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 #1 - 20-02-2010 20:55:47

salehseghiri
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 40

Mutliple de 59

déterminer les deux entiers m,n qui vérifient :
[TeX]{\mathit{{\color{blue} 59*m=\underset{\underbrace{n fois }}{2222222...222}}}}[/TeX]



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 #2 - 20-02-2010 22:27:12

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

Multipl ede 59

J'ai écrit un programme javascript sans trop réfléchir :

Code:

function str_repeat(str,i) {
 return new Array(i+1).join(str); 
}
for(n=1;n<100;n++){
 x=new BigInt(str_repeat('2',n));
 if (bigint_mod(x,59)==0) document.write('m='+bigint_div(x,59)+', n='+n);
}

Résultat : m=37664783427495291902071563088512241054613935969868173258, n=58

Evidemment, les autres multiples de 58 fonctionnent.

 #3 - 20-02-2010 22:48:54

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

multiple fe 59

je trouve que :
59*37664783427495291902071563088512241054613935969868173258 =
2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #4 - 21-02-2010 02:56:42

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

lultiple de 59

m ~ 3,7664... 10^55
n=58

Pour trouver, c'est bourrin !
Le chiffre des unités de m doit être 8 pour que m * 9 ait 2 comme chiffre des unités et on réitère joyeusement... (merci excel !).

 #5 - 21-02-2010 12:07:32

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

MMultiple de 59

m=37664783427495291902071593088512241054613935969868173258
n = 59

 #6 - 21-02-2010 13:05:13

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Mltiple de 59

Alors... Il faut que m se termine par 8 pour que le résultat du produit se termine par un 2. 59 x 8 = 472, on doit donc ajouter 5 au chiffre des dizaines, et donc m se termine par 58. 59 x 58 = 3422, etc :

59 x 8 = 472
59 x 58 = 3422 (4+8=12, 59 x 2 se termine par 8)
59 x 258 = 15222 (5+7=12, 59 x 3 se termine par 7)
59 x 3258 = 192222 (...)
59 x 73258 = 4322222
59 x 173258 = 10222222
59 x 8173258 = 482222222
59 x 68173258 = 4022222222
59 x 868173258 = 51222222222
59 x 9868173258 = 582222222222
59 x 69868173258 = 4122222222222
59 x 969868173258 = 57222222222222
59 x 5969868173258 = 352222222222222
59 x 35969868173258 = 2122222222222222
59 x 935969868173258 = 55222222222222222
59 x 3935969868173258 = 232222222222222222
59 x 13935969868173258 = 822222222222222222
59 x 613935969868173258 = 3622222222222222222
59 x 4613935969868173258 = 27222222222222222222
59 x 54613935969868173258 = 322222222222222222222
59 x 1054613935969868173258 = 62222222222222222222222

...et on y arrive un jour ? lol Arf, je m'acharne, et voilà :

m = 37664783427495291902071563088512241054613935969868173258
n = 58


Du coup, ce sont les plus petites valeurs de m et n, non ?


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 #7 - 22-02-2010 12:31:10

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1433

Multiple d 59

Mis à part (0;0) qui marche très bien smile
Comme [latex]\forall n \in [0;57], 10^n \equiv a [59][/latex] avec a qui parcours l'ensemble [1;58] entièrement (quoique dans un ordre différent) , alors [latex]\sum_{n=0}^{57}10^n \equiv \sum_{n=1}^{58}n [59][/latex], donc [latex]\sum_{n=0}^{57}10^n \equiv 0 [59][/latex]
Par conséquent, n = 57 et [latex]m = \frac{2*\sum_{n=0}^{57}10^n}{59}[/latex]

 #8 - 22-02-2010 13:29:25

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 933

Multipple de 59

Le petit théorème de Fermat a écrit:

Si a est un entier non divisible par le nombre premier p, alors a^(p-1)-1 est divisible par p.

10 n'est pas divisible par le nombre premier 59, alors 10^58-1 est divisible par 59.
Ce nombre s'écrit 999...999 avec 58 chiffres 9.
59 et 9 sont premiers entre eux, donc 111...111 est aussi divisible par 59, tout comme son double 222...222 avec n=58 chiffres 2.
Ce qui donne évidemment :
m=37664783427495291902071563088512241054613935969868173258

Les valeurs n multiples de 58 conviennent aussi : la solution n'est pas unique lol


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #9 - 23-02-2010 07:22:13

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1747

uMltiple de 59

Bonjour

Invention de l'eau tiède :
k * 9 = (k-1)*10 + (10-k)

intéressant par exemple 8*9 = 72 et 2 est égal à 10-8 !
magique !

Passons aux choses sérieuses :

Première itération pour avoir un chiffre des unités égal à 2:  8 x 59 = 472

8 x 59 = 472
On veut un 2 à la place du 7 à la prochaine itération
Donc il manque 5
Donc le chiffre des dizaines du multiplicateur suivant est un 5

58 x 59 = 3 422
On veut un 2 à la place du 4 à la prochaine itération
Donc il manque 8
Donc le chiffre des centaines du multiplicateur suivant est un 2

258 x 59 = 15 222
On veut un 2 à la place du 5 à la prochaine itération
Donc il manque 7
Donc le chiffre des milliers du multiplicateur suivant est un 3

......

On arrive (avec quelques subtilités dues aux zéros à intercaler) à :
m = 37664783427495291902071563088512241054613935969868173258
pour écrire 222222....22222 avec n = 58 chiffres


Tiens tiens !
58 = 59 - 1
(et 59 est premier, et termine par 9 ...)
Y aurait-il une congruence là-dessous ?
A creuser ....

