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 #1 - 10-05-2015 17:56:31

nodgim
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couples d'entiers hétéromotphes

Bonsoir à tous,
On dit d'un couple d'entiers naturels qu'il est hétéromorphe si aucun chiffre de l'un n'est présent dans l'autre. Quelle est la proportion de couples hétéromorphes dans les couples de nombres à 5 chiffres ?
Bon amusement.



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 #2 - 10-05-2015 22:43:32

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Couples d'entiers hétéromorphs

Bonsoir,
Il y a N=90000 nombres à 5 chiffres, avec lesquels on peut former N*(N-1)/2=4049955000 couples constitués de 2 nombres différents, (n1,n2) et (n2,n1) ne comptant que pour 1 seul couple.
Parmi ceux-ci, il y en a 333505476 dont les 2 nombres n'ont aucun chiffre en commun, soit 8.235%.

 #3 - 11-05-2015 08:08:39

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Couples dentiers hétéromorphes

Enigmatus, oui mais je soupçonne que tu as fait appel à l'informatique. Si non, comment t'y es tu pris ? Ce qui m'intéresse, c'est la méthode.

 #4 - 11-05-2015 09:32:09

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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coupled d'entiers hétéromorphes

nodgim, tu soupçonnes juste. Voici le script en python qui fait le boulot :

Code:

import sys

N=int(sys.argv[1])

nmin=10**(N-1);nmax=10**N
ok=ko=0
for n1 in range(nmin,nmax):
    s1=set(str(n1))
    for n2 in range(n1+1,nmax):
        s2=set(str(n2))
        if s1&s2 : ko+=1
        else :     ok+=1

print("N=%d ok=%s ko=%s ok+ko=%s prc=%s %%"%(N,ok,ko,ok+ko,100.*ok/(ok+ko)))

À lancer ainsi

Code:

python le_script 5

Ajouté : J'utilise Linux, et ne sais pas comment on lance ce script sous Windows

 #5 - 11-05-2015 11:25:21

dbab3000
Professionnel de Prise2Tete
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Couples d'entiers éhtéromorphes

On prend un exemple:
A=12345 alors B=67890 ou B=78906 ou ....
Alors B peut prendre plusieurs valeurs en fonction de la valeur de A, le nombre de valeurs que B puisse prendre pour chaque valeur de A est 5!=120
Le nombre de valeurs que A puisse prendre est 10!÷5!=30240
On a 120×30240=3628800
Ce nombre n'est pas le nombre de couples hétéromorphes car on considère les cas:
A=12345  B=67890 et A=67890 et B=12345 ces deux cas représentent le même cas général ce qui implique qu'on doit diviser par 2
3628800÷2=1814400 est le nombre de couples hétéromorphes.
La proportion est (1814400×2)÷(10!÷5!)²=0,003968253968

 #6 - 11-05-2015 13:33:48

nodgim
Elite de Prise2Tete
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couples d'entiers gétéromorphes

@Enigmatus, merci pour le petit programme. Cependant, c'est bien le décompte manuel que je voudrais voir.
@dbab: attention, ce n'est parce qu'aucun chiffre du 1er nombre n'est présent dans le second qu'on n'a pas le droit à la répétition de chiffres dans un nombre donné. Par exemple (10000;22222) est un couple hétéromorphe.

 #7 - 11-05-2015 17:36:16

dbab3000
Professionnel de Prise2Tete
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Couples d'entiers éhtéromorphes

Je n'ai pas pris de temps de réfléchir au début, je rectifie:
On prend
p: Le nombre de chiffres utilisés dans le nombre A
C: Le nombre de valeurs que A puisse prendre
D: Le nombre de valeurs que B puisse prendre
E: E=C×D
N: Le nombre de couples hétéromorphes
On va distinguer les cas:
p=1
Voici un exemple
A=11111 et B=23466
C₁=10
D₁=9⁵=59049
E₁=590490
p=2
Voici un exemple
A=11222 et B=75444 ou A=11112 et B=75444
C₂=(10C1×9C1×5!÷4!)+(10A2×5!÷3!÷2!)=1350
D₂=8⁵=32768
E₂=44236800
p=3
Voici un exemple
A=11223 et B=44445 ou A=11123 et B=44445
C₃=(10C1×9C2×5!÷3!)+(10C2×8C1×5!÷2!÷2!)=18000
D₃=7⁵=16807
E₃=302526000
p=4
Voici un exemple
A=11234 et B=56788
C₄=10C1×9C3×5!÷2!=50400
D₄=6⁵=7776
E₄=391910400
p=5
Voici un exemple
A=12345 et B=66666
C₅=10A5=30240
D₅=5⁵=3125
E₅=94500000
N=(E₁+E₂+E₃+E₄+E₅)÷2=416881845
La proportion est P=2N÷(10⁵)²=0,083376369
Donc la proportion est 8,33%
Bonne journée.

