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 #1 - 03-08-2009 18:38:41

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 6199

Produit de 4entiers consécutifs et carré parfait

Proposition : Le produit de 4 entiers (naturels ou relatifs) consécutifs est toujours égal à un carré parfait moins 1.

Démontrez ou informez cette proposition.

Exemples :

2*3*4*5 = 120 = 121-1 = 11^2-1
7*8*9*10 = 504 = 5041-1 = 71^2-1

--

Cet énoncé est issu du concours mathématique MMM#38 de WildAboutMaths avec $10 de prix à la clé. Les solutions sont cachées la durée du concours.

Modalité du concours : http://wildaboutmath.com/2009/08/03/mmm … no-square/



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 #2 - 03-08-2009 20:08:17

perceval
Chevalier de P2T
Enigmes résolues : 48
Messages : 705
Lieu: C-FD

produit de 4 entiers consécutofs et carré parfait

Soit P le produit de 4 entiers consécutifs
P = n(n+1)(n+2)(n+3)

on pose u = (n+1)(n+2)
on remarque que u = n(n+3)+2

Donc P=u(u-2)
P + 1 = u²- 2u + 1
P + 1 = (u-1)²

P est donc bien un carré parfait moins un.


When i was a child i was a jedi

 #3 - 03-08-2009 23:43:34

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Produit de 4 entiers ocnsécutifs et carré parfait

soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1
alors  Formule LaTeX : (n-1)n(n+1)(n+2)=Formule LaTeX : (n^2-1)(n^2+2n)=Formule LaTeX : n^4+2n^3-n^2-2n
=Formule LaTeX : n^4+2n^3-n^2-2n+1-1=Formule LaTeX : (n^2+n-1)^2-1

cqfd

 #4 - 03-08-2009 23:57:51

naturel
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 13

Produit de 4 entieers consécutifs et carré parfait

Soit n-1, n, n+1 et n+2 les quatre nombres consécutifs.

Il faut montrer que (n-1)(n)(n+1)(n+2) + 1 est un carré parfait.

On a : (n-1)(n)(n+1)(n+2) + 1 = n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n + 1

Cette expression est le carré de (n^2 + n - 1)

 #5 - 04-08-2009 09:29:20

doum37
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 17
Lieu: sur la Loire

Prooduit de 4 entiers consécutifs et carré parfait

On a l'identité:
n(n+1)(n+2)(n+3)=(n^2+3n+1)^2-1
Ce qui démontre le résultat.
Je dois avouer que je ne me suis pas trop fatigué: j'ai simplement tapé dans le logiciel Maple V la commande:

factor(n*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1);

 #6 - 04-08-2009 13:10:05

ddpm
Visiteur

Produit de 4 entiers consécutifss et carré parfait

Soit n(n+1)(n+2)(n+3) le produit de 4 entiers consécutifs et A^2 le carré parfait
n(n+1)(n+2)(n+3) = A^2 - 1 = (A-1)(A+1)

n(n+1)(n+2)(n+3) = n(n+3)(n^2 +3n +2) = (n^2 + 3n)(n^2 +3n +2) =
[(n^2 + 3n +1) -1]*[(n^2 + 3n +1) +1] = (A-1)(A+1) = A^2 - 1
Donc
n(n+1)(n+2)(n+3) = (n^2 + 3n +1)^2 - 1

 #7 - 04-08-2009 15:05:01

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Produit de 4 entiers consécutiifs et carré parfait

je prends le produit de 4 entiers consécutifs et je fais apparaitres 2 égalités remarquables de type (a-b)(a+b)

Formule LaTeX : n(n+1)(n+2)(n+3) = <br />((n+\frac{3}{2})-\frac{3}{2})((n+\frac{3}{2})-\frac{1}{2})((n+\frac{3}{2}) +\frac{1}{2}) ((n+\frac{3}{2})+\frac{3}{2}) =<br />((n+\frac{3}{2})-\frac{3}{2})((n+\frac{3}{2})+\frac{3}{2})((n+\frac{3}{2}) -\frac{1}{2}) ((n+\frac{3}{2})+\frac{1}{2}) =<br />((n+\frac{3}{2})^2- \frac{9}{4})((n+\frac{3}{2})^2- \frac{1}{4})=<br />((n+\frac{3}{2})^4-\frac{10}{4}(n+\frac{3}{2})^2+\frac{9}{16}=<br />((n+\frac{3}{2})^4-2\times\frac{5}{4}(n+\frac{3}{2})^2+(\frac{5}{4})^2 -1=<br />((n+\frac{3}{2})^2-\frac{5}{4}))^2-1=<br />(n^2+3n+2)^2-1<br />

Le produit de 4 entiers consécutifs à partir de n est bien le carré moins un de l'entier Formule LaTeX : (n^2+3n+2).

