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 #1 - 24-09-2008 19:22:50

legeneral
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 122

Les 3 cecrles

Bonjour a toutes et a tous

bon je vous explique ,j'ai inventé (enfin je crois qu'ils n'existent pas) une petite série de problèmes géométriques dont l'énoncé et simple et concis
voila l premier  :










http://www.prise2tete.fr/upload/legeneral-ENIGME.JPG

oui oui wink je vais vous donner quelques données
1)le rayon des 3 cercles est le même et est égal a 5cm
2)chaque cercle passe par le milieu des deux autres

voila bonne chance a tous!
ah oui j'oubliais  de vous donner l'énoncé justement roll
eh bien on veut l'aire de la surface rose en cm²  et en un minimum de calculs
(une valeur approchée a o.o1 pres suffira)





PS:n'hésitez pas a me critiquer si c'est trop facile bien entendu vous avez le droit de modifier l'image (ajout de formes aidant a la résolution)



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un vieux proverbe chinois dit que lorsqu'on a rien a dire on cite généralement un vieux proverbe chinois
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 #2 - 24-09-2008 22:50:47

Bamby
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 4
Messages : 41

kes 3 cercles

la zone violette est "défini" par 3 des intersections de cercles 2 à 2,
par déductions, ces intersections sont les centres du 3eme cercle, le triangle ainsi formé est donc équilatérale, de longueur de coté R(rayon des cercles).

l'aire peut être considéré comme étant la superposition des 3 segments circulaires formé par les 3 angles du triangle, le triangle étant équilateral, chaque angle est donc de 60°,
l'air de chaque segment circulaire est donc :
1/6eme de l'air du disque.

en superposant 3 fois ces segments, on se retrouve a compter 3 fois le triangle, il faut donc en soustraire 2 fois l'aire, on a donc :

3* Aire segment -2 fois Aire triangle, soit :
3*(1/6* Pi * R *R) - 2* (racine3 * R/2) *R / 2
=Pi/2*R*R - Racine3 /2*R*R
=(Pi-Racine3) /2 * R*R.
une approximation a 0.01 me donne : 17.62

en espérant ne pas m'être trompé, et en espérant surtout que vous arriviez a comprendre le charabia qui sert d'explication big_smile

P.S. j'ai trouvé la difficulté modéré, si il s'agit du 1er d'une suite, ça me semble prometteur.

 #3 - 24-09-2008 22:51:17

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Les 3 cercls

On peut considérer la surface rose comme un triangle équilatéral auquel sont rajoutées trois sections de cercle similaires à celle de l'image suivante :

http://img479.imageshack.us/img479/3848/sanstitre1xs9.gif

Le plus simple est de calculer l'aire formée du triangle équilatéral ET d'une de ces sections, puisque l'"alliance" des deux est une section angulaire du cercle, d'un angle de 60° (puisque le triangle est équilatéral) et d'un rayon de 5cm, normal quoi. L'aire de la surface en rose s'obtiendrait alors en partant de trois fois l'aire de cette "section angulaire de cercle" d'angle 60°, qui correspond à trois fois le triangle équilatéral + trois fois la petite section de cercle qui dépasse ; on enlève à cette valeur deux fois l'aire du triangle équilatéral (qu'on a compté trois fois au lieu d'une), et le compte y est. Au final, l'aire recherchée est :

A = 3 * A(section d'angle 60°) - 2 * A(triangle équi)

Trois fois l'aire d'une section d'angle 60°, ça donne l'aire d'une section d'angle 180°, soit un demi-cercle, donc PI * R² / 2. Le triangle équilatéral fait 5cm de côté, grâce à Pythagore on lui trouve une hauteur de 2,5 sqrt(3) cm, et aire d'un triangle = Bh/2. DONC :

A = PI * 5²/2 - 2,5 * sqrt(3) ... le tout en cm².

Soit environ 17.62 cm².

(Pas sûr du tout, peux-tu confirmer ou infirmer ma réponse par MP STP ? wink)


EDIT : après quelques calculs supplémentaires, la valeur que je trouve me semble réaliste. A voir, donc.