 #8 - 11-05-2015 18:34:44

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Couples d'netiers hétéromorphes

Dbab, ça commence à prendre tournure, cependant: Pour un nombre à un seul chiffre, je ne compte que 9 possibilités, pas 10.

 #9 - 11-05-2015 19:07:06

dbab3000
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 110

couples d'entierd hétéromorphes

Je ne sais pas ce qui m'arrive aujourd’hui, j'ai considéré les nombres compris entre 0 et 99999 comme des nombres à 5 chiffres  -_-"
Je vais laisser la résolution jusqu'à demain.
Bonne soirée.

 #10 - 11-05-2015 19:44:10

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 144

Couples d'enteirs hétéromorphes

Il existe 10*9*8*7*6 nombres à 5 chiffres qui possèdent 0 chiffres identiques.

Il existe 10*9*8*7*4 nombres à 5 chiffres qui possèdent 2 chiffres identiques.

Il existe 10*9*8*3 nombres à 5 chiffres qui possèdent 3 chiffres identiques.

Il existe 10*9*2 nombres à 5 chiffres qui possèdent 4 chiffres identiques.

Il existe 9 nombres à 5 chiffres qui possèdent 5 chiffres identiques.

On considère un nombre à 5 chiffres.

Si ce nombre possède 0 chiffres identiques alors on compte 5^5 autres nombres qui forment un couple hétéromorphe avec ce nombre.

Si ce nombre possède 2 chiffres identiques alors on compte 6^5 autres nombres qui forment un couple hétéromorphe avec ce nombre dont 6*5*4*3*2 déjà comptés.

Si ce nombre possède 3 chiffres identiques alors on compte 7^5 autres nombres qui forment un couple hétéromorphe avec ce nombre dont 7*6*5*4*3+7*6*5*4*4 déjà comptés.

Si ce nombre possède 4 chiffres identiques alors on compte 8^5 autres nombres qui forment un couple hétéromorphe avec ce nombre dont 8*7*6*5*4+8*7*6*5*4+8*7*6*3 déjà comptés.

Si ce nombre possède 5 chiffres identiques alors on compte 9^5 autres nombres qui forment un couple hétéromorphe avec ce nombre dont 9*8*7*6*5+9*8*7*5*4+9*8*7*3+9*8*2 déjà comptés.

On en déduit qu'il existe 10*9*8*7*6*5^5+10*9*8*7*4*(6^5-6*5*4*3*2)+10*9*8*3*(7^5-7*6*5*4*3-7*6*5*4*4)+10*9*2*(8^5-8*7*6*5*4-8*7*6*5*4-8*7*6*3)+9*(9^5-9*8*7*6*5-9*8*7*5*4-9*8*7*3-9*8*2)=263938617 couples hétéromorphes de nombres à 5 chiffres.

Sachant qu'il y a Somme(k=0, 99999)(10^5-k)=5000050000 couples de nombre à 5 chiffres on en déduit une proportion de 263938617/5000050000=5.278719553%

smile

 #11 - 11-05-2015 23:23:29

julafleur
Amateur de Prise2Tete
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Couples d'ntiers hétéromorphes

Bonjour,
Première contribution sur ce forum, j'espère ne pas mettre fourré ;-)
9^5-(10*10+7*10+2*10+9) = 57140
J'ai décomposé le problème en lots d'hétéromorphes, a deux, trois, quatre, cinq chiffres

 #12 - 12-05-2015 08:22:28

nodgim
Elite de Prise2Tete
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couples d'entiers hétéromirphes

Sydre: l'idée est là mais ta première phrase est fausse pour le décompte. N'oublie pas qu'un nombre à 5 chiffres n'a pas de 0 en 1er chiffre.
Julafleur: il faudrait détailler, mais tu es loin du compte pour l'instant.

