Enigme Les maisons de Ramanujan @ Prise2Tete

Faker · #1

Enigme posée à Ramanujan qu'il résolu de tete en partant dans les fractions infinies.

Imagine une rue avec entre 50 et 500 maisons toute numérotées entre 1 et n avec n le numéro de la dernière maison.
Dans quelle maison habite-tu en sachant que la somme des numéros de toutes les maisons précédant la tienne doit être égale à la somme des numéros de toutes les maisons suivante à la tienne ? Combien y a-t-il de maisons dans la rue alors?

(On notera n le nombre total, m la maison de Ramanujan et on donnera la solution sous la forme m(x), n(y).)

caduk · #2

Bonjour,

m(m-1)/2 = n(n+1)/2 + m(m+1)/2
soit m^2 = n(n+1)/2
On cherche donc un nombre triangulaire qui soit carré...
Comme n et n+1 ne partagent aucun facteur premier en commun, on en déduit donc que tout leur facteurs premiers doivent avoir un exposant pair, excepté l'un d'eux qui a un exposant impair pour 2.

Ainsi, l'un des deux est un carré, et l'autre le double d'un carré (ou la moitié, c'est pareil)

Soient p^2 et q^2 ces deux carrés.
On a donc 2p^2 = q^2 +/- 1. (on peut montrer que les deux cas sont équivalents et même trouver un changement de variable qui donne juste cette équation)
C'est une équation de Pell Fermat. La résolution est assez compliquée et peut effectivement être résolue à l'aide des fractions continues. Je ne la détaille pas.
Le seul n entre 50 et 500 tel que n(n+1)/2 soit un carré est n = 288, et on a alors m = 204.

Merci pour cette belle énigme.

unecoudée · #3

salut,

a étant le nombre de maisons après celle de Ramanujan , et m le numéro de la maison de ce dernier , a et m ( avec n > 50 ) sont solutions de l'équation :
[TeX]m^2 - (2a + 1).m - a.(a+1) = 0[/TeX][TeX]\Delta = 8a^2 + 8a + 1[/TeX]
est un carré parfait avec a = 84 .

m = 204 & a = 84 ; donc n = 288

nodgim · #4

Il habite au 204 de la rue qui se termine au 288.

Franky1103 · #5

m = numéro de la maison de Ramanujan
Somme avant = m.(m-1)/2
Somme après = n.(n-1)/2 - m.(m-1)/2 – m
Egalité des sommes => m.(m-1)/2 = n.(n-1)/2 - m.(m-1)/2 – m
Simplification => n.(n+1) = 2.m² soit (2.n+1)² - 2.(2m)² - 1 = 0
En posant n = (y – 1) / 2 et m = x/2, on a une équation diophantienne de PELL
y² - 2.x² - 1 = 0
Les solutions en x et y sont les écritures successives de la fraction continue de
V2 = y/x = 1+1/(2+1/(2+1/(2+1/…..))) qui sont:
3/2; 7/5; 17/12; 41/29; 99/70; 239/169; 577/408; 1393/985; 3363/2378; etc
x doit être pair et compris entre 100 et 1000, d’où x=408; y=577; m=204 et n=288
Mais ‘’204(408), 288(577)" n’est pas validé !!! Où est mon erreur ?

kobalt1954 · #6

204-288

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