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 #1 - 19-06-2024 09:23:39

Spirou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 484

Hppy Birthday

Bonjour à tous! big_smile

Aujourd'hui c'est mon anniversaire, et pour fêter ca, j'aimerais placer des bougies sur mon gâteau! Mais j'ai une règle très précise: Il faut que la plus petite distance entre deux bougies ne soit pas trois fois plus petite que la plus grande distance séparant deux bougies. Autrement dit, si [latex]d[/latex] désigne la distance minimale séparant deux bougies et [latex]D[/latex] la distance maximale, je dois avoir [latex] D \leq 3d.[/latex]
Combien de bougies puis-je alors placer?

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 #2 - 19-06-2024 10:36:24

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,418E+3

happy borthday

Bonjour

12 à l'air de passer mais on est tellement proche du D=3d qu'il faut vérifier par le calcul smile

Vasimolo

 #3 - 19-06-2024 18:36:12

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,932E+3

happy burthday

J'en mettrais 12, sans certitude.
https://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-12pts.png

 #4 - 19-06-2024 18:55:51

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,418E+3

Happy Birthda

Il est clair qu'on peut mettre 12 bougies . Je n'ai pas encore essayé 13 smile

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-bougies12.png

Vasimolo

 #5 - 20-06-2024 09:39:02

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,418E+3

Happy Birrthday

Une meilleure configuration avec 13 disques est constituée de 10 disques sur la périphérie plus trois disques à l'intérieur de cette couronne . Mais alors D/d=1/sin(18°) > 3 . Le maximum est bien 12 .

Vasimolo

 #6 - 22-06-2024 00:30:02

Migou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 477
Lieu: Ville 2/N près 2*i

Happyy Birthday

Salut Spirou, et merci pour cette énigme motivante. Elle nous a valu de remplir une bonne moitié de tableau blanc avec un collègue de bureau pendant la pause déjeuner smile et même un peu après je dois dire.

On a trouvé 12 bougies, avec d'une part, une forme à base de triangles équilatéraux déposés comme cela :

Code:

  x x
 x x x
x x x x
 x x x

Je pense que beaucoup de gens vont suivre cette piste, mais voici peut être un peu plus original, en se basant sur un cercle.

http://www.prise2tete.fr/upload/Migou-Gateau_anniversaire.png

construction
A partir d'un cercle de rayon quelconque r et de centre O.
Placer de façon régulière 9 points A à I sur le pourtour du cercle. Les angles AOB, BOC, etc. font chacun 40°.
La plus longue distrance entre deux points est D = AE

Soit d = D/3, plaçons trois points J K et L comme montré sur le dessin, à une distance d de respectivement A et B, D et E, G et H.

mini-preuve

Une petite formule qui va beaucoup servir. Soit un triangle isocèle de côté r, dont les côtés de même longueur forment un angle [latex]\alpha[/latex],  alors le coté opposé a pour longueur [latex]2r.sin(\alpha / 2)[/latex]

L'angle AOE vaut 160° d'où D = 2r.sin(160/2) = 2r.sin(80) = 1,969616
d'où d = 0,656539r

Reste à vérifier que les autres distances sont bien comprises entre d et D, en particulier d1 et d2.

d1 = 2r.sin(40/2) = 0,68404 r > d

Quant à d2, on remarque que A-J-K-E forme un chemin de A à E donc la somme des distances AJ + JK + KE >= AE
soit encore : d + d2 + d >= D
or D = 3d, d'où d+d2+d >= 3d d'où d2 >= d

Les autres mesures semblent sans conteste comprises entre d et D.

une dernière réflexion

Au final, les deux solutions sont assez proches, dans le cercle, les points DKLH par exemple sont presque alignés, et on peut plus ou moins les superposer à la ligne "x x x x"  de la première solution.

 #7 - 22-06-2024 12:18:12

Migou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 477
Lieu: Ville 2/N près 2*i

happy birthfay

Du coup, en partant de ma solution précédente, j'ai eu envie de tasser les points du côté droit.

avec alpha l'angle AOB = BOC =...= HOI

On constate que pour alpha=36°, F sera diamétralement opposé à A, AF=D, et dans ce cas, la contrainte n'est plus respectées car

d1 = 2r sin(36/2) = 2r.0,309017

et D = 2r

d'où D > 3.d1, c'est donc cuit.

Par continuité, il existe donc un point optimal tel que D=3d, situé entre alpha=40 et alpha=36.

cherchons ce point. Il s'agit de trouver D(alpha)/d(alpha)=3

avec d(alpha) = 2r sin(alpha/2)
et D(alpha) = 2r sin((360-5alpha)/2) = 2r sin(5alpha/2)

un appel à wolfram alpha donne une solution alpha=38,6683

on obtient alors un dernier angle IOA = 50,6536

vraisemblablement pas de quoi caser une 13e bougie, mais bon, qui ne tente rien n'a rien yikes)

 #8 - 23-06-2024 20:52:43

aunryz
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 815
Lieu: Nicastro / Tronville

hapoy birthday

Je pense qu'on peut faire mieux (mais je n'ai pas eu de réponse de Spirou à propos de cette option)
si son gâteau est une pièce montée.


Lélio Lacaille

 #9 - 23-06-2024 23:36:43

Migou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 477
Lieu: Ville 2/N près 2*i

Happ Birthday

coucou aunryz, je pense que le problème était clairement sur gâteau plat.

Mais du coup sur pièce m9ntee, ca donne quoi ?

 #10 - 25-06-2024 13:32:13

Migou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 477
Lieu: Ville 2/N près 2*i

hzppy birthday

@aunryz Intéressant le deuxième niveau, ca pourait passer.

On pourrait aussi ajouter des étages en dessous en creusant le gâteau :-) mais ca commence à être abusé )))

 #11 - 26-06-2024 11:50:39

Migou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 477
Lieu: Ville 2/N près 2*i

happu birthday

@aunryz, un très grand gâteau ? Je valide :-D

 #12 - 26-06-2024 11:53:54

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,418E+3

happy birthsay

Je ne trouve pas ces prolongements très passionnants . Le problème initial est sans doute en 2D , on peut le passer en 3D avec la même problématique , on n'est pas très loin du remplissage d'un cercle ou d'une sphère par des disques ou des boules de rayon donné .

Une autre question , Spirou est à un autre étage big_smile

Vasimolo

 

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