Enigmes

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 #1 - 30-10-2011 19:20:05

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2832
Lieu: Luxembourg

Taaupins au bizutage

Bonjour,
Voici donc ma première énigme, qui servira surtout à me tester sur cet exercice.
Pour le bizutage, des taupins font la tournée des commercants.
Le premier récolte x euros, le second 3 de moins, le troisième encore 3 de moins, et ainsi de suite, jusqu'au dernier taupin. Ils ont reçu tous ensemble 5141 euros.
Combien de taupins y avait t-il ? Et combien d'euros a ramené le dernier taupin ?
La case réponse validera sous la forme A-B (par exemple 34-12, avec un tiret entre).
Bonne soirée.
Frank



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 #2 - 30-10-2011 20:06:55

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,693E+3

Taupisn au bizutage

Il y en a 53 , le premier ayant gagné 175€ et le dernier 19€

Sauf que la case réponse ne valide pas 156 sad

OK, je ne validais pas ce qu'il fallait..

sinon, il peut y en avoir 2 et le dernier ramasse 2569€

 #3 - 30-10-2011 20:13:34

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2832
Lieu: Luxembourg

Taupins ua bizutage

Réponse correcte de gwen27.
La case validera A-B, par exemple 34-12 (avec un tiret entre).

 #4 - 30-10-2011 21:03:47

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Taupins au biztage

Les A taupins ont reçu x, x-3, x-6, ..., jusqu'à x-3A+3. La somme totale reçue par les taupins est donc :
[TeX]\sum_{i=0}^{A-1} ( x-3i ) = Ax-3 \sum_{i=0}^{A-1} i = Ax-\frac{3 A(A-1)}{2} = A \left( x-\frac{3 (A-1)}{2}\right) = 5141[/TeX]
A est entier, et je vais m'attendre à ce que x le soit aussi (non précisé par l'énoncé, mais ça m'a l'air d'aller de soi, non ?). Pour revenir sur des facteurs entiers (après avoir fait l'erreur stupide de considérer que [latex]x-\frac{3 (A-1)}{2}[/latex] était entier, et déduit que le dernier taupin se faisait voler un euro), je multiplie par deux :
[TeX]A \left( 2 x- 3 (A-1) \right) = 10282[/TeX]
Comment écrire 10282 comme un produit de deux entiers ?
[TeX]10282=2*5141=53*194=97*106[/TeX]
Six possibilités, donc, pour le couple [latex]\left( A,2 x- 3 (A-1) \right)[/latex]. Contrainte : la somme reçue par le dernier taupin, qui vaut [latex]x - 3A+3[/latex], est strictement positive, d'où [latex]x>3A-3[/latex], d'où [latex]2 x- 3 (A-1)>3A-3[/latex]. L'élément de droite du couple [latex]\left( A,2 x- 3 (A-1) \right)[/latex]vaut donc au bas mot le triple de celui de gauche.

Reste deux possibilités, dont une plutôt débile : [latex]A=2[/latex]. L'énoncé précise qu'ils sont au moins trois.

[latex]A=53[/latex] nous donne [latex]x=175[/latex]. Cela nous fait 53 taupins, le dernier recevant 19 euros à peine, le pauvre.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #5 - 30-10-2011 21:23:19

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

Taupins a bizutage

Code:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int somme(int a, int b);

int main()
{
    int y;
    int x;
    for(x=1; x<=500; x++)
    {
     for(y=1; y<=100; y++)
     {
      if((y*(x+3)-3*somme(1,y)) == 5141)
       {
        printf("%d  %d\n", x, y);
       }   
     }
    }
     return 0;
}

int somme(int a, int b)
{
    int c=0;
    while(a<=b)
    {
     c=c+a;
     a=a+1;
    }
    return c;
}

Dans le code:
x -> montant du 1er taupin
y -> nombre de taupins

L'exécution me ramène à 2 possibilités :

    1) x=175, y=53, ce qui donne A=53, B=19

    2) x=197, y=97, ce qui me donne A=97, B=-91

On retient donc la 1ere !

