifs est inferieur ou egale a 12. (3) — Prouver que le produit de 4entiers consecutifs plus 1 est le carre d un entier (3) — 1+3+5+...+99 est le carre d un entier naturel (3) — Produits de quatre entiers (3) — Donner 2 nombre entier relatifs dont le priduit est 6 (3) — 4 entiers (3) — Nombres consecutifs (3) — Si on multiplie 1 par 3 c est egal au carre de 2 diminue de 1 (3) — Trouver si possible trois entier consecutif tels que que le produit du premier et du troisieme soit egal au carre du deuxieme (3) — Trouver 4 entiers consecutifs d un nombre (3) — Quelque soit le nombre c est toujours un carre (3) — Produits de 4 entiers consecutifs (3) — Decomposer 12 en produit de 3 nombres relatifs distincts (3) — Le produit de 3 entier consecutifs +1 est un carre (3) — Definition deux entiers consecutifs (3) — Somme de 4 nombre entiers consecutifs (3) — Trouver trois nombre entiers consecutifs tels que leurs somme soit egale a 261 (3) — Demontrer 4 nombre consecutif donne resultat pair (3) — Montrer que p entiers naturels consecutifs est un multiple (3) — Demontrer que le carre de cet entier relatif diminue de 1 est aussi un multiple de 5 (3) — Monter que le produit de quatre entiers consecutifs augmente de 1 est le carre d un entier (3) — Le produit de 4 entiers consecutifs est egal a leur somme (3) — Demontrer que n(n+1)(n+2)(n+3)+1 est un carre parfait (3) — Deux entiers naturels tels que le premier augmente de 12 est egal au second et que celui-ci (3) — Donner deux nombres entiers relatifs dont le produit est 6 (3) — La somme de 2007 nombres entiers negatifs (3) — Demontrer que si p est impair la somme de n nombres consecutifs est un multiple de p (3) — Trouver cinq nombres entiers consecutifs tels que la somme des carres des deux plus grands soit egale a la somme des carres des trois plus petits . (3) — 4 entier consecutif (3) — En deduire que n(n+1)(n+2)(n+3)+1 est un carre parfait (3) — Produit de 4 nombres concecutifs (3) — Sommes des carres d entiers consecutifs (3) — Demontrer que le produit de 4 entiers consecutifs e (3) — La somme de 2009 nombres entiers est egale a (3) — Carrede 4 entiers consecutifs augmente de 1 est un carre parfait (3) — Le produit de quatre entiers naturels consecutifs augmente de un est toujours le carre d?un entier naturel. (3) — Demontre que le t de 4 entier consecutifs augmente de 1 est un caree parfait (3) — La somme de quatre entiers consecutifs moins deux est multiple de quatre (3) — Le produit de quatre entiers consecutifs augmente de un (3) — Trouver cinq nombres entiers positifs consecutifs dont la somme des carres des plus petits est a la somme des carres des plusgrands (3) — Quel est le produit de 4 (3) — Demontrer que le produit de quatre entiers naturels consecutifs augmente (3) — Le produit de 4 par la somme de 7 et de 8 (3) — Produit entier consecutifs (3) — Soit p le produit de quatres entiers naturels consecutifs (3) — Ecris 72 comme produit de deux entiers consecutifs (3) — Prouver que la somme de trois nombres consecutifs est un multiple de trois (3) — Soit quatre entiers consecutifs n; n+1;n+2; n+3 (3) — Quatre nombres entiers consecutifs produit plus petit plus grand (3) — Le produit de 4 nombres entiers (3) — 2 5 13 carre parfait (3) — Si n est un entier (n-1)(n+1)+1 est toujours egal au carre d un entier (3) — Demonter que si p est impair la somme de p nombres consecutif est un miltiple de p (3) — Nombre consecutif exemple (3) — Definition d entier consecutif (3) — Nombres relatifs consecutifs (3) — P+1 est un carre parfait (3) — Somme de quatres multiples de 7 egale 406 (3) — La somme de 2007 entiers relatifs negatifs tous deffirent de 0 est egale a -200 (3) — Quatre chiffres consecutifs (3) — Somme de deux carres parfaits (3) — P est le produit de quatre entiers naturels consecutifs (3) — Trouver cinq entiers naturels consecutifs tels que la somme (3) — Produit de 4 nombre entiers consecutifs avec 3 0 2 4 (3) — Le produit de 4 nombres entiers