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 #1 - 16-04-2020 20:56:05

Faker
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 12
Messages : 6

Les masions de Ramanujan

Enigme posée à Ramanujan qu'il résolu de tete en partant dans les fractions infinies.

Imagine une rue avec entre 50 et 500 maisons toute numérotées entre 1 et n avec n le numéro de la dernière maison.
Dans quelle maison habite-tu en sachant que la somme des numéros de toutes les maisons précédant la tienne doit être égale à la somme des numéros de toutes les maisons suivante à la tienne ? Combien y a-t-il de maisons dans la rue alors?

(On notera n le nombre total, m la maison de Ramanujan et on donnera la solution sous la forme m(x), n(y).)


 
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 #2 - 16-04-2020 22:33:31

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 398

Lse maisons de Ramanujan

Bonjour,

m(m-1)/2 = n(n+1)/2 + m(m+1)/2
soit m^2 = n(n+1)/2
On cherche donc un nombre triangulaire qui soit carré...
Comme n et n+1 ne partagent aucun facteur premier en commun, on en déduit donc que tout leur facteurs premiers doivent avoir un exposant pair, excepté l'un d'eux qui a un exposant impair pour 2.

Ainsi, l'un des deux est un carré, et l'autre le double d'un carré (ou la moitié, c'est pareil)

Soient p^2 et q^2 ces deux carrés.
On a donc 2p^2 = q^2 +/- 1. (on peut montrer que les deux cas sont équivalents et même trouver un changement de variable qui donne juste cette équation)
C'est une équation de Pell Fermat. La résolution est assez compliquée et peut effectivement être résolue à l'aide des fractions continues. Je ne la détaille pas.
Le seul n entre 50 et 500 tel que n(n+1)/2 soit un carré est n = 288, et on a alors m = 204.

Merci pour cette belle énigme.

 #3 - 17-04-2020 10:43:21

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 289

Les maiisons de Ramanujan

salut,

a étant le nombre de maisons après celle de Ramanujan , et m le numéro de la maison de ce dernier ,  a et m ( avec n > 50 ) sont solutions de l'équation :
[TeX]m^2 - (2a + 1).m - a.(a+1) = 0[/TeX][TeX]\Delta = 8a^2 + 8a + 1[/TeX]
est un carré parfait avec a = 84  .

m = 204  &  a = 84 ; donc n = 288

 #4 - 17-04-2020 15:10:18

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3801

les maisons de ralanujan

Il habite au 204 de la rue qui se termine au 288.

 #5 - 17-04-2020 17:34:14

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3097
Lieu: Luxembourg

Les amisons de Ramanujan

m = numéro de la maison de Ramanujan
Somme avant = m.(m-1)/2
Somme après = n.(n-1)/2 - m.(m-1)/2 – m
Egalité des sommes => m.(m-1)/2 = n.(n-1)/2 - m.(m-1)/2 – m
Simplification => n.(n+1) = 2.m² soit (2.n+1)² - 2.(2m)² - 1 = 0
En posant n = (y – 1) / 2 et m = x/2, on a une équation diophantienne de PELL
y² - 2.x² - 1 = 0
Les solutions en x et y sont les écritures successives de la fraction continue de
V2 = y/x = 1+1/(2+1/(2+1/(2+1/…..))) qui sont:
3/2; 7/5; 17/12; 41/29; 99/70; 239/169; 577/408; 1393/985; 3363/2378; etc
x doit être pair et compris entre 100 et 1000, d’où x=408; y=577; m=204 et n=288
Mais ‘’204(408), 288(577)" n’est pas validé !!! Où est mon erreur ?

 #6 - 05-05-2020 16:44:42

kobalt1954
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 8

eLs maisons de Ramanujan

204-288

 

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