 #6 - 31-10-2011 07:51:14

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1772

Tauipns au bizutage

Bonjour

Je raisonne à l'envers sur les "manques à gagner" de 3 euros, en incrémentant le rang 1 à partir du dernier taupin, en considérant qu'il ne rapporte rien ...

L'avant dernier rapporte 3 euros
L'avant-avant dernier rapporte 6 euros

rang n=1 : 0
rang n=2 : 3
rang n=3 : 6
rang n=4 : 9
....

Le cumulé de cette suite au rang n vaut [n(n-1)/2]*3

on veut que [latex]\frac{(5141-[n(n-1)/2]*3 } {n} [/latex]soit entier

ce qui s'obtient pour n=53, effectifs de la prépa ...
Le résultat vaut 19 qui la somme en euros collectée par le dernier taupin.

La case réponse valide "53-19"

(Le premier taupin a ramené 156+19 = 175 euros)

Merci, à bientôt,


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #7 - 31-10-2011 07:53:03

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3176

Taupinss au bizutage

Est ce vraiment une enigme ? Application directe du n(n+1)/2.......

 #8 - 31-10-2011 11:24:34

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1493

taupins ay bizutage

Techniquement, il peut y avoir 1, 2 ou 59 taupins; le dernier ramenant respectivement 5141, 2569 ou 19 euros.

Ca correspond aux solutions entières de A[3A-3+2B] = 10282
A peut valoir 1, 2, 53, 97, 106, 194, 5141 ou 10282
Du coup, B vaudrait respectivement 5141, 2569, 19, -91, -109, -263, -7709 et -15421. Comme B est positif, ça ne nous laisse que 3 solutions

 #9 - 31-10-2011 14:26:37

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

Taupins au bizutae

En tâtons, mon Excel a trouvé x=174.1355932

Avant, j'avais essayé une autre piste, avec la série arithmétique, de raison -3,
dont la somme [latex]S_n = n[x+(x-3n)]/2 = 5141[/latex]€
mais après... euh...

 #10 - 31-10-2011 15:09:51

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

taupins au bizutzge

5141 = x + (x-3) + (x-6) + ... + (x - 3*(n-1))
        = n*x -3*(n-1)*n/2
        = n   * (x-3*(n-1)/2)
        = 53 * 97

2 possibilités : n = 53 ou n = 97.
Si n= 97 des taupins y sont allés de leur poche :S

Pour n = 53, le dernier a gagné 19

 #11 - 31-10-2011 15:20:56

BilouDH
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 29

Taupins au biztage

Bonjour,

Enigme très sympathique.

Notons A le nombre de taupins et M l'argent moyen que chaque taupin a ramené:
[TeX]5141=A*M[/latex] or 5141=53*97 donc nous avons deux couples de solutions (A,M)=(53,97) ou (A,M)=(97,53)
or comme dans tous les cas A est impair [latex]M=x-3*\frac{A-1}{2}\[/latex] et le dernier aura ramené [latex]L=x-3*(A-1)=M-3*\frac{A-1}{2}\[/TeX]
1er cas:
A=53, M=97 et L=19 euros
2ème cas:
A=97, M=53 et L=-91 euros (ce serait un vilain bizutage!)

La réponse est donc 53-19.
Bonne journée

 #12 - 31-10-2011 17:33:56

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1413
Lieu: Coutiches

taupins au vizutage

Salut !

Alors : x + (x-3) + (x-2*3) + ... + (x-(n-1)*3) = 5141, sachant qu'il y a n taupin

Donc nx - 3*somme(1;n-1) = 5141
nx - 3*n*(n-1)/2 = 5141
2nx - 3n² + 3n = 10282
3n² - (2x+3)n + 10282 = 0

Delta = (2x+3)² - 4*3*10282 = (2x+3)² - 123384

x est positif et delta doit l'être aussi ainsi qu'être le carré d'un entier

On obtient la première valeur pour (2x+3)²>racine(123384), c'est à dire pour x=175

On trouve delta = 35² puis n=[(2*175+3)-35]/(2*3) = 53 taupins

Le dernier taupin a donc ramené 175-52*3 = 175-156 = 19 euros

 #13 - 31-10-2011 19:22:21

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
Messages : 2216

Tupins au bizutage

53-19.