consecutifs (3) — Trouver si possible trois entiers consecutifs tels que le produit du premier et du troisieme soit egal au carre du deuxieme. (3) — Demontrer que le produit de quatre entiers consecutifs augmente de 1 est toujours un carre parfait (3) — Deux nombres entiers relatifs dont le produit est 6 (3) — Prouver que le produit de 4 entiers consecutifs plus 1 est le carre d un entier (3) — Nombre consecutif (3) — Demontrer que le produit de 4 nombres consecutifs augmente de 1 est toujours un carre (3) — Produit entier naturel consecutif (3) — Existe-t-il trois nombre entier impairs consecutifs dont la somme fait 2007 (3) — Soit trois nombres entiers consecutifs. demonter que le produit du plus petit par le grand est egal au carre du troisieme nombre diminue de 1 (3) — Produit trois entiers consecutifs carre (3) — Produit deux entiers consecutifs multiple de 2 (3) — Comment trouver quatre nombres consequitifs (3) — Je recherche somme de deux nombres consecutifs egal a 57 (3) — Montrer que a(a+1)(a+2)(a+3)+1= (3) — Quatres entiers consecutifs (3) — Le produit de quatre entiers consecutifs (3) — Le produit de deux nombres entiers consecutifs est toujours pair (3) — Demontrer que si p impair la somme de p entiers consecutifs est multiple de p (3) — La somme de 4 nombres consecutifs est un multiple de 4 (3) — Demontrer que si p est impair la somme de p nombres consecutifs et un multiple de p (3) — Produit 4 (3) — 2 entiers naturel paire consecutif avec somme egale 2010 (3) — La somme de quatre multiples consecutif de 7 est egale a 406. quels sont ces quatre entiers ? (3) — Donner un exemple de deux nombre entiers consecutifs (3) — Produit de 4 nombre entier consecutif et un carre (3) — Produit de 4 nombres entiers consecutifs (3) — N(n+1)(n+2)(n+3)+1 (3) — Trouve trois nombres entiers dont le produit est 504 (3) — Trouver trois entiers relatifs differents dont le produit est - 6 (3) — En deduire l entier naturel dont 10*11*12*13+& est le carre (3) — Quelle est le produit de quatre par trois (3) — Produit 4 entiers consecutifs est un carre (3) — Produit de 2007 nombres entiers negatifs inferieures 0 2008 (3) — Produit d entier consecutif (3) — Somme de 4 entiers impairs consecutifs (3) — 4 chiffres consecutifs (3) — Soit p un entier naturel somme de p toujours multiple de p (3) — Trouver 5 nombres entiers consecutif tels que la somme des carres des 2 plus grands (3) — La somme de 2007 nombres entiers strictement negatifs est (3) — X(x+1)(x+2)(x+3)+1=carre parfait (3) — Peut on obtenir un carre parfait si on augmente de 1 le produit de 4 nombre entiers consecutifs (3) — Produit nombres consecutifs (3) — Somme de quatre multiple de 7 egale 406 (3) — Produit de catre entier consecutif ne peut etre carre parfait (3) — Quels sont les entiers naturels n tels qu n^4+2n^3+3n^2+1 soit un carre (3) — Le produit de quatre (3) — Cinq entiers consecutifs (3) — Produit entiers consecutifs carre (3) — Probleme: la somme de 4 entiers consecutifs impairs multiple de 8 (3) — 4 entiers consecutif (3) — Produit de quatre entier consecutifs (3) — Quesqu un nombre entier consecutif (3) — Le produit de trois entiers consecutifs (2) — Somme d entier consecutifs egale a n(n+1) (2) — La somme de 2007 nombres entiers strictement negatifs est - 2008 (2) — La somme consecutif de 4 multiple de 7 est egal a 406 quel son ces 4 nombre (2) — Montrer qu une somme de nombre impair consecutifs est un carre parfait (2) — Demontrer que le produit de quatre nombre entiers naturels consecutifs (2) — Quesqu un chiffre consecutif (2) — Somme de deux entiers consecutifs impairs est un multiple de 4 (2) — Un produit de trois entiers (2) — Trois entiers consecutifs tels que le produit du premier et du troisieme soit egal au carre du deuxieme (2) — N^4+2n^3+3n^2+1 carre parfait (2) — Produits de quatre entiers consecutifs facile (2) — La somme de 3 multiples de 4 consecutifs vaut 204 (2) — Produit 4 entiers + 1 est carre d un entier naturel (2) — 2 5 