Enigme Démonstration : le nombre d'or 1/2 @ Prise2Tete

max-le-lycéen · #1

Démontrer que 1+(1/phi)=phi
phi étant le nombre d'or égale à 1+racine carrée de 5/2
d'ailleurs si quelqu'un sait s'il y a un raccourci racine carrée sur le clavier qu'il me le dise.
merci à tous !!!

FRiZMOUT · #2

Rapidement :
[TeX]1+\frac{2}{1+\sqrt{5}} = \frac{3+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} . \frac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}} = \frac{3-3\sqrt{5}+sqrt{5}-5}{1-5} = \frac{-2(1-\sqrt{5})}{-4} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}[/TeX]
Pour le signe racine, je te conseille de tester la balise TeX, ou sinon √ mais c'est pas joli.

max-le-lycéen · #3

merci c'est sympa
cool ce site je connaissais pas

EfCeBa · #4

Sinon la démonstration inverse.

1+1/x=x
x+1=x^2
x^2-x-1=0
de la forme a*x^2+b*x+c = 0
avec a = 1, b = -1, c = -1
delta = b^2-4*a*c = 1-4*1*-1 = 5
Les solutions sont du type (-b-√delta)/(2*a) et (-b+√delta)/(2*a)
soit +phi et -phi

kosmogol · #5

1 + 1/((1+sqr(5))/2)= 1 + 2/(1+sqr(5))
= 1 + 2(1-sqr(5)) / ((1+sqr(5)(1-sqr(5))
= 1 + 2(1-sqr(5)) / -4
= 1 + (- 1 + sqr(5))/2
= 1 + (1+sqr(5)-2)/2
= 1 + (1+sqr(5))/2 -2/2
= (1 +sqr(5)) /2

cqfd

attention à la formulation : "1+racine carrée de 5/2" la moitié de (1 + racine carrée de 5) serait plus correcte, car en lisant ton énoncé, on écrit phi = 1 +sqr(5/2).

perceval · #6

[TeX]1+\frac{1}{phi}=phi[/TeX]
phi²-phi-1=0

équation du second degré avec pour solutions
[TeX]\frac{1+sqrt{5}}{2}[/TeX][TeX]\frac{1-sqrt{5}}{2}[/TeX]

amandap · #7

Il suffit de calculer phi au carré et phi +1 ... Oh magie on obtient l'égalité... phi étant positif tu divises...

LeSingeMalicieux · #8

Prenons l'égalité suivante : 1 + 1/φ = φ

1 + 1/φ = φ
(φ + 1) / φ = φ
φ + 1 = φ²
φ² - φ - 1 = 0

Oooohhh un polynôme du second degré (rhooo ça remonte à loin ça )

Je calcule le discriminant :
Δ = (-1)² - 4 . 1 . (-1)
Δ = 1 + 4
Δ = 5

Δ est positif, donc il y a deux solutions S1 et S2 à l'équation 1 + 1/φ = φ :
S1 = (1 + √5) / 2
S2 = (1 - √5) / 2

Le nombre d'or φ = (1 + √5) / 2 est donc une des deux solutions de cette équation.

Je n'ai pas utilisé les propriétés de la suite de Fibonacci, la résolution en serait sans doute plus simple. Donc j'éditerai peut-être

MthS-MlndN · #9

Tu fais faire tes DM par des fans d'énigmes, toi ? Y en a qui s'emmerdent pas, dis-moi

C'est que du calcul, tu prends 1 + 1/phi, tu remplaces phi par sa valeur (sachant que 1/phi c'est l'inverse de phi, soit 2/(1+sqrt(5)), tu multiplies en haut et en bas par 1-sqrt(5) comme t'as (normalement) appris à le faire en cours, tu fous tout au même dénominateur, et pouf, ça te donne phi, CQFD.