Très sympathique petit exercice dont je zappe honteusement la démonstration qui sera bien mieux faite par mes collègues ci-dessus lol.

Par contre, à mon sens, rien n'interdit dans l'énoncé que les sommes récoltées aient des centimes. Par exemple, avec 20 taupins et une première somme de 285.55 €, il me semble que ça marche très bien aussi.

 #14 - 31-10-2011 23:05:48

bidipe
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1123
Lieu: Côte basco-landaise

Taupins au bzutage

Si le dernier taupin rapporte x €, et qu'il y a n taupins :
Le premier a rapporté x +(n-1)*3 €

D'où la somme de ce qu'ils ont tous rapporté peut s'écrire :
nx + [3*n(n-1)/2] = 5147

nx + (3n²-3n)/2 = 5147

n(x+3n/2- 3/2) = 53*97

Pour n = 53 taupins, x= 97 - 159/2 +3/2 = 19 €

Il y avait donc 53 taupins, le dernier a rapporté 19 €

 #15 - 01-11-2011 00:23:05

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1932
Lieu: UK

TTaupins au bizutage

soit n taupins,
x+(x-3)+... + n-ieme x - (n-1)3 = n x -3(1+2+...+n-1)=-3/2n^2+n(x+3/2)=5141
il faut resoudre cette equation dans N ... quand j'aurais un excel sous la main

Edit, avec Excel:
53 taupins et 19 euros récoltés par le dernier.


The proof of the pudding is in the eating.

 #16 - 01-11-2011 00:45:51

godisdead
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Messages : 641

Tauipns au bizutage

Comme je n'avais pas envie de faire un long calcul, j'ai cherché la faille dans l'enoncé.
Il y avait 2 taupins, le dernier ayant ramené 2569 smile

 #17 - 01-11-2011 11:52:13

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

Taaupins au bizutage

Bonjour,
Il y a beaucoup de bonnes réponses; l'énigme aura donc été trop facile.
Deux remarques reviennent fréquemment sur l'énoncé:
1°) Le nombre d'euros est entier: j'aurais pu (dû ?) le préciser,
2°) Il y a au moins 3 taupins: l'énoncé parlait du troisième (ouf: sauvé).
@nodgim: ma prochaine énigme sera sans le moindre calcul: c'est promis lol
@TiLapiot: il doit y avoir une petite coquille dans dans ton expression de Sn
@franck9525: encore un petit effort: tu dois pouvoir factoriser big_smile
@godisdead: s'il n'y en avait pas au moins trois, ta réponse conviendrait wink
La leçon que je tire de ma première énigme est qu'on n'est jamais trop précis dans la rédaction de l'énoncé.
Merci pour les nombreuses réponses.
Bonne journée.
Frank

 #18 - 01-11-2011 17:17:34

halloduda
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Enigmes résolues : 24
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Lieu: Ardèche

taupins au bizutagz

53-19

Si le dernier de x taupins récolte y euros, la total récolté sera
y+(y+3)+ ... + [y+(x-1)x3]=5141, soit
x(y+3/2(x-1))=5141=53x97
D'où x=53, y=97=3x26=19

 #19 - 02-11-2011 00:34:13

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 152

taupuns au bizutage

la formule s'ecrit :
avec k, le nombre de taupins, et x la valeur ramener par le dernier:
x + (x+3) + (x+6) + ....+ (x+3(k-1))

en factorisant on obtient :
k(x+3(k-1)/2) = 5141
on a deux cas principal:
k est pair, k est impair.

si k est impair alors la formule entre parenthèse est entière,
on sait donc que k divise 5141, or 5141 = 53*97*1
on a alors trois possibilités :
k = 97 et x = -91
k = 53 et x = 19
k = 1   et x = 5141

si k est pair, la formule se réécrit (avec k=2i)
i ( 2x + 6i - 3) = 5141
idem sait que i divise 5141, or 5141 = 53*97*1
i=1, k=2, x = 2569
i= 53 k = 106, x = -109
i= 97 k 194, x = -263

on sait que l'on a plus de 2 possibilités, et que la valeur du dernier est positive, on a donc une solution unique.
53-19