 #8 - 04-08-2009 16:02:31

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
Messages : 2181

Produit de 4 entiers consécutifs et carré parfaitt

On peut remarquer que :

Formule LaTeX : (a+1) (a+2) - a (a+3) = (a^2+3a+2)-(a^2+3a) = 2

D'où,

Formule LaTeX : (a+1)(a+2) = a(a+3) + 2

Alors,

Formule LaTeX : a(a+1)(a+2)(a+3)

Formule LaTeX : = a(a+3) \times (a(a+3)+2)

Formule LaTeX : = ((a(a+3)+1)-1)\times((a(a+3)+1)+1)

Formule LaTeX : = (a(a+3)+1)^2 - 1^2

Formule LaTeX : = (a(a+3)+1)^2 - 1

CQFD tongue

 #9 - 04-08-2009 16:21:22

evariste
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 27

produit de 4 entiers cpnsécutifs et carré parfait

n(n+1)(n+2)(n+3) = ((n(n+3)) ((n+1)(n+2)) =
= (n^2+3n)(n^2+3n+2) = ((n^2+3n+1)-1) ((n^2+3n+1)+1)) =
= (n^2+3n+1)^2 -1

Quelque soit n, n(n+1)(n+2)(n+3) est bien égal à un carré moins 1 et le nombre élevé au carré est égal à  n^2+3n+1

 #10 - 04-08-2009 19:04:16

petistef999
Visiteur

Produit de 4 entierrs consécutifs et carré parfait

En lisant les exemples j'ai remarqué que:

3x4=12
12-1=11
et que
8x9=72
72-1=71

Ce qui mène à l'équation: x(x+1)(x+2)(x+3)+1=((x+1)(x+2)-1)^2 qui est juste, avec x un nombre entier.

 #11 - 04-08-2009 19:39:00

tigui
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 1

Produti de 4 entiers consécutifs et carré parfait

Remarque préliminaire 1 :
Pour tout x, x(x+1)(x+2)(x+3)+1 = (x²+x)(x²+5x+6)+1 = x⁴+6x³+11x²+6x+1 (en développant).

Remarque préliminaire 2 :
Pour tout x, [(x+1)²+x]² = [x²+3x+1]² = x⁴+6x³+11x²+6x+1 (en développant).

Remarque préliminaire 3 :
Pour tout x entier relatif, x+1 est un entier relatif, donc [(x+1)²+x] est un entier relatif.

Conclusion des deux remarques :
Pour tout x entier relatif, le produit de lui-même et de ses trois successeurs x(x+1)(x+2)(x+3) est égal à un carré parfait moins 1 :
x(x+1)(x+2)(x+3) = y²-1 avec y = [(x+1)²+x].

Remarque subsidiaire :
Le carré parfait recherché est celui de la somme du premier nombre et du carré du second.

 #12 - 06-08-2009 03:00:14

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

Produit de 44 entiers consécutifs et carré parfait

on remarque assez aisement que  le chiffre a élevé au carré  est  #n*(n+3) +1#

par devellopement n*(n+1)*(n+2)*(n+3) = n4+6n3+11n2+6n.
ainsi que (n(n+3)+1)^2 -1.

cqfd.

 #13 - 07-08-2009 00:18:16

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Produit de 4 entierrs consécutifs et carré parfait

Enfin un MMM pas trop dur, ça repose lol

Ma démo (que j'ai déjà envoyée par mail) : si on a quatre entiers négatifs, c'est comme s'ils étaient tous les 4 positifs vu que les signes "-" s'annulent. Si on a des positifs et des négatifs, alors on a 0 au milieu, le produit fait 0=1²-1, youpi.

Plus qu'à faire la démo pour les positifs. On prend n>0.

Formule LaTeX : n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n^4+6n^3+11n^2+6n+1

Si c'est le carré de quelque chose, ce sera le carré de (n²+bn+1) avec b entier. Un exemple quelconque donne b=3, et on vérifie que (n²+3n+1)² vaut bien ce qui est ci-dessus, CQFD.

EDIT : J'ai même parfait ma solution depuis :

Formule LaTeX : \begin{align*}<br />n(n+1)(n+2)(n+3) &= \left[ n(n+3) \right] \left[ (n+1)(n+2) \right] \\<br />&= (n^2+3n)(n^2+3n+2) \\<br />&= \left[ (n^2+3n+1)-1 \right] \left[ (n^2+3n+1)+1 \right] \\<br />n(n+1)(n+2)(n+3) &= (n^2+3n+1)^2 - 1 \\<br />\end{align*}<br />


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #14 - 07-08-2009 11:13:12

scrablor
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Messages : 888

produit de 4 ebtiers consécutifs et carré parfait

Soit m la moyenne arithmétique de ces quatre entiers. Cette moyenne est de la forme p/2 où p est un entier impair.
Le produit demandé est donc :
(m-1,5)(m-0,5)(m+0,5)(m+1,5) = (p/2-3/2)(p/2-1/2)(p/2+1/2)(p/2+3/2)
= (p-3)(p+3)(p-1)(p+1)/16
= (p²-9)(p²-1)/16
= (p^4-10p²+9)/16
= [(p²-5)²-16]/16
Puisque p est impair, on pose p=2k+1 d'où p²=4k²+4k+1
Le produit envisagé se transforme en :
[(4k²+4k+1-5)²-16]/16 = [(4k²+4k-4)²-16]/16
= [16(k²+k-1)²-16]/16
= (k²+k-1)²-1
C'est bien un carré d'entier diminué de 1.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #15 - 09-08-2009 20:58:23

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1294
Lieu: Haute-Marne

Produit de 4 enters consécutifs et carré parfait

Posons que le deuxième de ces quatre entiers naturels consécutifs soit a.
Nous devons donc nous pencher sur le produit de : a-1 ; a ; a+1 et a+2

Le produit de ces quatre nombres est :
Formule LaTeX : (a-1) (a+2) a (a+1)<br />(a^2 + a - 2) (a2 + a)

on pose Formule LaTeX : b = a^2+a : Si a est entier, alors b l'est aussi.
Le produit de ces quatre nombres devient :
Formule LaTeX : (b-2)b
Soit Formule LaTeX : b^2 - 2b

Admettons que le résultat soit un carré parfait diminué de 1 : soit Formule LaTeX : x^2-1
donc : Formule LaTeX : b^2-2b=x^2-1

Formule LaTeX : b^2-2b=x^2-1

Je vais maintenant opérer de façon géométrique :
http://www.prise2tete.fr/upload/LeSingeMalicieux-carre_moins_1.PNG

Voilà Formule LaTeX : b^2, et Formule LaTeX : b^2-2b :
On voit bien qu'il manque Formule LaTeX : 1 à Formule LaTeX : b^2-2b pour être un carré !

