Bonjour,
On a des losanges (bleus) par construction, donc on peut tracer par parallélisme les losanges rouges. Les longueurs des losanges sont toutes égales, le cercle circonscrit aux 3 points est de même rayon.


C'est le problème des cercles de Johnson...

Salut Ebichu,
En reliant les 6 points : les 3 centres des cercles et les 3 intersections des cercles 2 à 2, puis en traçant depuis les 3 centres des cercles les segments s1 à s3 vers le point commun aux 3 cercles , on obtient 3 parallèlogrammes (ça se vérifie facilement). L'intersection des parallèles à s1 s2 et s3 tracées à partir des 3 points d'intersections des cercles 2 à 2 est le centre du cercle cherché. C'est aussi le 8ème point du parallélépipède dessiné en perspective.

Bonjour Ebichu,

On prend pour origine des coordonnées le point O commun aux 3 cercles.
Les centres C1, C2, C3 des 3 cercles donnés sont situés sur le cercle de centre O et de rayon R.

Le second point commun aux cercles C1 et C2 est le point P12, symétrique de O par rapport à la droite C1.C2 :
P12 = C1 + C2 (en écriture vectorielle)
De même :
P23 = C2 + C3
P31 = C3 + C1

Le milieu du segment C1.P23 est :
( C1 + P23 )/2 = ( C1 + C2 + C3 )/2
Il en est de même des milieux de C2.P31 et C3.P12.

Les triangles C1.C2.C3 et P12.P23.P31 se déduisent donc l'un de l'autre par une homothétie de centre (C1+C2+C3)/2 et de rapport -1.                 
Ces 2 triangles sont donc égaux, et leurs cercles circonscrits ont même rayon.

Merci et félicitations aux participants, et merci à gwen27 pour la référence (cercles de Johnson).