Le problème n'est pas compliqué, mais il demande beaucoup de soin et d'attention.

 #13 - 13-05-2015 15:49:57

dbab3000
Professionnel de Prise2Tete
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Couples d'entierss hétéromorphes

Je vais utiliser la méthode que j'ai utilisée dans mon message précédent:
On a :
p=1
A=11111
C₁=9
D₁=8×9⁴=52488
E₁=472392

p=2
A=11112 A=10000 A=11110 A=11122 A=11100 A=11000
C₂=9A2×5!÷4!+9A1+9A1×4!÷3!+9A2×5!÷3!÷2!+9A1×4!÷2!÷2!+9A1×4!÷3!
C₂=1215
D₂=7×8⁴=28672
E₂=34836480

p=3
A=11123 A=11120 A=12220 A=12000 A=12233 A=11220 A=12200 A=11200
C₃=9A3×5C2+9A2×4!÷2!+9A2×4!÷3!+9A2×4!÷3!+9A1×8C2×5!÷2!÷2!+9A2×4!
      ÷2!+9A2×4!÷2!÷2!+9A2×4!÷2!=16200
D₃=6×7⁴=14406
E₃=233377200

p=4
A=11234 A=11230 A=12230 A=12300
C₄=9A4×5C3+9A1×8C2×4!+9A1×8A2×4!÷2!+9A1×8C2×4!÷2!=45360
D₄=5×6⁴=6480
E₄=293932800

p=5
A=12345
C₅=9A1×9A4=27216
D₅=4×5⁴=2500
E₅=68040000

Le nombre de couple hétéromorphe est N=(E₁+E₂+E₃+E₄+E₅)÷2=315329436
La proportion est P=2N÷(9×10⁴)²=0,07785912
La proportion est 7,78%
PS:C'est vrai le problème n'est pas compliqué mais il demande une bonne maitrise du cours de probabilité, en ce qui me concerne je me rappelle seulement des bases, c'est pour ça que tu vas remarquer que c'est plutôt un bricolage mathématique qu'une résolution normale.
Bonne journée

 #14 - 13-05-2015 18:55:30

nodgim
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Couples d'entiers hétéromorphhes

@dbab: pour p=2, est ce que tu inclus le 0 comme chiffre possible ou non ?

 #15 - 13-05-2015 19:13:22

dbab3000
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couples d'entiers jétéromorphes

Oui j'ai inclus 0 comme chiffre la seule condition qu'il ne soit pas le premier chiffre:
Je vais expliquer les cas de p=2:
Deux chiffres différents de zéro dont un chiffre est répété 4 fois et l'autre une seule fois
Deux chiffres dont un est zéro tel que zéro est répété 4 fois et l'autre une seule fois
Deux chiffres dont un est zéro tel que zéro est répété une seule fois et l'autre 4 fois
Deux chiffres différents de zéro dont un chiffre est répété 3 fois et l'autre deux fois
Deux chiffres dont un est zéro tel que zéro est répété 2 fois et l'autre 3 fois
Deux chiffres dont un est zéro tel que zéro est répété 3 fois et l'autre 2 fois
Est ce que ma réponse est fausse?
Je viens de remarquer une erreur dans le calcul de C et D
Pour chaque valeur de p supérieur strictement à 1 il y a deux cas
cas 1:  Des chiffres différents de 0 on calcule le C et le D de ce cas
cas 2: Il y a un 0 dans les chiffres utilisés on calcule le C et D de ce cas

 #16 - 13-05-2015 20:05:47

dbab3000
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couples d'entirrs hétéromorphes