Excusez ma non conformité mathématique...


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #16 - 10-08-2009 00:56:30

HAMEL
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2405
Lieu: Paris

rPoduit de 4 entiers consécutifs et carré parfait

Essayons de le démontrer:

n*(n+1)*(n+2)*(n+3) = n^4 +6n^3 +11n^2 + 6n

à comparer à

(n*(n+3) +1 )^2 = (n^2+3n+1) ^2= n^4 + 6n^3 +11n^2 +6n +1

CQFD
Le produit de quatre entiers consécutifs est même plus précisément égal au carré du produit du premier et du dernier de ces entiers, augmentés de 1 puis diminué de 1 après carré.

Suis-je clair lol


-C'est curieux chez les marins ce besoin de faire des phrases !

 #17 - 10-08-2009 05:26:10

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2743
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Produit de 4 entiers consécutifs et carrré parfait

Si on part depuis le debut...
si on prend a=le premier nombre de la serie.
le produit des quatre nombre est:
a(a+1)(a+2)(a+3)=
a(a+3) * (a+1)(a+2)=
(a^2+3a) * (a^2+3a+2) =
si on remplace a^2+3a+1 par b, on a:
a(a+1)(a+2)(a+3)= (b-1)(b+1)
on sait que (b-1)(b+1)=b^2-1
donc a(a+1)(a+2)(a+3)= b^2-1


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #18 - 11-08-2009 15:16:45

phil0156
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 286

produit de 4 enriers consécutifs et carré parfait

Bonjour,

2*3*4*5 = 120 = 121-1 = 11^2-1, soit 11= (2*5)+1

7*8*9*10 = 504 = 5041-1 = 71^2-1, soit 71=(7*10)+1

en prenant comme nombres n, n+1, n+2, n+3; le carré donne [[n(n+3)+1]]²

n(n+1)(n+2)(n+3)= n^4+6n³+11n²+6n=(1)

[[n(n+3)+1]]²-1=n^4+6n³+11n²+6n=(2)

Le produit de 4 entiers (naturels ou relatifs) consécutifs est toujours égal à un carré parfait moins 1.

 