Il y a des sites plus adaptés à ce genre de choses qu'un site d'énigmes

PeteZah · #10

1 + 1/phi =
1 + 2 / (1 + sqrt(5)) =
(3+sqrt(5))/(1+sqrt(5)) =
((3+sqrt(5)/2)/phi
Or, phi² = (1+sqrt(5))²/2² = (1+2sqrt(5)+5)/4 = (3+sqrt(5))/2
1+ 1/phi = phi²/phi
1+1/phi = phi, puisque phi != 0

kosmogol · #11

MthS-MlndN a écrit:
Il y a des sites plus adaptés à ce genre de choses qu'un site d'énigmes

Tout à fait, mais de temps en temps (que cela ne recommence pas avant plusieurs mois ), cela nous fait tellement plaisir

MthS-MlndN · #12

kosmogol a écrit:
MthS-MlndN a écrit:
Il y a des sites plus adaptés à ce genre de choses qu'un site d'énigmes
Tout à fait, mais de temps en temps (que cela ne recommence pas avant plusieurs mois ), cela nous fait tellement plaisir

Ouais, dans un sens ouais... C'est juste que le côté "énigme" était du coup un peu absent

Poinsard · #13

Bonjour à tous(tes). Est-il possible de démontrer que 1+1 peut être supérieur à 2 ? Merci de vos réponses éclairées.

MthS-MlndN · #14

Précise "strictement supérieur", sinon ça fait une démonstration trop simple

Sinon, tu auras peut-être des fausses démos pour prouver que 1+1=3, ou ce genre de choses... la plupart du temps basées sur une discrète division par zéro.

Ou un vieux bidouillage sur les bases ("1+1=10, sé du binair, lol mdr").

Ou une démonstration du genre "redéfinissons l'addition dans un autre cadre que celui de la théorie ZFC"

scarta · #15

Poinsard a écrit:
Est-il possible de démontrer que 1+1 peut être supérieur à 2 ?

Oui ... en biologie

Ca me rappelle une blague. Quelques scientifiques sont confrontés à un problème dont voici l'énoncé: "Deux personnes entrent dans une maison vide à un instant t0, et ressortent à 3 un instant t1 > t0. Personne n'est entré dans la maison entre les instants t0 et t1. Comment cela peut-il s'expliquer ?".
Parmi eux, un physicien déclare: "En vertu de la conservation de la masse et de l'énergie, c'est impossible". Un biologiste arrive et dit: "C'est tout simple, c'est un mécanisme classique de reproduction".
Enfin, un mathématicien donne son avis: "A l'instant t2 > t1 où une personne rentrera dans la maison, elle sera vide à nouveau"

une nulle en math · #16

J'ai le meme dm a faire mais je je comprend strictement rien aux réponses que vous avez proposé :s
en simple sa donne quoi ?

gwen27 · #17

En simple, elle a du partir accoucher.

Emigme · #18

De quel problème tu parles ? De celui de max-le-lycéen ou de la blague de scarta ?

shadock · #19

Vous ne connaissez pas le théorème du physicien :
2+2=5 pour de très grandes valeurs de 2

En maths ça donnerait :
[latex]\lim_{2 \to \infty} 2+2=5[/latex]

(cf.désencyclopédie)

Flying_pyros · #20

Emigme · #21

+1

lolilol_de 33 · #22

J' étais absente durant une semaine et la prof de maths nous a donné un dm. Pourriez-vous m'aider s' il vous plait:
1) on considère le nombre φ=1+V5 tout sa sur 2
a)calculer et comparer φ² et φ+1
Merci :)

MthS-MlndN · #23

MthS-MlndN a écrit:
Tu fais faire tes DM par des fans d'énigmes, toi ? Y en a qui s'emmerdent pas, dis-moi

(...)

Il y a des sites plus adaptés à ce genre de choses qu'un site d'énigmes

Je renouvelle ces dires. Ce n'est que du calcul pur et dur, le fait que tu te sois absenté une semaine ne devrait pas t'handicaper. Il faut juste savoir écrire le carré d'une fraction, le carré d'une somme (identité remarquable), et penser a tout mettre au même dénominateur a la fin.

kosmogol · #24

Jolie réponse Mathias, on voit que la sagesse t'a gagnée !

MthS-MlndN · #25

Sous vos applaudissements.

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