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 #1 - 07-02-2009 14:25:48

jeansayrien
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 24

les boites dr carton

un petit commercant en bonbon a l'idée de se créer des petites boites ouvertes en carton pour son présentoire . Il achète pour ce faire une série de plaques en carton de  30 cm de côtés .
Il veut , avec chaque plaque , fabriquer des boites régulières de la plus grande capacité possible .
Pouvez-vous lui indiquer quel volume maximal il pourra obtenir ?



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 #2 - 07-02-2009 16:31:11

pop71
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 4

les boittes de carton

La largeur (comme la longueur car le carton est carré) se divise en 3 parties : 2 rebords égaux qui formeront les bords et une partie centrale qui formera le fond de la boîte.
En appelant a la longueur du fond (carré), b la longueur du rebord et l celle du carton, on a :
pour le coté : a + 2 b = l
pour le volume de la boîte : v = a^2 x b
en remplaçant b dans le volume : b=(l-a)/2
v devient : v=a^2 x (l-a)/2
soit : l x a^2 - a^3 = 2v
Le volume est extrême quand la dérivée est nulle :
v ext -> 2 a l - 3a^2 = 0 coef a^2<0 extremum = maximum
soit : 2 (2l - 3a)=0 -> a = 2 l / 3 -> b= l / 6 v= 2 l^3 / 27
Remarque : si la hauteur de la boîte était égale à sa largeur a=b=l/3, son volume serait seulement de:
a^2xb = l^3/27 soit la moitié du volume maximal.

 #3 - 08-02-2009 06:18:46

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

les voites de carton

On suppose que le but du probleme n'est pas de faire le plus possible de decoupage et de recollage, mais de faire une boite en faisant du pliage judicieux.

Une boite ouverte a 5 faces.
La plus grande boite que je trouve est carrée a la base, et ses dimensions sont de : 20 x 20 x 5
elle a donc un volume de 2000 cm3

C'est un excellent probleme.
A premiere vue, on croirait que la premiere solution qui saute aux yeux d'une boite de 10x10x10 est optimale avec un volume de 1000 cm3
En poussant un peu on trouve ensuite un cube de 1193.24 cm3 en decoupant la feuille a 45 degrés.
Puis en poussant un peu plus on se rend compte que dans ce cas precis, on peut faire mieux avec une boite dont la hauteur est la moitié des autres dimensions et on trouve 1414.213562373 cm3.

Mais enfin on peut se rendre compte qu'il n'est nul besoin de tourner la feuille a 45 degrés. En coupant dans le sens de la feuille on peut contruire une boite qui fasse jusqu'a 2000 cm3

Les coins de la feuille peuvent etre pliés pour renforcer les aretes.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #4 - 08-02-2009 15:25:31

Golfc
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 803

es boites de carton

Découpe un carré de 5 cm à chacun des angles du carton, relève les bords, et tu obtiens ainsi un volume de 2 litres.
Les dentistes te remercient....big_smile


Le temps est sage, il révèle tout. (Θαλής)

 #5 - 08-02-2009 19:58:29

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

les boites de caryon

Problème très compliqué, mais très prenant !

N'étant pas capable (la honte, j'ai beaucoup oublié de mes cours de maths) de le résoudre pour une base de la boîte rectangulaire, j'ai au moins une réponse pour une boîte avec une base de forme carrée.

Je pense que dans ce cas, la volume maximal serait de [latex]45000 / sqrt(300)[/latex] soit environ 2598,08cm².


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #6 - 08-02-2009 21:08:28

zohum
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 42
Messages : 881

les boites de cartton

15*15*11,25=2531,25cm3 ? hmm

 #7 - 08-02-2009 22:40:27

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

les boitees de carton

Sur une boîte carrée de x centimètres de côté, il lui reste (30-x)/2 cm pour les rabats.

Le volume est donc V(x) = x²(30-x)/2

Ce volume est maximal si sa dérivée est nulle.

V(x) = 15 x² - x^3 / 2
V'(x) = 30 x - 3 x² / 2 = (60 x - 3 x²) / 2 = x (60 - 3 x) / 2

Vaut 0 si x = 0 (bof...) ou x = 20 cm

Alors les rabats font 5 centimètres de haut et le volume de la boîte créée est de 20 x 20 x 5 = 2000 cm^3.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #8 - 09-02-2009 16:45:17

jeansayrien
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 24

les boited de carton

Bonjour et félicitation a celles et ceux qui ont résolu cette petite énigme .
La réponse est bien 2000 cm³ .
Il faut poser que la longueur totale d'une feuille de carton vaut "x" de laquelle il faudra déduire 2 x "a" ; "a" étant la hauteur a déterminer .
il suffira ensuite de calculer la surface de la boite  : ( x - 2a )²
ensuite le volume : v = (x-2a)² a
                              = ax² - 4a²x + 4a³
d'en calculer la dérivée première en "a"    v' = x² - 8ax + 12a²
                                                                 = 12a² - 8xa +x²
de calculer enfin les valeurs de "a" qui annulent cette dérivée ; elles sont 1/2 et 1/6 .
la valeur 1/2 donnera un volume nul ( et c'est logique car si la hauteur vaut la moitié de la longueur du carton , il n'y a plus de base ) .

petit probleme sympa
JS

 #9 - 09-02-2009 18:48:39

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

les boites de ccarton

dhrm77 a écrit:

On suppose que le but du probleme n'est pas de faire le plus possible de decoupage et de recollage, mais de faire une boite en faisant du pliage judicieux.

Ah ben tiens ça tombe mal, j'ai supposé exactement le contraire lol lol

Mais ça peut être une idée pour prolonger le problème... wink


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #10 - 09-02-2009 21:15:15

zikmu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 277

les boites dz carton

Simple question à jeansayrien

A quoi sert ta case réponse ? neutral

 #11 - 10-02-2009 20:53:28

jeansayrien
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 24

les boiets de carton

simple réponse a zikmu .

jeansayrien lol

 #12 - 11-02-2009 18:52:42

zikmu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 277

les boites de catton

Ok jeansayrien, maintenant j'y vois beaucoup plus clair...

Merci pour ta réponse...;o)

 

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