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(16) — Le produit de 4 entiers consecutifs augmente de 1 est un carre parfait (16) — Nombres entiers relatifs consecutifs (15) — Produit de 3 entiers consecutifs (14) — La somme de 2009 nombres relatifs strictement negatifs est + quel est leur produit ? (14) — N(n+1)(n+2)(n+3)+1est au carre? (13) — Entier consecutif (13) — Entier relatif consecutif (13) — Soit p le produit de quatre entiers naturels consecutifs (12) — Demontrer que le produit de quatre entiers naturels consecutifs augmente de 1 est le carre d un entier (12) — La somme de trois entiers naturels consecutifs est inferieure ou egale a 12 (12) — Produit 4 entiers consecutif (11) — Entiers relatifs consecutifs (11) — Demontrer que si l entier naturel p est impair la somme de p nombres entiers consecutifs est un multiple de p (10) — La somme de trois entiers naturels consecutifs est inferieur ou egale a 12 (10) — Nombre entier consecutif (10) — Demontrer que la somme 1+3+5+...+99 est le carre d un entier naturel (10) — Demontrer que le produit de quatres entiers naturels consecutifs augmente de 1 est le carre d un entier naturel (10) — Entiers consecutifs (10) — Produit de trois entiers consecutifs (9) — La somme de 2007 nombres entiers strictement negatifs est est leur produit (9) — Produit de quatre par trois (9) — Quatre entiers naturels consecutifs (8) — Produit de 4 entiers (8) — Quels nombres entiers consecutifs donnent 2010 comme somme (8) — 4 entiers naturels consecutifs (8) — 4 nombres consecutifs (8) — Produit de nombre consecutif (8) — Nombre relatif consecutif (8) — 2n+1 carre parfait (n+1) somme carres parfaits (8) — Somme de 4 entiers consecutifs (7) — Le produit de quatre entiers naturels consecutifs (7) — Quel est le produit de quatre par trois (7) — Produit de quatre entiers naturels consecutifs (7) — Produit 3 entiers consecutifs (7) — Produit entier consecutif (7) — Quatre entiers consecutifs (7) — Produit de quatre entiers consecutif (7) — Quatre entier consecutif (7) — Produit quatre entiers consecutifs (7) — Demontrer que le produit de quatres entiers consecutifs (7) — Peut on trouver trois entier naturel consecutifs tels que leur produit soit egal a leur somme (6) — La somme de 4 multiples consecutifs de 7 est egale a 406 (6) — Produit de quatre entiers consecutifs augmente de 1 (6) — P+1 carre parfait (6) — Produit 4 entiers consecutifs (6) — p est le produit de quatre entiers naturels consecutifs (6) — Multiple de 4 consecutif (6) — Demontrer que le produit de quatre entiers naturels (6) — Trouver si possible trois entiers consecutifs tels que le produit du premier et du troisieme soit egal au carre du deuxieme (6) — La somme de 4 nombres entiers consecutifs est 1422 (6) — Produit de n entiers consecutifs (6) — Demontrer que le produit de quatre entiers naturels consecutifs augmente de 1 est le carre d un entier naturel. 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(4) — Que peut-on dire du produit de 3 nombres entiers consecutifs (4) — La somme de trois entiers naturels consecutifs est inferieure ou egale a 12. (4) — Montrer que le.produit de 4 entier consecutif augmente de 1 est le.carre d un entier (4) — X et x+99 carres parfaits (4) — Produit de 4 entiers consecutifs augmente de 1 (4) — Somme de 4 nombres entiers consecutifs (4) — Nombres entiers consecutifs (4) — 6 entiers naturels consecutifs (4) — Montrer que n(n+1)(n+2)(n+3)+1 est un carre parfait (4) — 1 produit de4 entier naturel consecutif egal a 358800 (4) — La somme de cinq entiers consecutifs est toujours egale au produit du troisieme entier par 5 (4) — 4 entier naturel consecutif (4) — Demontrer que le produit de quatre (4) — 4 nombres eniters consecutifs carre parfait (4) — Carre parfait definition (4) — Comment demontree que 2 entiers impairs consecutif est un multiple de 4 (4) — Montrer que le produit de 4 entiers consecutifs augmente de 1 est un carre parfait (4) — Montrer que le produit de 4 entiers naturels consecutifs augmente de 1 est toujours le carre d un entier naturel (4) — Trouver trois nombres entiers consecutifs tels que leur somme soit egale a 261. (4) — P(x)=-3x3+11x²+24x-20 (4) — Le produit de 4 entiers consecutifs (4) — Entier naturel consecutif (4) — Quatre nombres consecutifs (4) — Produits de quatre entiers consecutifs plus 1 (4) — Nombre entier relatif distinct (4) — La somme de 4 nombres impairs consecutifs quelconques est un multiple de 8 (4) — Demontrer que le produit de quatre entiers (4) — Produit de 4 entiers consecutifs 1 (4) — Nombre entier qui suit 20 999 (4) — 5 nombres entiers consecutifs dont la somme des carres des plus petits est egale a la somme des carres des plus grands (4) — Demontrer que le produit de quatre entiers naturels consecutifs augmente de 1 (4) — Montrer que le produit de quatre naturels consecutifs quelconques augment (4) — Carre entier (4) — Le produit de 4 nombres entiers consecutifs + 1 est egal au carre d un n (4) — Produit d entiers consecutifs (4) — Le produit de 4 entiers consecutifs augmente de 1 est toujours un carre parfait (4) — Tous les nombres n tels que le produits des trois consecutifs est un carre parfait (4) — Demontrer que la somme de 1 + 3 + ... + 99 est le carre d un entier naturel (4) — Produit d un nombre entier consecutif augmente de 1 (4) — Les produits par nombre de 2 34 5 (4) — Demontrer quela somme de p entiers consecutifs est toujours