et 13 (2) — Demontrer que le produit de quatre entier naturels consecutifs augmente de 1 (2) — Produit de quatres nombres entiers consecutifs (2) — Quel est le produit de 2007 nombres entiers strictement negatifs (2) — Si on 1 au produit de quatre entiers consecutirfs carre parfait (2) — La somme de 2010 nombres entiers strictement negatifs est egales a 2011 (2) — La somme de 3 entiers naturel consecutif est inferieur a 12 (2) — Nombres entiers naturels impairs et consecutif (2) — On cherche un nombre p tel que la somme de p nombres entiers impairs consecutifs dont (2) — 4 chiffres impair consecutif multiple de 8 (2) — Trouver 5 entiers naturels a b c d et e distincts tels que 1/a+1/b+1/c+1/d+1/e=1 (2) — Montrer que le produit de trois entiers consecutifs augmente du nombre du milieu est un cube parfait (2) — Le produits de 4 entiers consecutifs 1 carre parfait (2) — Carre de chiffre (2) — Demontrer que la somme de 1+3+5+...+99 est un carre dun entier naturel (2) — Demontrer que le produit de quatre entiers consecutifs augmente de 1 est le carre d un entier naturel (2) — Demontrez que la somme 1+3+5+...+99 est le carre (2) — La somme de 2009 nombres entiers negatifs est 2010 (2) — Trouver 5 nombres consecutifs dont la somme (2) — La somme du produit de quatre par cinq et de douze (2) — L entier consecutif de 23 (2) — Si n est un entier (n-1)(n+1)+1 est toujour egal au carre d un entier (2) — 1*2*3*4+1 carre parfait (2) — Exemple nombre entier consecutifs (2) — Demontrer que le produit de quatre entiers naturels consecutif augmente de 1 est le carre d un entier naturel (2) — Produit des entiers relatifs (2) — Quelle est le produit de 4 (2) — Multiplication de quatre nombre consecutif+1=un carre parfait (2) — Demontrer que le produit de 4 nombres entiers consecutifs augmente de 1 est toujours un carre (2) — Trouver la somme d quatre multiples (2) — Soit 3 nombres entiers consecutif demontrer que le produit du plus petit par le plus grand est egal au carre du 2eme nombre diminue de 1 (2) — Quesqu un nombre consecutif (2) — Multiple consecutif de 2 (2) — Somme 2009 nombres entiers egale a 2010 (2) — Demontrer que la somme des carres de 2 nombres paires cons2cutifs est un multiple de 4 (2) — Produit d entiers impairs consecutifs (2) — Deux nombre entiers relatifs dont le produit est 6 (2) — Demontrer que la somme de trois entiers consecutifs est un multiple de 3 (2) — Le produit de m par m-1 est il negatif (2) — Quel est le caree de 12.5? (2) — Le produits de quatre entiers consecutifs augmente de 1 est un carre parfait (2) — Soit d un entier qui n est pas carre parfait monter que: d (2) — Sommes de termes. demontrez que la somme 1+3+5+...+99 est le carre d un entier naturel (2) — Le produit de 4 entier (2) — Demontrer que le produit de p nombres consecutifs est toujours un multipl (2) — Demontrer que la somme des carres de deux nombres impairs consecutifs quelconques est un nombre pair (2) — Prouver que le produit de quatre entiers consecutifs augmente de 1 est toujours le carre d un entier (2) — Resoudre le produit entiers naturels consecutifs de 358800 (2) — Carre parfait solution (2) — Produits entiers consecutifs (2) — Produit 4entiers consecutifs (2) — Quels sont les entiers naturels n tels que n^4+2n^3+3n^2+1 soit un carre (2) — Trois entiers relatifs consecutifs dont la somme egale le produit (2) — Il existe 3 entiers consecutifs tel que la somme des carres des 3 plus petits est egale a la somme des carres des 2 plus grands (2) — Demontrer que si l entier narueel p est impair la somme p (2) — Somme des carres de deux entiers consecutifs (2) — Carre parfait le produit de quatre entiers consecutifs augmente de 1; est-il un carre parfait? (2) — Equation avec le produit de 4 nombres consecutifs (2) — Dans 4 ² quatre est quoi (2) — Deux nombres entiers consecutifs ? (2) — Regle sur les nombres entiers consecutifs positifs (2) — Trouver trois nombres entiers consecutifs suite geometrique (2) — La somme