Bonsoir,
Il y a N=90000 nombres à 5 chiffres, avec lesquels on peut former N*(N-1)/2=4049955000 couples constitués de 2 nombres différents, (n1,n2) et (n2,n1) ne comptant que pour 1 seul couple.
Parmi ceux-ci, il y en a 333505476 dont les 2 nombres n'ont aucun chiffre en commun, soit 8.235%.

nodgim, tu soupçonnes juste. Voici le script en python qui fait le boulot :

import sys

N=int(sys.argv[1])

nmin=10**(N-1);nmax=10**N
ok=ko=0
for n1 in range(nmin,nmax):
    s1=set(str(n1))
    for n2 in range(n1+1,nmax):
        s2=set(str(n2))
        if s1&s2 : ko+=1
        else :     ok+=1

print("N=%d ok=%s ko=%s ok+ko=%s prc=%s %%"%(N,ok,ko,ok+ko,100.*ok/(ok+ko)))

À lancer ainsi

python le_script 5

Ajouté : J'utilise Linux, et ne sais pas comment on lance ce script sous Windows

@Enigmatus, merci pour le petit programme. Cependant, c'est bien le décompte manuel que je voudrais voir.
@dbab: attention, ce n'est parce qu'aucun chiffre du 1er nombre n'est présent dans le second qu'on n'a pas le droit à la répétition de chiffres dans un nombre donné. Par exemple (10000;22222) est un couple hétéromorphe.

Dbab, ça commence à prendre tournure, cependant: Pour un nombre à un seul chiffre, je ne compte que 9 possibilités, pas 10.

Il existe 10*9*8*7*6 nombres à 5 chiffres qui possèdent 0 chiffres identiques.

Il existe 10*9*8*7*4 nombres à 5 chiffres qui possèdent 2 chiffres identiques.

Il existe 10*9*8*3 nombres à 5 chiffres qui possèdent 3 chiffres identiques.

Il existe 10*9*2 nombres à 5 chiffres qui possèdent 4 chiffres identiques.

Il existe 9 nombres à 5 chiffres qui possèdent 5 chiffres identiques.

On considère un nombre à 5 chiffres.

Si ce nombre possède 0 chiffres identiques alors on compte 5^5 autres nombres qui forment un couple hétéromorphe avec ce nombre.

Si ce nombre possède 2 chiffres identiques alors on compte 6^5 autres nombres qui forment un couple hétéromorphe avec ce nombre dont 6*5*4*3*2 déjà comptés.

Si ce nombre possède 3 chiffres identiques alors on compte 7^5 autres nombres qui forment un couple hétéromorphe avec ce nombre dont 7*6*5*4*3+7*6*5*4*4 déjà comptés.

Si ce nombre possède 4 chiffres identiques alors on compte 8^5 autres nombres qui forment un couple hétéromorphe avec ce nombre dont 8*7*6*5*4+8*7*6*5*4+8*7*6*3 déjà comptés.

Si ce nombre possède 5 chiffres identiques alors on compte 9^5 autres nombres qui forment un couple hétéromorphe avec ce nombre dont 9*8*7*6*5+9*8*7*5*4+9*8*7*3+9*8*2 déjà comptés.

On en déduit qu'il existe 10*9*8*7*6*5^5+10*9*8*7*4*(6^5-6*5*4*3*2)+10*9*8*3*(7^5-7*6*5*4*3-7*6*5*4*4)+10*9*2*(8^5-8*7*6*5*4-8*7*6*5*4-8*7*6*3)+9*(9^5-9*8*7*6*5-9*8*7*5*4-9*8*7*3-9*8*2)=263938617 couples hétéromorphes de nombres à 5 chiffres.

Sachant qu'il y a Somme(k=0, 99999)(10^5-k)=5000050000 couples de nombre à 5 chiffres on en déduit une proportion de 263938617/5000050000=5.278719553%

Sydre: l'idée est là mais ta première phrase est fausse pour le décompte. N'oublie pas qu'un nombre à 5 chiffres n'a pas de 0 en 1er chiffre.
Julafleur: il faudrait détailler, mais tu es loin du compte pour l'instant.

Le problème n'est pas compliqué, mais il demande beaucoup de soin et d'attention.

@dbab: pour p=2, est ce que tu inclus le 0 comme chiffre possible ou non ?

Je m'excuse mais je vais donner directement les résultats
p=1
C₁=9
D₁=52488
E₁=472392

p=2
Cas 1: pas de zéro
C₂'=1080
D₂'=28672
E₂'=30965760
Cas 2: avec zéro
C₂"=135
D₂"=32768
E₂"=4423680
E₂=E₂'+E₂"=35389440

p=3
Cas 1: sans zéro
C₃'=12600
D₃'=14406
E₃'=181515600
Cas 2: avec zéro
C₃"=3600
D₃"=16807
E₃"=60505200
E₃=E₃'+E₃"=242020800

p=4
Cas 1: sans zéro
C₄'=30240
D₄'=6480
E₄'=195955200
Cas 2: avec zéro
C₄"=15120
D₄"=7776
E₄"=117573120
E₄=E₄'+E₄"=313528320

p=5
Cas 1: sans zéro
C₅'=15120
D₅'=2500
E₅'=37800000
Cas 2: avec zéro
C₅"=12096
D₅"=3125
E₅"=37800000
E₅=E₅'+E₅"=75600000
Le nombre de couples hétéromorphes est N=(E₁+E₂+E₃+E₄+E₅)÷2=333505476
La proportion est P=2N÷(9×10⁴)²=0,082347031
La proportion est 8,23%

C'est corrigé, j'avais considéré un cas sans zéro comme cas avec zéro

Merci aux participants.
Il fallait faire bien attention au cas du zéro qui ne peut pas être mis en tête d'un nombre. Voici la liste récapitulative des cas et leur cardinal. Les lettres représentent les chiffres de 1 à 9. Pour connaitre le nombre de couples, on fait pour chaque ligne le produit du nombre de cas du 1er nombre par le nombre de cas du 2ème nombre. Ensuite le total de ces produits est divisé par 2, car tous les couples apparaissent 2 fois dans la liste.
Nb total de couples hétéromorphes :333 505 476
Nb total des couples : (90 000*90 001)/2=4 050 045 000
Proportion: 0,0823.....

1er nb......    2ème nb
aaaaa   
9..............    8*9^4
aaaa0   
9*4...............8^5
aaa00   
9*6...............8^5
aa000   
9*4................8^5
a0000   
9...................8^5
baaaa   
9*8*5.......    7*8^4
bbaaa   
9*8*10.....    7*8^4
baaa0   
9*8*4*4........7^5
bbaa0   
9*8*4*3........7^5
baa00   
9*8*3*6........7^5
ba000   
9*8*4............7^5
abbcc   
9*8*7*5*3...6*7^4
abccc   
9*8*7*10.....6*7^4
abbc0   
9*8*7*4*6.......6^5
abc00   
9*8*7*6...........6^5
abcdd   
9*8*7*6*10....5*6^4
abcd0   
9*8*7*6*4........5^5
abcde   
9*8*7*6*5......4*5^4

En fait oui, c'est (90 000* 90 000)/2 ou (90 000*89 999)/2.

merci pour l'indication...JE vais y faire un tour mais j'aime bien p2t donc j'espère que ça va être actif ces prochains temps...