Nicolas


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #10 - 23-02-2010 08:49:52

schaff60
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 175

Multiiple de 59

n=58
m=37 664 783 427 495 291 902 071 563 088 512 241 054 613 935 969 868 173 258


Un truisme inepte, chamarré d'une phraséologie spécieuse, se diapre subséquemment des apparats d'un apophtegme

 #11 - 23-02-2010 16:54:52

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2126

multuple de 59

1°) D'après le -petit- théorème de Fermat
[TeX] (10^{58} -1) \equiv 0 \bmod 59

donc

(10^{58}-1) = 59*m_1
[/TeX]
2°) [latex]10^{58}-1[/latex] s'écrit avec 58 "9" successifs, et est donc trivialement divisible par 9, donc [latex]m_1[/latex] l'est aussi.

On pose [latex]m_2[/latex] tel que:
[TeX]m_1 = 9*m_2 [/TeX]
Donc avec n = 58 et m=[latex]2*m_2[/latex], le tour est joué.


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #12 - 23-02-2010 18:26:19

perceval
Chevalier de P2T
Enigmes résolues : 48
Messages : 723
Lieu: 37

multipke de 59

Tout ce que je peux dire c'est que si une solution existe m se termine par un 8


When i was a child i was a jedi

 #13 - 24-02-2010 23:49:09

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Mltiple de 59

Et moi, tout ce que je peux dire, c'est que je n'ai compris que le raisonnement de EfCeBa.
Je n'ai pas bien compris le "évidemment" de Scrablor lol

 #14 - 24-02-2010 23:53:16

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 933

Multiple dee 59

Mon "évidemment" vient du fait que si je connais le nombre de droite, je peux trouver m en divisant par 59. Rassure-toi, je ne l'ai pas fait à la main lol lol


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #15 - 24-02-2010 23:54:55

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Multilpe de 59

Scarta, Papiauche et Scrablor ont fait du joli travail. Passer par le petit de Fermat était une excellente idée ; quant aux congruences modulo 59 des puissances de 10... Ouah. Ce mec est un ordinateur lol

@Nombrilist : un peu de lèche-cul ne fait pas de mal, je le sais bien, mais... où est-ce qu'EfCeBa a posé un raisonnement ? Il a écrit deux lignes de Javascript lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #16 - 25-02-2010 08:13:34

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1433

Mulitple de 59

MthS-MlndN a écrit:

Ce mec est un ordinateur

Meme pas, j'ai pas tout calculé (ni à la main, ni de tête, ni même à l'ordi)
Simple application du fait que Z/59Z est un anneau / groupe cylcique d'exposant 58 (corollaire du th. de Lagrange)

 #17 - 25-02-2010 12:33:44

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

multiple dz 59

Mdr Mathias ! C'est juste que je voulais dire de façon imagée que je suivais bien l'algorithme rédigé par EfCeBa. Mais pas le raisonnement des autres personnes. Le Théorême de Fermat, connais pas. Et encore moins les anneaux et autres trucs bizarres.

 #18 - 25-02-2010 13:46:32

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Mlutiple de 59

scarta a écrit:

MthS-MlndN a écrit:

Ce mec est un ordinateur

Meme pas, j'ai pas tout calculé (ni à la main, ni de tête, ni même à l'ordi)
Simple application du fait que Z/59Z est un anneau / groupe cylcique d'exposant 58 (corollaire du th. de Lagrange)

OK, on y a réfléchi pendant 10 minutes avec un collègue, pour arriver à la conclusion que tu déboîtes. Chapeau bas !


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #19 - 25-02-2010 14:23:16

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2126

mumtiple de 59

Juste pour le fun d'une grosse formule Latex lol, la solution générale est (si je ne me suis pas gouré):
[TeX]m = \frac{2*\sum_{i=0}^{57}10^i*\sum_{j=0}^{+\infty}a_j*10^{58j}}{59}[/TeX]
avec
[TeX]\forall j, a_j \in \{0,1\}[/TeX]


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #20 - 25-02-2010 14:40:33

perceval
Chevalier de P2T
Enigmes résolues : 48
Messages : 723
Lieu: 37

Multipple de 59

A quoi correspond le terme supplementaire à la formule de scarta?


When i was a child i was a jedi

 #21 - 25-02-2010 14:41:41

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Multipel de 59

Au fait qu'on peut écrire 222...222 (58 fois) comme un multiple de 59, mais aussi 222....222 (2x58 fois), 222....222 (3x58 fois, etc.)

Ce qui modifie un peu la formule de Papiauche :
[TeX]m = \frac{2 \times \sum_{i=0}^{57}10^i \times \sum_{j=0}^{k}10^{58j}} {59}[/TeX]
avec [latex]k \in \mathbb{N}[/latex].

Celle que Papiauche avait écrite donnait des nombres qui étaient faits de suites de 222...222 (58 fois) et de 000...000 (58 fois) concaténées, alors qu'on ne veut que des 222....222 smile

On peut aussi faire une partie des calculs en avance :
[TeX]m = 37664783427495291902071563088512241054613935969868173258 \times \sum_{j=0}^{k}10^{58j}[/TeX]
lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #22 - 25-02-2010 14:47:36

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2126

muktiple de 59

Je viens de me rendre compte que les zéros c'est idiot lol

Merci Mathias.


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #23 - 25-02-2010 14:51:58

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Multiple de 5

De rien, Votre Seigneurie.


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