de quatre entiers consecutif plus un est un carre (2) — 3 nombre consequtive que leur somme est egale a leur produit (2) — Trouver 5 nombres entiers consecutifs tels (2) — Trouver 4 produit de deux nombres entiers egaux a 48 ? (2) — Produit de 4 entiers positifs (2) — Somme de 2 carres entier positif consecutif (2) — Le produit de 4 entiers consecutifs augmente de 1 est le carre d un entier naturel (2) — Carre consecutif (2) — Peut on affirmer que la somme de quatres nombre consecutifs est egale a un multiple de quatre (2) — Kesk un nombre consecutif ??? mathematiques (2) — Trouver 3 nombres entiers consecutifs dont la somme est 2007 (2) — Deux nombre entier positifs non nul pair consecutif dont la somme est egale a 2010 (2) — Demontrer que x est un carre parfait dans deux equations (2) — Ecrire 12 comme le produit de trois nombres relatif (2) — Quels nombres entier consecutif donnent 2010 en somme (2) — Soit p un entier impair demontrer que la somme de p nombres consecutifs est toujours un multiple de p (2) — Trouve les facons de faire 24 en 3 produit entiers relatifs (2) — Existe-t-il trois entier relatifs consecutifs dont la somme est egale au produit ? (2) — Logique le produit d un nombre quelconque est la somme de deux carre (2) — Demontrer que le produit de 4 entiers naturels consecutifs augmente de 1 est le carre (2) — Prouver deux nombre impairs egal un nombre pair (2) — Que des carres parfaits (2) — Trouver 5 nombres entiers tels que la somme des carres des deux plus grands soit egale a la somme des carres des trois autres (2) — Prouver que p est un carre parfait (2) — Demontrer que le produit de 4 entier (2) — Produit de 4 entier (2) — Si 2n+1 est un carre d entier alors n+1 est la somme (2) — Demontrer que la somme de deux nombres impaires consecutifs est un multiple de 4 (2) — La somme de 4 (2) — Trois entiers consecutifs (2) — Demontrer que le carre de ce nombre diminue de 1 est aussi un multiple de 5 (2) — Demontrer que le produit de quatre entiers naturels consecutifs augmente de un est le carre d un entier naturel (2) — Trouver le lien entre le produit de quatre nombre entier consequtif et l entier qui suit se produit (2) — Les nombre entier relatif consecutif (2) — Somme des carres pairs consecutifs (2) — Produit de 4 entiers naturels (2) — Somme de 3 nombres consecutifs (2) — Demontrer que si p est impairla somme de p nombres consecutifs est un multiple de p (2) — Enigme mathematique la somme de 2007 nombre strictement (2) — Soit n1 et n2 deux entiers naturels distincts consecutifs (2) — Produit nombre consecutif (2) — Le produit de 4 entiers successifs + 1 donne t il le carre d un nombre? (2) — Definition de deux nombres entiers relatifs consecutifs (2) — Carre parfait consecutif (2) — Somme de 4 carres (2) — Produit de quatres entiers naturels consecutifs (2) — Prouver qu une somme de 4 entiers consecutif est en carre parfait (2) — Produit de quatre nombre entier consecutif augmente de 1 (2) — Carres non parfaits (2) — Dix entiers consecutifs non premier (2) — Trouver 5 entiers consecutifs tels que la somme des carres des 3 plus petits (2) — Entiers relatifs distincts (2) — Un produit en math ex produit + somme (2) — Multiple consecutifs de 7 (2) — Trois nombre entier consecutif produit du plus petit par le plus grand carre du nombre du mileu (2) — Somme du produit de trois entiers consecutifs (2) — Pourquoi le produit de trois entiers consecutifs est toujours un multiple (2) — Produit de 4 entier + 1 est egal au carre (2) — Trouver 3 entier consecutifs tels que produit du premier et troisieme egal au carre du deuxieme (2) — Si 2n+1 est un carre d entier alors n+1 est la somme de (2) — 2 nombres consecutifs egale a 57 (2) — Demontrer que le produit de 4 nombres entiers consecutifs augmente de 1 (2) — Produit de deux nombres entier consecutif (2) — Produit entier naturel (2) — Produit nombre entier (2) — Nombres entiers positifs consecutifs (2) — Demontre que la somme de 3 entier