Enigme Une fonction pas comme les autres @ Prise2Tete

Promath- · #1

Petite énigme qui vient d'une recherche faite sur les primitives faite il y a quelques jours, les deux dernières questions tournent franchement à l'exercice d'analyse hard

On considère [latex]f(x)[/latex] une fonction. On appelle, pour tout [latex]x[/latex] de [latex]\mathbb{R}[/latex] [latex]h(x)[/latex] la fonction qui associe à [latex]x[/latex] l'abscisse de la tangente en [latex]x[/latex] à la courbe représentative de [latex]f(x)[/latex] quand celle-ci s'annule (ou son abscisse quand elle coupe l'axe des abscisses).

Question: Trouvez [latex]f(x)[/latex] sachant que h(x)=-x

Maintenant on pose h_2(x)=hoh(x) et plus généralement h_n(x)=hoho...oh(x), h apparaît n fois.

Questions ouvertes:
Trouver f(x) sachant que h_2(x)=-x
Trouver f(x) sachant que h_2(x)=x
Trouver f(x) sachant que h_n(x)=-x
Trouver f(x) sachant que h_n(x)=x
Trouver f(x) sachant que h_n(x)=kx, k appartenant à Z

Désolé LaTeX ne veut toujours pas prendre mes formules, erreur dès qu'il y a un - dans la formule.

golgot59 · #2

Je ne comprends pas la question...

L'abscisse de la tangente en x, c'est x non ?

Vasimolo · #3

Pour la première je trouve Racine carrée de |x| .

Vasimolo

Promath- · #4

golgot: Non c'est l'abscisse quand la tangente s'annule, par exemple sur la fonction x², en 2, on calcule la tangente: y=4x-4
4x-4=0 ---> x=1 donc h(x)=1 puisque la tangente s'annule en 1.

C'est bien cela, est-ce la seule?

Franky1103 · #5

La tangente au point d'abscisse x0 a pour équation: y = f'(x0).(x-x0) + f(x0), qui
s'annule en: x1 = x0 - f(x0)/f'(x0). Donc si j'ai bien compris: h(x) = x - f(x)/f'(x),
et: hoh(x) = x - f(x)/f'(x) - f[x-f(x)/f'(x)]/f'[x-f(x)/f'(x)], et ainsi de suite.
Je reviendrai pour la suite plus tard.

Sydre · #6

Sauf erreur :

Si h(x)=-x alors f(x)=C*sqrt(|x|) avec C dans R

Si h_2(x)=-x alors f(x)=C'*(C-sqrt(|x|))^2 avec C' et C dans R

Si h_2(x)=x alors f(x)=x

Et plus généralement : Si h_n(x)=x alors f(x)=x si n est pair, f(x)=0 si n est impair

Le reste me semble difficile à généraliser

Promath- · #7

Ok Francky

Sydre
Quid des nombres négatifs?

Tu définies une fonction f qui à x associe... une constante. De dérivée nulle donc ça ne marche pas, enfin j'ai compris ce que tu voulais dire.
1- Presque ça.
2,3- En posant C=0 et C'=1, on obtient h_2(x)=0. Ca ne fonctionne pas
Effectivement

Sydre · #8

Oups, faute de frappe

On prends la valeur absolue pour un résultat sur R entier.

Promath- · #9

Très bien Sydre pour la 1
La 2 et la 3 renvoient un résultat faux par contre

Arnaud0412 · #10

Salut,

Pour la 1 où h(x)=-x, sous réserve d'être sur les bons ensembles de définition, je trouve f(x)=Ke(-x^2) où K est une constante.

Par contre, pour être sur pour les autres questions, quand tu notes h_2(x), tu parles bien de composition de fonctions et pas d'une élévation au carré de la fonction h c'est ca? (Je me doutes que quand tu note hoh tu parles de composition, mais c'est pour confirmer parce que les calculs deviennent vite lourds)

Merci

Promath- · #11

Non, sur ta fonction un nombre positif renvoie un nombre positif.
Je parle bien de composition

kossi_tg · #12

* Le cas h(x)=-x
la tangente au point (t; f(t)) est définie par y=x*f'(t)+f(t)-t*f'(t). Si y=0 alors on a:

h(t)*f'(t)+f(t)-t*f'(t)=0 (1)

Si h(t)=-t alors (1) permet d'écrire f'(t)/f(t)=1/(2*t) donc f(x)=A*racine(x) où A est une constante réelle non nulle.

*Remarque: Si h(x)=x alors f(x)=0. Dans ce cas, la définition même de h devient farfelue donc h sera toujours différents de la fonction identité.

* Le cas h(x)=kx
Avec (1), on établit: k*t*f'(t)+f(t)-t*f'(t)=0 soit f'(t)/f(t)=1/(1-k)*1/t dont
f(x)=A*x^(1/(1-k)) où A est une constante réelle non nulle. Si k=1 alors on rejoint la remarque précédente donc k est différent de 1.

Quelques unes des questions ouvertes:

* h_2(x)=x : on peut avoir 2 fonctions évidentes h(x)=x ou h(x)=-x. h(x) est exclue donc il reste h(x)=-x , résolu au premier cas.

* Pour n pair avec h_n(x)=x ou pour n impair avec h_n(x)=-x; on a : f(x)=A*racine(x) puisque h(x)=-x.

La réflexion continue...

Promath- · #13

Kossi: et les nombres négatifs?
Très bien!
Cela ne marche pas, on coupe forcément 0 avec une telle fonction...
C'est très bien pour la suite, elles font partie de l'ensemble solution.

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#1 - 01-02-2015 10:19:09

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#2 - 01-02-2015 10:38:22

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#3 - 01-02-2015 11:03:06

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#4 - 01-02-2015 12:15:43

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#13 - 07-02-2015 09:58:49

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