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 #1 - 30-01-2011 22:37:00

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Un peu de démonstratio n!

Soient a, b , c les mesures des trois côtés d'un triangle quelconque !
Montrez que :
[TeX]a/(b+c-a) + b/(a+c-b) + c/(a+b-c)>=3[/TeX]



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"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"
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 #2 - 30-01-2011 22:57:29

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

un peu de démonsttation !

C'est faux...
Par exemple, prend a=1, b=1 et c=1,5.
Alors
c/(a+b-c)
=1,5/(1+1-1,5)
=1,5/0,5
=3
Et les autres termes sont strictement positifs. Donc la somme au final est strictement plus grande que 3.

Peut-être faut-il montrer que la somme est supérieure ou égale à 3?

 #3 - 30-01-2011 22:58:19

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Un epu de démonstration !

oui c sa Irmo332 ... dsl pour l'erreur je vais rectifier tt de suite


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #4 - 31-01-2011 11:56:55

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

Un peu de démonstratoin !

X+Y+Z=K
=>
1/X+1/Y+1/Z>> 9/K la valeur mini de cette somme est prise pour 1/X=1/Y=1/Z soit x=K/3

donc a+b+c=p
=>p/a+p/b+p/c>>9

=> M=((p/a)-2)+((p/b)-2)+((p/c)-2)>>3
on a donc

N=(1/((p/a)-2))+(1/((p/b)-2))+(1/((p/c)-2))>>9/M le minimum de cette somme est pris pour les trois valeurs égales soit

p/a=p/b=p/c soit a= b=c =p/3et p/a-2=1 donc N>>3

(p/a)-2= (b+c-a)/a


pour démontrer que 

1/X+1/Y+1/Z>>9/K

on passe déjà par

x+y=k

et étude de la fonction f(x)= 1/x+1/(k-x) sur ]0,k[

cette fonction continue est symétrique par rapport à k/2 avec son mini pour x=k/2 et f(k/2)= 4/k

 #5 - 31-01-2011 13:15:56

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

un peu dz démonstration !

Ton equation a un resultat minimal pour un triangle equilateral, et est de 3 dans ce cas.


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 #6 - 01-02-2011 02:23:40

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

UUn peu de démonstration !

J'utilise ces formules dans le triangle rectangle :
[TeX]r=\frac{2A}{a+b+c}[/latex] rayon du cercle inscrit à ABC
[latex]r_a=\frac{2A}{b+c-a}[/latex] rayon du cercle exinscrit tangent à BC
[latex]r_b=\frac{2A}{a+c-b}[/latex] rayon du cercle exinscrit tangent à AC
[latex]r_c=\frac{2A}{a+b-c}[/latex] rayon du cercle exinscrit tangent à AB
avec A aire du triangle ABC
On montre facilement que [latex]\frac1r=\frac1{r_a}+\frac1{r_b}+\frac1{r_c}[/TeX]
donc [latex]r = \frac13H(r_a,r_b,r_c)[/latex] moyenne harmonique

Or on sait que la moyenne harmonique est inférieure à la moyenne arithmétique (cf convexité)
donc [latex]3r \le \frac{r_a+r_b+r_c}3[/latex]
En simplifiant par [latex]r=\frac{2A}{a+b+c}[/latex] on a
[TeX]\frac{a+b+c}{b+c-a}+\frac{a+b+c}{a+c-b}+\frac{a+b+c}{a+b-c} \ge 9[/TeX]
Or [latex]\frac{a+b+c}{b+c-a}=\frac{b+c-a + 2a}{b+c-a}=1+\frac{2a}{b+c-a}[/latex]
Pareil pour les deux autres termes :
[TeX]1+\frac{2a}{b+c-a}+1+\frac{2b}{a+c-b}+1+\frac{2c}{a+b-c} \ge 9[/TeX]
et on arrive après simplification à :
[TeX]\frac a{b+c-a}+\frac b{a+c-b}+\frac c{a+b-c} \ge 3[/TeX]
Ouf ... Y a plus simple ?

 

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