consecutif est un multiple de 3 (2) — Demontrer que la somme de 1 et du produit de 4 entiers consecutifs est un carre parfait (2) — Produit 4 entiers (2) — Soit p le produit de quatre (2) — Trouver 5 entiers consecutifs tel que la somme des carres des deux plus grands soit egale a la somme des carres des trois autres (2) — Cinq entiers naturels consecutifs (2) — La somme de quatre entiers consecutifs augmente de 1 est le carre d un entier naturel (2) — La somme de deux entiers consecutifs (2) — Le produit de 4 entiers consecutifs +1 carre entier naturel (2) — P est le produit de quatres entiers naturels consecutif (2) — Produit de 5 nombres entier consecutif carre parfait (2) — Recurrence somme cubes 3nombres entiers consecutifs (2) — Decomposition d un carre parfait en produit remarquable (2) — Deux entiers positifs distincts a et b tels que (2) — Produit de nombres entiers relatifs (2) — Entier relatifs consecutifs (2) — Somme et produit de nombres entiers consecutifs (2) — Le produit de deux nombres entier consecutif est toujours pair pourquoi? (2) — Produit par 4 (2) — 4 nombres consecutif (2) — Produit de deux entier consecutif toujours pair (2) — Somme de 4 chiffre consecutif (2) — Le produit de 4 entiers consequtifs nest pas un carre parfait (2) — Produit de 3 nombres (2) — Quesqu un nombre entier consecutifs (2) — Demontrer que la somme de trois nombres entier consecutifs quelconque est un multiples de 3 (2) — Soient trois nombres consecutifs demontrer que le produit de plus petit par le plus grand est egale au carre du troisieme nombre diminue de 1 (2) — Ecrire 2010 comme la somme de trois entiers consecutifs (2) — Nombres entiers et leur produit (2) — Trouver 3 nombres entiers consecutifs dont le produit du premier et du troisieme est egal au carre du deuxieme (2) — Trouver 2 entiers consecutifs dont le produit est egal a (2) — Produits de carres parfaits (2) — Trouver les entiers n de n* tels que n(n+1) soit un carre parfait puis ceux tels que n(n+1)(n+2) soit un carre parfait (2) — Determiner 3 nombres entiers relatifs consecutif tels que leur somme soit egale a leur produit (2) — Produit de trois nombres naturels successifs est multiple de 6 (2) — Demontrez que la somme 1+3+5+...+99 est le carre d un entier naturel (2) — 2 nombres entiers consecutifs dont le produit est egal a leur somme augmente de 1 (2) — Prouver qu\ une suite geometrique est un carre parfait (2) — Montrer que le produit de quatre entiers consecutifs augmente de 1 est le carre d un entier. (2) — Quatre entiers consecutif (2) — Produit de nombre entier successif (2) — Identites et equations retrouver quatres nombres pairs consecutifs (2) — Entier consecutif 2009 (2) — Trois nombre entier consecutif dont le produit soit egal (2) — Quel est le nombre consecutif a 14? (2) — Demontrer qu une expression donnera un carre parfait (2) — La somme 4 nombre impaires consecutif est egale a120 (2) — Exemple de nombre entier consecutif (2) — Produit de 4 entiers inferieurs a 16 (2) — 3 nombres entiers naturels consecutifs (2) — Trouver produit entier anturels consecutifs (2) — Mathematiques p est le produit de quatre entiers naturels consecutifs car (2) — Prouver que 5 nombres entiers consecutifs entre eux sont un multiple de 5 (2) — 3 nombres entiers consecutifs dont la somme est 2007 (2) — Montrer que la somme du produit de trois entiers consecutifs (2) — Donner 3 nombres entier consecutifs sachant que leur somme est egale a leur produit (2) — 5 entiers consecutifs (2) — La somme de 2007 nombres entiers strictement negatifs est 2008 (2) — 48 est le produit de 4 (2) — N n 1 n 2 n 3 1 carre parfait (2) — Demontrer que le produit de nombre entier consecutif est un nombre paire (2) — P est le produit de 4 entiers naturels consecutifs. demontrer que p+1 est un carre parfait (2) — N entiers consecutifs non premiers (2) — Enigme mathematique somme quatre prix egale au produit (2) —

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