un multiple de p (4) — Nombre entiers consecutifs (4) — Somme de 4 multiples consecutifs de 7 egale a 406 (4) — En deduire l entier naturel dont 10*11*12*13+1 est le carre (4) — Nombres consecutifs (4) — Multiple consecutif de 47 (4) — Demontrer que la somme de p nombres entiers consecutifs est toujours un multiple de p (4) — Somme de p entier consecutif (4) — Demontrer que si p est un entier naturel impair la somme de p nombres consecutif est un multiple de p (4) — Faire le produit du plus petit et du plus grand de ces entiers+seconde (4) — Carre parfait entier consecutif (4) — Relatif consecutif (4) — Montrer que le produit de 4 entiers naturels consecutifs augmente de 1 est toujours un carre d un entier naturel (4) — Peut on obtenir un carre parfait si on augmente de 1 le produit de 4 nombre entiers consecutifs (3) — Soit p un entier naturel somme de p toujours multiple de p (3) — Le produit de deux nombres entiers consecutifs est toujours pair (3) — La somme de 4 nombres consecutifs est un multiple de 4 (3) — Trouver si possible trois entiers consecutifs tels que le produit du premier et du troisieme soit egal au carre du deuxieme. (3) — Nombre consecutif (3) — Produit entier naturel consecutif (3) — Demontrer que le produit de 4 nombres consecutifs augmente de 1 est toujours un carre (3) — Deux nombres entiers relatifs dont le produit est 6 (3) — Existe-t-il trois nombre entier impairs consecutifs dont la somme fait 2007 (3) — Je recherche somme de deux nombres consecutifs egal a 57 (3) — Produit trois entiers consecutifs carre (3) — Montrer que a(a+1)(a+2)(a+3)+1= (3) — Soit trois nombres entiers consecutifs. demonter que le produit du plus petit par le grand est egal au carre du troisieme nombre diminue de 1 (3) — Le produit de quatre entiers consecutifs (3) — Quatres entiers consecutifs (3) — Somme de deux carres parfaits (3) — Nombres relatifs consecutifs (3) — Somme de quatres multiples de 7 egale 406 (3) — P est le produit de quatre entiers naturels consecutifs (3) — Le produit de quatre (3) — En deduire que n(n+1)(n+2)(n+3)+1 est un carre parfait (3) — Si n est un entier (n-1)(n+1)+1 est toujours egal au carre d un entier (3) — Demontrer que si p impair la somme de p entiers consecutifs est multiple de p (3) — Trouver cinq entiers naturels consecutifs tels que la somme (3) — Produit de 4 nombre entiers consecutifs avec 3 0 2 4 (3) — La somme de 2007 entiers relatifs negatifs tous deffirent de 0 est egale a -200 (3) — Quatre chiffres consecutifs (3) — Comment trouver quatre nombres consequitifs (3) — Demontrer que le produit de quatre entiers consecutifs augmente de 1 est toujours un carre parfait (3) — Le produit de 4 nombres entiers consecutifs (3) — Nombre consecutif exemple (3) — Produit deux entiers consecutifs multiple de 2 (3) — Demontrer que si p est impair la somme de p nombres consecutifs et un multiple de p (3) — Le produit de quatre entiers consecutifs augmente de un (3) — Quels sont les entiers naturels n tels qu n^4+2n^3+3n^2+1 soit un carre (3) — 4 entiers (3) — Quelle est le produit de quatre par trois (3) — Demontrer que si p est impair la somme de n nombres consecutifs est un multiple de p (3) — Donner deux nombres entiers relatifs dont le produit est 6 (3) — Produit entier consecutifs (3) — Somme de quatre multiple de 7 egale 406 (3) — Trouver cinq nombres entiers consecutifs tels que la somme des carres des deux plus grands soit egale a la somme des carres des trois plus petits . (3) — Prouver que le produit de 4 entiers consecutifs plus 1 est le carre d un entier (3) — Definition d entier consecutif (3) — P+1 est un carre parfait (3) — La somme de 2007 nombres entiers negatifs (3) — 2 5 13 carre parfait (3) — X(x+1)(x+2)(x+3)+1=carre parfait (3) — Demontrer que n(n+1)(n+2)(n+3)+1 est un carre parfait (3) — 4 chiffres consecutifs (3) — Produit 4 (3) — Donner un exemple de deux nombre entiers consecutifs (3) — N(n+1)(n+2)(n+3)+1 (3) — Produit de 4 nombres entiers consecutifs (3) — Produit de 2007 nombres entiers negatifs inferieures 0 2008 (3) — La somme de quatre multiples consecutif de 7 est egale a 406. quels sont ces quatre entiers ? (3) — Demontrer que le carre de cet entier relatif diminue de 1 est aussi un multiple de 5 (3) — Produit 4 entiers consecutifs est un carre (3) — Produit d entier consecutif (3) — Trouver trois entiers relatifs differents dont le produit est - 6 (3) — 2 entiers naturel paire consecutif avec somme egale 2010 (3) — Somme de 4 entiers impairs consecutifs (3) — Trouve trois nombres entiers dont le produit est 504 (3) — Produit de quatre entier consecutifs (3) — Produit de 4 nombre entier consecutif et un carre (3) — En deduire l entier naturel dont 10*11*12*13+& est le carre (3) — 4 entiers consecutif (3) — Produits de quatre entiers (3) — Trouver si possible trois entier consecutif tels que que le produit du premier et du troisieme soit egal au carre du deuxieme (3) — Sommes des carres d entiers consecutifs (3) — Produits de 4 entiers consecutifs (3) — La somme de 2 nombres consecutifs est egal a 57 (3) — Decomposer 12 en produit de 3 nombres relatifs distincts (3) — Quels nombres entiers consecutifs donnent 2010 comme somme ? (3) — 2 nombre relatif consecutif dont le produit est egal a leur somme augmente du premier nombre au carre (3) — Quelque soit le nombre c est toujours un carre (3) — Definition deux entiers consecutifs (3) — Trouver 4 entiers consecutifs d un nombre (3) — La somme de trois entiers naturels consecutifs est inferieur ou egale a 12. (3) — Soit p le produit de quatres entiers naturels consecutifs (3) — Le produit de 3 entier consecutifs +1 est un carre (3) — 1+3+5+...