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 #1 - 25-05-2018 23:29:53

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 757

Trois cercles concourans

Bonjour à tous.

Trois cercles de même rayon sont concourants ; en plus du point par lequel les trois cercles passent, ces cercles se coupent deux à deux en trois points.

http://www.prise2tete.fr/upload/Ebichu-concourants.png

Montrer que le cercle circonscrit à ces trois points a le même rayon que les trois autres cercles.



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 #2 - 26-05-2018 11:20:52

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,167E+3

Trois cerclees concourants

Bonjour Ebichu smile

C'est de la géométrie vectorielle .

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-quatrecercles.png

Les vecteurs de même couleur sont les côtés opposés d'un losange donc égaux , le point de contact des trois vecteurs à l'intérieur de l'hexagone est le centre du cercle recherché .

Vasimolo

PS : ça me rappelle un problème de constructions à la soucoupe proposé ici il y a un petit moment .

 #3 - 26-05-2018 11:28:56

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,820E+3

Trois cercles cooncourants

Bonjour,
On a des losanges (bleus) par construction, donc on peut tracer par parallélisme les losanges rouges. Les longueurs des losanges sont toutes égales, le cercle circonscrit aux 3 points est de même rayon.
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-3cercles.png

C'est le problème des cercles de Johnson...

 #4 - 26-05-2018 13:01:43

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 757

trois cercles cincourants

@Vasimolo & gwen27 : bonne réponse !

@Vasimolo : c'est justement en cherchant le problème auquel tu fais référence (je suis tombé dessus dans un bouquin de A. Deledicq) que j'ai découvert cette construction.

@gwen27 : je ne connaissais pas le nom, reste-t-il encore quelque chose à découvrir ? smile

 #5 - 26-05-2018 17:09:24

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3556

Trois cercles conncourants

Salut Ebichu,
En reliant les 6 points : les 3 centres des cercles et les 3 intersections des cercles 2 à 2, puis en traçant depuis les 3 centres des cercles les segments s1 à s3 vers le point commun aux 3 cercles , on obtient 3 parallèlogrammes (ça se vérifie facilement). L'intersection des parallèles à s1 s2 et s3 tracées à partir des 3 points d'intersections des cercles 2 à 2 est le centre du cercle cherché. C'est aussi le 8ème point du parallélépipède dessiné en perspective.

 #6 - 27-05-2018 13:29:02

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 757

Trois cercles cnocourants

@nodgim : bonne réponse !

 #7 - 28-05-2018 13:23:17

enigmatus
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 535

trois cetcles concourants

Bonjour Ebichu,

On prend pour origine des coordonnées le point O commun aux 3 cercles.
Les centres C1, C2, C3 des 3 cercles donnés sont situés sur le cercle de centre O et de rayon R.

Le second point commun aux cercles C1 et C2 est le point P12, symétrique de O par rapport à la droite C1.C2 :
P12 = C1 + C2 (en écriture vectorielle)
De même :
P23 = C2 + C3
P31 = C3 + C1

Le milieu du segment C1.P23 est :
( C1 + P23 )/2 = ( C1 + C2 + C3 )/2
Il en est de même des milieux de C2.P31 et C3.P12.

Les triangles C1.C2.C3 et P12.P23.P31 se déduisent donc l'un de l'autre par une homothétie de centre (C1+C2+C3)/2 et de rapport -1.                 
Ces 2 triangles sont donc égaux, et leurs cercles circonscrits ont même rayon.

 #8 - 28-05-2018 19:00:33

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 757

teois cercles concourants

@enigmatus : bonne réponse !

 #9 - 30-05-2018 11:20:17

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 757

Trois cecles concourants

Merci et félicitations aux participants, et merci à gwen27 pour la référence (cercles de Johnson).

 

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