Bonjour,
Ca me parait juste impossible.
As-tu un exemple ?

Oui, j'ai raisonné sur des cas simples comme ça.

Le facteur 3 arrive plus souvent, je ne vois pas comment la condition 2 pourrait être vraie à l'infini.

@ aunryz : non, 2 et 3 ne sont clairement pas équivalents, il y a bien plus de 2 que de 3.
De même, si l'on teste 2 nombres premiers, c'est le plus petit qui domine.

Déjà, vous pouvez essayer de donner l'expression générale qui permet de calculer le nombre de fois qu'un diviseur premier est présent dans une factorielle n ! donnée.

24 et 18 me souffle-t-on

Prenons A = p, nombre premier impair et B = 2^(p-1).
Avec les pentes sA = 1/(p-1) et sB = 1/(p-1)(2-1) = 1/(p-1). Donc sA = sB.
Notons les valeurs p-adiques. soit dn = Vp(n!) -Vp(n!).
Par calcul, on a : Vp (n!) = (n-sp(n)/(p-1) , Vé(n!) = n-s2(n!) et VB(n!) = partie entière de n-s2(n)/p-1. On obtient enfin, dn = (s2(n)-sp(n) + k)/p-1 avec k compris entre 0 et p-2 et dn dans Z. On peut encadrer dn et chercher son signe. Pour le cas où dn est positif, on pose n= p^k, k plus grand que 1 et pour le cas où dn est négatif, on pose n = p^k  - 1. on aboutit à un résutat. Par exemple pour le couple A = 3 et B = 4, on a pour n = 3 et 9, dn = 1 et les valuations p-adiques sont (1;0) et (4;3)et pour n= 8 et 26, on a dn = -1 et les valuations p-adiques (2;3) et (12;13).
On se rend compte que les deux signes apparaissent une infinité de fois si on continue. Conclusion : pour le couple (p; 2^(p-1)) est équivalent pour tout p premier impair. Le couple (A; B) étant équivalent et vérifiant les deux conditions et sachant bien sur qu'il y a une infinité de nombres premiers impairs et que A= p sont deux à deux distincts alors on peut conclure qu'on obtient une infinité de couple équivalents. La démonstration est longue et je ne peux pas tout saisir directement. car s'il faut que A^k divise n! pour k grandissant, on peut utiliser les valautions p-adiques et les les formules de Legendre Vp(n!) = (n-sp(n))/p-1 associant les parties entière et quelque developpement limité en utilisant le grand tau(O(logn)). Bref, c'est mon avis.