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 #4 - 25-09-2008 04:40:53

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

les 3 cerckes

le triangle au centre est equilateral de coté R (5cm) .
Sa surface est sqrt(3)R^2/4.
Les parties arondies ont pour surface pi.R^2/6 - sqrt(3).R^2/4
donc on simplifie:
aire=(PI.R^2 -sqrt(3)R^2)/2 = 17.61927308


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #5 - 25-09-2008 09:26:48

bagouze
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 589
Lieu: Lille

Les 3 ceercles

legeneral a écrit:

PS:n'hésitez pas a me critiquer si c'est trop facile bien entendu vous avez le droit de modifier l'image (ajout de formes aidant a la résolution)

Moi je vais juste te critiquer parce que je trouve ça beaucoup trop facile.
Spoiler : hi hi (en vrai, j'y arrive pas, mais bon tu m'as laissé une issue de secours)


"Nous sommes tous dans le caniveau, mais certains d'entre nous regardent les étoiles." (O. Wilde)

 #6 - 25-09-2008 12:07:31

pierdebzak
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 82
Lieu: Belfort (France)

les 3 cerckes

Spoiler : [Afficher le message] Je dirais que ça fait 17,62 cm^2
ou (25/2)*(pi-sqrt(3)) cm^2
En disant que l'aire rose est égale à trois fois l'aire d'un secteur de disque de rayon 5 et d'angle pi/3, à quoi on retranche deux fois l'aire d'un triangle équilatéral de côté 5.
aire d'un disque de rayon 5 : 25pi
aire d'un secteur de ce disque (angle pi/3) = 25pi/6
3 * l'aire de ce secteur : 25pi/2
aire d'un triangle équilatéral de côté 5 : 25sqrt(3)/4
2* l'aire de ce triangle : 25sqrt(3)/2

D'où le résultat.

 #7 - 25-09-2008 19:16:00

Passetemps
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 403

les 3 xercles

Sans dessin l'explication et la compréhension ne vont pas être aisées.

S=surface
Pi=3,14
R=rayon=5 cm
n=angle
c=côté
rac=racine

donc
pour un cercle
surface du secteur = S=piR²n/360 = 3,14*5*5*60/360 = 13,08333 cm²

pour un secteur
surface du triangle équilatéral = S=c²rac3:4 = 5*5*1,732/4 = 10,825 cm²
surface de l'arc = surface du secteur -surface du triangle équilatéral = 2,25833 cm²

surface de la partie rose =surface du triangle équilatéral + 3 surfaces d'arc
=10,825 + (3*2,25833) = 17,6000 cm²

Plus simple avec un minimum de calcul comme le veut legeneral

La surface rose représente 1/2 cercle moins deux triangles équilatéraux (sur six) d'un cercle.
donc :

5*5*3,14    5*5*1.732
----------- - ------------  = 17,600 cm²
     2                2

 #8 - 26-09-2008 18:06:54

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

Les 3 cerces

http://www.prise2tete.fr/upload/papiauche-3cercles.jpg

Soient A, B, C les points matérialisés sur la figure:

L'aire [ABC] avec BC arc de cercle vaut le 1/6 ème du cercle entiers (angle de 60°) =pi*5*5/6
soit  13,09 cm2

Aire ABC = 5*5*2/sqrt(3)/2 = 10,82 cm2

Par différence la lunule a une aire de 13,09-10,82 cm2 = 2,26 cm2
La réponse est la somme des aires du triangle et des trois lunules soit 17,60 cm2


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #9 - 26-09-2008 20:54:54

perceval
Chevalier de P2T
Enigmes résolues : 48
Messages : 723
Lieu: 37

LLes 3 cercles

C'est dommage mais j'arrive après le temps imparti
Spoiler : [Afficher le message] surtout que je voyais pas comment faire
cette histoire me rappelle le problème de la chèvre

bravo pur les explications MthS-MlndN et feclicitation pour le dessin de papiauche
sans oublier l'auteur de l'enigme


When i was a child i was a jedi

 #10 - 26-09-2008 21:47:40

legeneral
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 122

Les 3 cecles

bon et bien voila je vois que l'énigme a été résolue en beauté par a peu pres tout le monde et on peut voir qu'il y a de multiples possibilités et elles sont toutes acceptées dans la mesure ou l'écart est de 0.01 pres comme dit dans l'énoncé

par contre je peut expose ma méthode si personne n'y voit d'inconvénient (bien que celle de papiauche me semble beaucoup plus rapide mais un brin plus ardue)
suis-je bete ,en lisant les post je me suis rendu compte que ma réponse est la meme que celle de Bamby

merci a vous et ne vous inquiettez pas je renvoie un autre probleme le plus tot possible


un vieux proverbe chinois dit que lorsqu'on a rien a dire on cite généralement un vieux proverbe chinois

 #11 - 26-09-2008 21:50:27

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

Les 3 cerrcles

Merci perceval,

ça faisait un moment que je cherchais un soft "règle-compas".
J'en ai apprivoisé un dans le délai imparti, en me vautrant un peu.

Tant qu'on ira pas dans les intégrales curvilignes dans l'espace, j'aurai un petit effet d'expérience sur la géométrie euclidienne dans le plan.

On verra bien ce que nous dégaine 'Mon Général". big_smile


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde
 

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