Je m'excuse mais je vais donner directement les résultats
p=1
C₁=9
D₁=52488
E₁=472392

p=2
Cas 1: pas de zéro
C₂'=1080
D₂'=28672
E₂'=30965760
Cas 2: avec zéro
C₂"=135
D₂"=32768
E₂"=4423680
E₂=E₂'+E₂"=35389440

p=3
Cas 1: sans zéro
C₃'=12600
D₃'=14406
E₃'=181515600
Cas 2: avec zéro
C₃"=3600
D₃"=16807
E₃"=60505200
E₃=E₃'+E₃"=242020800

p=4
Cas 1: sans zéro
C₄'=30240
D₄'=6480
E₄'=195955200
Cas 2: avec zéro
C₄"=15120
D₄"=7776
E₄"=117573120
E₄=E₄'+E₄"=313528320

p=5
Cas 1: sans zéro
C₅'=15120
D₅'=2500
E₅'=37800000
Cas 2: avec zéro
C₅"=12096
D₅"=3125
E₅"=37800000
E₅=E₅'+E₅"=75600000
Le nombre de couples hétéromorphes est N=(E₁+E₂+E₃+E₄+E₅)÷2=333505476
La proportion est P=2N÷(9×10⁴)²=0,082347031
La proportion est 8,23%

 #17 - 14-05-2015 08:19:19

nodgim
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couples d'entiers hététomorphes

@Dbab: c'est presque bon, il faut cependant revoir le cas p=4, avec ou sans zéro.

 #18 - 14-05-2015 08:57:42

dbab3000
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Couples d'entier shétéromorphes

C'est corrigé, j'avais considéré un cas sans zéro comme cas avec zéro

 #19 - 14-05-2015 12:08:56

nodgim
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Coupples d'entiers hétéromorphes

C'est bon maintenant, félicitations !

 #20 - 17-05-2015 09:02:53

nodgim
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coupkes d'entiers hétéromorphes

Merci aux participants.
Il fallait faire bien attention au cas du zéro qui ne peut pas être mis en tête d'un nombre. Voici la liste récapitulative des cas et leur cardinal. Les lettres représentent les chiffres de 1 à 9. Pour connaitre le nombre de couples, on fait pour chaque ligne le produit du nombre de cas du 1er nombre par le nombre de cas du 2ème nombre. Ensuite le total de ces produits est divisé par 2, car tous les couples apparaissent 2 fois dans la liste.
Nb total de couples hétéromorphes :333 505 476
Nb total des couples : (90 000*90 001)/2=4 050 045 000
Proportion: 0,0823.....

1er nb......    2ème nb
aaaaa   
9..............    8*9^4
aaaa0   
9*4...............8^5
aaa00   
9*6...............8^5
aa000   
9*4................8^5
a0000   
9...................8^5
baaaa   
9*8*5.......    7*8^4
bbaaa   
9*8*10.....    7*8^4
baaa0   
9*8*4*4........7^5
bbaa0   
9*8*4*3........7^5
baa00   
9*8*3*6........7^5
ba000   
9*8*4............7^5
abbcc   
9*8*7*5*3...6*7^4
abccc   
9*8*7*10.....6*7^4
abbc0   
9*8*7*4*6.......6^5
abc00   
9*8*7*6...........6^5
abcdd   
9*8*7*6*10....5*6^4
abcd0   
9*8*7*6*4........5^5
abcde   
9*8*7*6*5......4*5^4

 #21 - 01-12-2015 12:15:43

portugal
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Couples d'entiers héttéromorphes

A défaut de nouveaux problèmes je regarde les précédents.

Nb total des couples : (90 000*90 001)/2=4 050 045 000

- Pour le deuxième choix 90 001 m'intrigue. J'aurais plutôt vu 89 999 restant ?

- Pour la division par 2 je suis ok mais ça aurait été plus simple de garder les 2 couples a chaque fois plutôt que de tout patiemment diviser par 2 ?

 #22 - 01-12-2015 12:40:46

nodgim
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Couples d'entiers hétéroorphes

En fait oui, c'est (90 000* 90 000)/2 ou (90 000*89 999)/2.

 #23 - 01-12-2015 12:42:45

nodgim
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couples d'enriers hétéromorphes

Si les problèmes arithmétiques t'intéressent, tu devrais trouver ton bonheur sur ce site:
http://www.diophante.fr/

 #24 - 01-12-2015 13:29:33

portugal
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 374

Coupels d'entiers hétéromorphes

merci pour l'indication...JE vais y faire un tour mais j'aime bien p2t donc j'espère que ça va être actif ces prochains temps...

 

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