+99 est le carre d un entier naturel (3) — Prouver que le produit de 4entiers consecutifs plus 1 est le carre d un entier (3) — Trouver si possible trois entiers consecutifs tel que le produit du premier et du troisieme soit egal au carre du deuxieme (3) — Parfait je suis entier (3) — P=n(n+1)(n+2)(n+3)+1 carre parfait (3) — La solution de le produit de quatre nombreconsecutif plus un est un carre (3) — Produit de 4 entier consecutifs augmente de 1 (3) — Cinq entiers consecutifs (3) — Somme des carres d entiers consecutifs ex (3) — Quatre entier naturel consecutif (3) — Produit entiers naturels consecutifs (3) — Nombres consecutufs et carre parfait (3) — Demontrer que le produit de quatre entiers naturels consecutifs augmente de 1 est le carre d un entier natuel (3) — Quatre nombres entiers consecutifs (3) — Entier relatif consecutifs (3) — Montrer qu une somme de nombres impairs consecutifs est un carre parfait (3) — Le produit de quatre entiers naturels consecutifs augmente de un est toujours le carre d?un entier naturel. (3) — 2n+1 carre parfait demontrer que n+1 somme de deux carres parfaits (3) — 4 entier consecutif (3) — Quatre nombres entiers consecutifs produit plus petit plus grand (3) — Demontrer 4 nombre consecutif donne resultat pair (3) — Soit quatre entiers consecutifs n; n+1;n+2; n+3 (3) — La somme de quatre entiers consecutifs moins deux est multiple de quatre (3) — Demontre que le t de 4 entier consecutifs augmente de 1 est un caree parfait (3) — La somme de 2009 nombres entiers est egale a (3) — Carrede 4 entiers consecutifs augmente de 1 est un carre parfait (3) — Le produit de 4 par la somme de 7 et de 8 (3) — Demontrer que le produit de 4 entiers consecutifs e (3) — Monter que deux nombres entiers impairs cosecutif est un multiple de 4 (3) — Trouver cinq nombres entiers positifs consecutifs dont la somme des carres des plus petits est a la somme des carres des plusgrands (3) — Ecris 72 comme produit de deux entiers consecutifs (3) — Produit nombres consecutifs (3) — Quel est le produit de 4 (3) — Prouver que la somme de trois nombres consecutifs est un multiple de trois (3) — Demontrer que le produit de quatre entiers naturels consecutifs augmente (3) — Somme de 4 nombre entiers consecutifs (3) — Trouver 5 nombres entiers consecutif tels que la somme des carres des 2 plus grands (3) — Produit de 4 nombres concecutifs (3) — Quesqu un nombre entier consecutif (3) — Monter que le produit de quatre entiers consecutifs augmente de 1 est le carre d un entier (3) — Deux entiers naturels tels que le premier augmente de 12 est egal au second et que celui-ci (3) — Probleme: la somme de 4 entiers consecutifs impairs multiple de 8 (3) — Produit entiers consecutifs carre (3) — Le produit de 4 nombres entiers (3) — Produit de catre entier consecutif ne peut etre carre parfait (3) — Demonter que si p est impair la somme de p nombres consecutif est un miltiple de p (3) — La somme de 2007 nombres entiers strictement negatifs est (3) — Si on multiplie 1 par 3 c est egal au carre de 2 diminue de 1 (3) — Le produit de 4 entiers consecutifs est egal a leur somme (3) — Montrer que p entiers naturels consecutifs est un multiple (3) — Donner 2 nombre entier relatifs dont le priduit est 6 (3) — Trouver trois nombre entiers consecutifs tels que leurs somme soit egale a 261 (3) — Montrer que le produit de 4 entiers consecutifs augmente (2) — Soit p le produit de quatres entiers naturels consecutifs : p=n (2) — Entier consecutifs (2) — Le produit de quatre entiers naturels consecutifs augmente de 1 (2) — Si p est impair la somme de n nombres consecutifs est un multiple de p (2) — Carre de catre entier consecutif (2) — Trouver 5 entier consecutif tels que la somme des carre (2) — Produit de quatre entiers consecutifs plus 1 (2) — Forum sur produit de 2 entier (2) — Sommes de 4 nombres consecutif (2) — Le produit de quatres nombres entiers naturels consecutifs (2) — Nombres relatifs distincts (2) — Le produit de deux entiers consecutifs (2) — Trouver 2 nombres entiers consecutifs dont le produit est egal a leur somme augmentee de 1 (2) — Produit quatre nombres consecutif carre parfait (2) — Le produit de deux nombres consecutifs n est pas un carre (2) — Comment trouver le resultat d un nombre avec des chiffre consecutif (2) — Vrais ou faux ? le produit de 2 entiers negatifs impairs est un entier positif pair. (2) — Demontre que la somme de deux entiers impairs consecutif est un multiple de (2) — Montrer que n (n+1)² = n²+n (n+1) (2) — Lorsque l on augmente de 1 le produit de quatre nombres entiers consecutifs obtient on un carre parfait ? (2) — Le produit des 3 chiffre est impair et la somme des 3 chiifre est un carre (2) — 12 comme un produit de naturels consecutifs (2) — Trouver 5 nombres entiers naturels consecutifs tels que la somme des carres des 2 plus grands soit egale a la somme des carrees des trois autres (2) — Chiffres consecutifs decroissant (2) — Somme des 4 carres (2) — Entiers consecutif tels que leur somme soit egale a 261. (2) — 5 entier relatifs est egale a 12 (2) — Montrer que le produit de quatre entiers naturels consecutifs plus un carree naturels (2) — La somme de 3 entiers