Bonjour,
Voici ce que j'obtiens, par bricolage :

"ir  2" =                2 = 2
"ir  4" =               10 = 2*5
"ir  6" =              170 = 2*5*17
"ir 10" =             6290 = 2*5*17*37
"ir 14" =           635290 = 2*5*17*37*101
"ir 16" =        125152130 = 2*5*17*37*101*197
"ir 20" =      32164097410 = 2*5*17*37*101*197*257
"ir 24" =   12897803061410 = 2*5*17*37*101*197*257*401
"ir 26" = 7442032366433570 = 2*5*17*37*101*197*257*401*577

En posant k0=1, chaque "ir k" est égal à :
produit( (ki^2 + 1) ) pour 0 ≤ i ≤ k-1.

nodgim a écrit:

je n'en suis pas sûr...

Moi non plus…

J'ai fait un calcul exhaustif jusqu'à "ir 16". Au-delà, je ne sais pas si les nombres trouvés en #3 sont les plus petits.

nofgim #8 a écrit:

Pourquoi ir 16 ? Tu as donné les nombres jusqu'à ir 26.

En effet, j'ai calculé tous les nombres de 1 à 125152130 (C'est le plus petit "ir 16").
Au-delà, j'ai vérifié par exemple que 32164097410 était bien "ir 20", mais il pourrait y en avoir un plus petit.

OK Ebichu, c'est bon pour toi également,bravo !

Tu as vu que la réponse était assez simple, mais il fallait reprendre le problème sous un autre angle.

La question subsidiaire n'a pas en effet de réponse simple, c'était en quel que sorte un piège, dans lequel Enigmatus est tombé, et de peu !   

Comme je ne pourrai pas donner la réponse au bout du temps imparti, j'anticipe en la donnant maintenant.

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Soit N/D = (b-a) / (1 + ab) avec 1 <= a < b entiers. Pour un N donné, on dit que N est " ir k " si la fraction N / D est irréductible seulement au k-ième plus petit D.

Exemple N = 10

10 / (1 + 1 * 11) = 10 / 12 réductible
10 / (1 + 2 * 12) = 10 / 25 réductible
10 / (1 + 3 * 13) = 10 / 40 réductible
10 / (1 + 4 * 14) = 10 / 57 irréductible

10 est donc  " ir 4 " Trouver le plus petit N  " ir 20 ".

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Soit p, un facteur commun à N et D.
On a N = b - a = 0 modulo p, donc b = a modulo p, donc D = 1 + ab = 1 + a² modulo p.

On a donc un facteur commun si 1 + a² divise N. Autrement dit, tant que N possède au moins un facteur premier dans la suite des 1 + a² successifs (1 + 1², 1+ 2², ...), la fraction sera réductible. 
Il suffit donc d'attribuer à N le plus petit facteur premier nouveau de chaque 1+ a² .


Suite des 1+ a² et leur décomposition :

1: 2 ------------> ici on donne à N la valeur 2 (c'est le plus petit nombre pair). N sera irréductible au rang suivant, soit 2. 2 est donc ir 2. 
2: 5 ------------> ici, si on veut aller plus loin, on doit donner à N le facteur 5, soit 2 * 5 = 10. 10 est réductible au rang 3, mais pas au rang 4. 10 est ir 4. 
3: 10 = 2 * 5
4: 17------------------> si N = 2 * 5 * 17, il est ir 6
5: 26 = 2 * 13
6: 37 ------------------> si N = 2 * 5 * 17 * 37, il est ir 10
7: 50 = 2 * 5 * 5
8: 65 = 5 * 13
9 : 82 = 2 * 41
10: 101  ------------------> si N = 2 * 5 * 17 * 37 * 101, il est ir 14
11: 122 = 2 * 61
12: 145 = 5 * 29
13: 170 = 2 * 5 * 17
14: 197 ------------------> si N = 2 * 5 * 17 * 37 * 101 * 197, il est ir 16
15: 226 = 2 * 113
16: 257  ------------------> si N = 2 * 5 * 17 * 37 * 101 * 197 * 257 , il est ir 20
17: 290 = 2 * 5 * 29
18: 325 = 5 * 5 * 13
19 :362 = 2 * 181
20: 401

Attention : il se trouve que les nombres 1 + a² qui ont des facteurs premiers inconnus du N précédent sont tous premiers dans cette liste. Ce n'est pas toujours vrai. Pour a = 34, 1 + 34² = 13 * 89, avec 13 et 89 qui sont inconnus du N précédent. Pour trouver le plus petit N suivant, il faut le multiplier par 13 ( qui donnera ir 34 ) et non par 13 * 89.