 #20 - 02-11-2011 00:40:19

freedomAO
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taupins au buzutage

53-19
trouvez en 5 min grace a excel

 #21 - 02-11-2011 10:56:13

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1493

taupins au bizitage

Allez, une démo propre (l'autre était un peu trop expéditive).
Il y a N taupins, le dernier ramène R.
Un taupin i ramène R + 3*(N-i); i étant compris entre 1 et N. Si on somme cette expression, on trouve un total de R*N + 3*N(N-1)/2
Du coup, 2RN + 3N^2 -3N = 10282
On factorise: N(3N+2R-3) = 10282
N est entier: c'est donc un diviseur de 10282; et 3N+2R-3 est son codiviseur.
10282 = 2*53*97 admet 2^3 = 8 diviseurs; il suffit de tester ces 8 possibilités pour trouver le résultat

 #22 - 02-11-2011 11:53:05

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

Taupin sau bizutage

Bonjour,

Merci de proposer une énigme pour notre plaisir.
Même s'il y a déjà beaucoup de réponses, je vais y aller de la mienne aussi pour encourager les poseurs d'énigme.
S'il y a n taupins, la récolte vaut:
[TeX]\sum_{k=0}^{n-1}x-3k=nx-3.\dfrac{n(n-1)}2[/TeX]
On sait que cette valeur vaut 5141€ et que n est entier.
x est un nombre de centimes donc y=100x est un entier.

On a donc: [latex]n.\dfrac{y}{100}-3.\dfrac{n(n-1)}2=5141[/latex]

Soit [latex]2ny-300n(n-1)=1028200[/latex] c'est-à-dire: [latex]n(2y-300*(n-1))=1028200[/latex].

Or 1028200=2^3 * 5^2 * 53 * 97.
1028200 a donc 4*3*2*2=48 diviseurs.
En affectant chaque diviseur à n, on trouve une valeur de y. Celle-ci doit être entière.

On trouve 5 solutions:
53 taupins, 175 € pour le premier, 19€ pour le dernier
5 taupins, 1034,20 € pour le premier, 1022,20 € pour le dernier
10 taupins, 527,60 € pour le premier, 500,60 € pour le dernier
25 taupins, 241,64 € pour le premier, 169,64 € pour le dernier
50 taupins, 176,32 € pour le premier, 29,32 € pour le dernier

Solutions oubliées dans mon premier post:
20 taupins, 285,55 € pour le premier, 228,55 € pour le dernier
4 taupins, 1289,75 € pour le premier, 1280,75 € pour le dernier

Une seule ne fournit que des nombres entiers d'euros: la première qui est validée par la case réponse (53-19) mais les 4 autres me semblent valides.

Merci à toi pour cette énigme.

[EDIT] Petite erreur ci-dessus, on trouve 7 solutions, j'en avais oublié 2 (dont celle de FRiZMOUT qui m'a mis sur la piste de mon erreur)

 #23 - 02-11-2011 12:56:34

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 949

Tauins au bizutage

5141 = 53 x 97 (deux facteurs premiers)
n fois la moyenne des sommes recueillies vaut 5141
n>2 oblige une moyenne supérieure à l'effectif n
Donc n=53 avec des sommes de 19 € à 175 € (97 € de moyenne)


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #24 - 02-11-2011 20:28:22

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2832
Lieu: Luxembourg

taupins au biautage

Et voilà la fin de ma première énigme.
Au départ, comme l'a fait bidipe (entre autres), je pensais à un produit de facteurs égal à un produit de nombres premiers (A x B = 53 x 97), où la solution serait donnée par (A ou B = 53) et (B ou A = 97).
Mais certains ont "bêtement" utilisé Excel, ce qui n'était d'ailleurs pas interdit dans le texte et ce qui était donc parfaitement légitime.
A bientôt pour une seconde énigme pour fêter mon 500è message.
Bonne soirée.
Frank

 #25 - 02-11-2011 20:42:31

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

Taupins au biztuage

Je suis le seul à avoir programmé... honte sur moi ! après avoir posé le problème je m'étais dit que c'était bien plus facile de réfléchir à un programme que de calculer la réponse !
Je plaide coupable !

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