naturels consecutifs est inferieure ou egale a 12 (2) — Demontre que la somme de deux entiers impairs consecutifs est un multiple (2) — 4 nombre consecutif (2) — Decomposition d un entier positif en une somme de 4 carree de nombre positif maple (2) — Montre que n(n+1)(n+2)(n+3)+1 est un care parfais (2) — Produit de qutre naturels consecutifs (2) — Quatre nombre entiers consecutifs (2) — Demontrer que le resultat est toujours un carre (2) — Nombre consecutif 4 (2) — Produit d entiers egale carre (2) — Demontrer que le produit de trois entiers naturels consecutifs augmente de 1 est le carre d un entier naturel (2) — Multiplication de 4 nombres successifs + 1 = x au carre a demontrer (2) — 3 entiers consecutifs multiples par 3 (2) — Trouver 5 entiers naturels consecutifs somme carre parfait (2) — Le produit de quatre entiers naturels consecutifs augmente de 1 est le carre d un entier naturel (2) — Que peut t-on dire de 5 entier consecutif (2) — Produit entier impair (2) — Ecrire 12 comme le produit de trois nombres relatifs entiers distincts (2) — Montrez que le produit de quatre entiers naturels consecutifs ne peut pas etre le carre d?un entier (2) — La somme de 2009 nombre entiers strictement negatifs est ? 2010. quel est leur produit (2) — N(n+1)(n+2)(n+3)+1 est un care parfait (2) — Produit de 4 entiers consecutifs augmente de 1 » (2) — Le produit de quatre entiers naturel consecutifs augmente de 1 semble etre un carre parfais ( c est a dire le carre d un nombre entier ) (2) — Produit premiers entiers (2) — N(n+1)(n+2) carre parfait (2) — Somme de quatre multiple consecutifs de 7 est egale a 406 (2) — Suite produits d entiers consecutifs (2) — Le produit de 4 nombre consecutif et un multiple de 6 (2) — Trouver trois nombres consecutifs dont la somme des carres (2) — La somme de 4 nombres entiers naturel different est un prfait carre (2) — 3 nompbres entiers naturelsimpers et consecutifs (2) — Somme de 4 entiers naturels carre (2) — 5 entiers consecutifs tels que la somme des carres des deux plus grands (2) — Produit des entiers consecutifs (2) — Trouver 5 nombres entiers naturels consecutifs tel que la somme des carres des 2plus grands soit egale a la somme des carres des 3 autre (2) — Demontrer produits quatres entiers naturels consecutifs +1 egal au carra (2) — Decomposer un nombre en somme de deux nombres entiers relatifs consecutif (2) — Qu est ce que donne la somme de 4 nombres entiers consecutifs (2) — Entier carre parfait produit de 3 entiers consecutif (2) — Le somme de deux entiers impairs consecutifs est un mutltiple de 4 (2) — Produit de quatres entiers consecutifs plus 1 (2) — Somme de trois nombres consecutifs egale a 261 (2) — Produit de 3 nombres consecutif 6 (2) — Multiple de 8 consecutif (2) — La somme de deux entiers naturels impairs consecutifs est une multiple de 4 (2) — Obtenir un carre parfait en augmentant de 1 le produit de quatre nombres entiers consecutifs (2) — Il existe des nombres entiers dont le carre est egal a la somme de deux autres entiers donner un exemple (2) — La somme de 4 entiers consecutifs est toujours paire (2) — Le produit de quatres entiers consecutifs (2) — Somme de 2 nombres consecutifs (2) — Produit de 4 nombres consecutifs +1 (2) — Trouver les nombres dont le carre diminuer de 4 est egal au nombre augmente de 2 (2) — Trouver si possible trois entiers consecutifs tels que le produit du premier et troisieme soit egal au carre du deuxieme (2) — 2 entiers consecutifs (2) — Nombres entiers relatifs dont le produit est 6 (2) — Multiples consecutifs de 47 (2) — Faire le produit d un nombre entier consecutif (2) — La somme des carres de 3 entiers consecutifs est (2) — Entiers naturels consecutifs (2) — Demontrer que si p est impaire la somme de p nombres consequtifs est un multiple de p (2) — Trouve 4 entiers impairs consecutifs dont la somme vaut 120 (2) — Comment demontrer que la somme des carres de deux nombres impairs consecutifs quelquonque donne un nombre pairs (2) — 2 entiers naturels impairs consecutifs (2) — Mathematique care 4*4 produits (2) — Quesque le produit de 204 par 2 (2) — Demontrer que si p est impair la somme de p nombres consecutifs (2) — Somme de quatre entiers consecutifs (2) — Produit de 3 entier consecutif (2) — Soit p un entier naturel impair.demontrer que la somme de p nombres entiers consecutifs est toujours un multiple de p.le resu (2) — Comment determiner 3 nombre entier naturel consecutif dont le produit vaut 24 (2) — Demonstration du produit des carres (2) — La somme de 2 nombres impaires consecutifs est toujours multiple de 4 (2) — Quesque un nombre consecutif (2) — Ecrire 12 comme le produit de trois nombres relatifs entiers distintc (2) — Produit de quatre entiers consecutifs n n+1 n+2 et n+3 (2) — Un carre parfait n²+3n+1 (2) — Nombres relatifs entiers consecutifs (2) — Pour tout entier naturel n on pose u(n)=2n^3+11n²+18n+8 (2) — Trouver 4 entiers naturels abc et d distincts tels que 1/a+1/b+1/c+1/d=1 (2) — Carrees d entiers positifs consecutifs (2) — Carres parfaits definition (2) — Le produit de 4 entiers consecutifs uagmente de 1 (2) — N(n+1) (n+2) (n+3)+1 carre parfait (2) — Existe-t-il 3 entiers consecutif dont la somme est 2007 ? (2) — 358000 est un produit de 4 produits consecutifs (2) — Les nombres entiers consecutifs seconde (2) — La somme de 2010 nombres entiers strictement negatifs est -2011. quel est leur produit (2) — Si p est entier naturel impair (2) — Un carre plus que parfais comment trouver la solution (2) — Demontre que la somme de deux nombre entiers impairs consecutif est un mutilple de 4 (2) — Toujour trouver 4 (2) — Multiple consecutif de 7 (2) — P est le produit de quatres entiers naturels consecutifs (2) — Demontre que la somme des carres de deux nombres impairs consecutif quelconque est un nombre pair (2) — Nombre entiers relatifs consecutifs (2) — Produit de 4 entiers inferieurs (2) — Demontre que la somme de deux entiers impairs consecutifs est un multiple de 4 (2) — Chercher 2009 nombre entiers et strictement negative a 2010 (2) — Somme des 5 plus grands entiers negatifs impairs (2) — La somme de n entiers consecutifs est elle un multiple de n (2) — Somme de deux entiers impairs consecutifs (2) — Trouver si possible deux entiers positifs distincts a et b tels que : (2) — La somme de deux nombres impairs consecutifs est un multiple de 4 (2) — Quatres multiples de 7 egale a 406 (2) — Exemple+de+4+chiffres+cons%c3%a9cutifs (2) — Trouver 5 entiers consecutifs (2) — Trois entiers consecutifs de 99 (2) — La somme du produit de 4 par 5 et de 12 (2) — Liste des carres parfait dont les 4 premiers chiffres sont des entiers consecutifs (2) — Trouver cinq entiers consecutifs (2) — Produit de trois nombres entier consecutif (2) — La somme de trois entiers consecutif est inferieur ou egal a 120 (2) — Le produit de trois entiers consecutifs augmente du nombre du milieu est un cube parfait (2) — A(a+1)(a+2)(a+3)+1 (2) — La somme de 4 entier +1 et egale au carre d un des antier (2) — Montrer que le produit de 4 entiers naturels augmentes de 1 est le carre (2) — La somme de 2011 nombres entiers negatifs est egale a -2012 quel est le produit (2) — Regle mathematique entiers consecutifs (2) — Ecrire 12 comme produit de 3 entier (2) — Trouver trois entiers consecutifs tels que le produit du premier et du troisieme soit egal au carre du deuxieme (2) — Le produit de 4 entiers naturels augmente de 1 (2) — Lorsqu on augmente de 1 le produit de 4 nombres entiers consecutifs obtient-on un carre parfait? (2) — Si n+1 est un carre d entier alors n+1 est la somme de deux carres (2) — Les nombres consecutifsplus petit ou (2) — Demontrer que le produit de quatre entier naturels consecutif augmenter de 1 (2) — Entier relatifs consecutifs (2) — Math carre parfait 4° negatifs (2) — La somme de trois entier naturel consecutif est inferieur ou egale a 12 (2) — Nombre entier relatif consecutifs (2) — Nombres entiers consecutifs d un produit (2) — Enigme somme de quatre nombres consecutifs = 110 (2) — Demontrer que si p est impair la somme de p entiers consecutifs est un multiple de p (2) — Le produit de 4 entiers consecutifs augmente de 1 (2) — Quatre multiples consecutifs de 47 (2) — Il semble que le produit de quatre entier consecutif augmente de 1 (2) — Soit n un nombre de 4 entiers consecutifs. montrer que n-2 est un multiple de 4 (2) — Demontrer produits de 4 entiers consecutifs (2) — La somme de quatre entiers consecutifs augmente de 1 est le carre d un entier naturel (2) — Lorsque l on augmente de 1 le produit de 4 nombre entiers consecutifs obtient t-on un carre parfait (2) — Obtenir un carre parfait avec la somme de 4 entiers consecutifs (2) — Comment trois entiers consecutifs dont le produit est egale a la somme (2) — Existe-t-il deux nombres entiers naturels consecutifs dont la somme des carres est egale a ou k est un entier naturel donne ? (2) — 2p+1 carre parfait (2) — Soit p un nombre entier naturel impair. montrer que la somme de p entiers n (2) — Comment prouver que la somme de 1 et du produit de quatres entiers naturels consecutifs est un carre parfait (2) — Nombre entier consecutif definition (2) — Le carre de 4 nombres consecutifs (2) — Demontrer que si p est impair la somme de p nombres consecutifs est un multiple de p (2) — La somme de trois entiers consecutif est iferieur ou egale a 12 (2) — Mathematiques carre parfait (2) — P est le produit de 4 entiers naturels consecutifs. demontrer que p+1 est un carre parfait (2) — L entier naturel x est tel que x et x+99 sont carres parfaits (2) — Multiplication 4 entiers consecutifs (2) — Un entier naturel n est compose de trois chiffres dont le produit est 120 et la somme 16 (2) — Produit de nombre entier successif (2) — Produit consecutifs de 4 nombres augmente de 1 carre parfait (2) — Somme de n produit de trois entiers consecutifs (2) — Multiples consecutifs (2) — Le produit de 4 chiffres consecutifs (2) — Trouver produit entier anturels consecutifs (2) — Comment trouver 3 somme consecutif d un produit (2) — 3024 est le produit de 4 nombres entiers consecutifs (2) — Le produit de quatre entiers naturels consecutifs augmentes de 1 et egale a un carre parfait (2) — N n+1 carre parfait (2) — Produit du carre de 4 (2) — 4 multiples consecutifs de 47 (2) — Quatre nombre entier relatif et consecutif (2) — Produit 4 entiers consecutifs augmentes de 1 carre parfait (2) — Trouver un carre parfait (2) — Demontrer que la somme de trois nombres entier consecutifs quelconque est un multiples de 3 (2) — 48 est le produit de 4 (2) — La somme de 2011 nombres entiers relatifs negatifs (2) — Produit par 4 (2) — 5 entier consecutif au carre (2) — Le produit de quatre nombres entiers (2) — Montrer que la somme de p entiers naturels consecutifs est un multiple de p (2) —

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