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 #1 - 17-03-2011 23:24:57

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteau 6

Eh oui mad

Là , je vous laisse un peu de temps et je fournirais des indices ( au cas où ) , Saint Pierre n'est pas là et il faut bien une bonne âme pour prendre le relai roll

Voici la dernière ânerie de mon pâtissier !!!

Pour des raisons publicitaires qui m'échappent il aimerait réaliser un disque en carton de 10 cm de diamètre schématisant une tarte affublée de 91 points rouges représentant des cerises . Il aimerait aussi fournir un calque d'un disque de 5 cm de diamètre et il offrirait gâteaux à volonté pendant un an à toute personne réussissant à recouvrir 11 cerises avec le cache . Mais bon , la pub c'est bien , mais il ne veut pas se ruiner le bougre . Comment doit-il disposer ses cerises pour qu'il n'y ait pas de gagnant ? Si c'est possible bien sûr smile

http://img402.imageshack.us/img402/130/11cerises.jpg

Bon courage !!!

Vasimolo

Bonus :

Aux dernières nouvelles il proposerait une immense tarte de 3,80m de diamètre criblée de 60 000 cerises et toujours le même calque . Il est fou ce type mad

Bonus

Indice 1 : Spoiler : [Afficher le message] Considérer tous les disques centrés sur les cerises et de diamètre 5 cm .
Indice 2 : Spoiler : [Afficher le message] L'aire de l'ensemble des disques précédents dépasse au moins dix fois l'aire d'un certain disque .



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#0 Pub

 #2 - 17-03-2011 23:50:19

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Gtâeau 36

Je vais ajouter petit à petit :

Le gâteau fais 10 cm de diamètre, donc si on place le cache avec le centre superposé avec celui du gâteau, il faut 81 cerises à l’extérieur de ce périmètre. smile

Il reste plus qu'à savoir si cela est possible. hmm


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #3 - 18-03-2011 07:58:19

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Gâetau 36

Avec 7 caches, je recouvre entièrement le gateau (un centré + 6 dont les diamètres sont les cordes de l'hexagone inscrit dans mon gateau), je recouvre donc les 91 cerises.
Si aucun cache ne recouvre plus de 11 cerises, alors les 7 ne recouvrent que 70 cerises au maximum : contradiction.
Le patissier n'a donc pas moyen de disposer 91 cerises de telle sorte que 11 d'entre elles ne puissent être recouvertes par un disque.

http://www.prise2tete.fr/upload/dylasse-gateau34a7.jpg

Remarque : si on considère que les cerises ont une épaisseur, on peut supprimer les 12 points du recouvrement à 7 caches qui ne sont recouverts que par le perimètre d'un cache en en rajoutant un huitième (on a toujours 91/8>=11).

http://www.prise2tete.fr/upload/dylasse-gateau34a8.jpg

Remarque 2 : d'après ma réponse, 71 cerises auraient été suffisantes pour ruiner notre patissier... alors, est-ce une erreur d'énoncé de Vasimolo, une erreur de résolution de Dylasse ou un piège de Vasimolo qui n'a pas pris le nombre optimisé pour nous faire cogiter un peu plus !!!

 #4 - 18-03-2011 14:13:32

Oups!
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 42
Messages : 58
Lieu: entre Roazhon et Naoned

âGteau 36

Oh ! une éclipse de soleil vu de HD 217107b, magnifique, vite mes lunettes cool

Plus sérieusement, concernant le problème, j'ai l'intuition qu'il faut disposer les cerises le long d'une spirale qui va du centre jusqu'au bord du gâteau. la densité des cerises sur cette ligne augmentant au fur et mesure que l'on s'approche du bord.

Quand à le démontrer, c'est une autre paire de manche, ce ne doit pas être par hasard que l'on aie autant de temps pour trouver.

JJ

 #5 - 18-03-2011 14:14:13

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Gâteau 336

Je ne vois pas comment il peut faire ça avec plus de 70 cerises si le masque est pour 11.

Sur le pourtour, on ne peut pas mettre plus de 10 cerises sur un arc quelconque d'angle 60°,
soit 60 cerises au total, sinon il existerait une position où un masque couvrirait 11 cerises.

Quelque soit la répartition sur les arcs de 60°, il ne reste plus qu'une très petite zone au centre, qui peut recevoir un maximum de 10 cerises, le total est 70.

Si le masque était pour 14 cerises, alors on pourrait mettre 91 cerises en 7 groupes de 13,
6 groupes sur 6 arcs de 60°, et 1 groupe au centre.

 #6 - 18-03-2011 14:49:52

Oups!
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 42
Messages : 58
Lieu: entre Roazhon et Naoned

GGâteau 36

Si les cerises étaient réparties uniformément, cela ferait 22.75 cerises par disque noir non tronqué en moyenne.

Je pense que la solution existe mais...
Il doit falloir raisonner sur des densité. Je verrais bien cette densité diminuer en allant vers le centre. Peut-être, faire une équation sur l'intersection des 2 disques quand l'un traverse l'autre (comme une éclipse).

Je vais y réfléchir...

JJ

 #7 - 18-03-2011 15:23:41

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

hâteau 36

Lemme : on peut placer placer 9 petits disques qui recouvrent l'intégralité du grand disque

Si on arrive à démontrer ce lemme, alors en plaçant 10 bougies maximum par disque, on arrive à mettre au plus 90 bougies sur le gâteau. Mais la 91ème sera forcément dans une des 9 régions, et on aura alors une région avec 11 bougies, ce que refuse le pâtissier !
La chose est donc impossible

Démonstration du lemme :
Je suis en train de faire une figure : on trace l'hexagone inscrit dans le grand disque de côté le rayon du grand disque. 6 disques auront chacun pour diamètre un côté de l'hexagone, et les 3 autres auront pour diamètre les segments reliant un sommet de l'hexagone au centre du grand disque (on prend un sommet sur 2).
Ca sera plus clair avec une vraie figure ...

... que voici !
http://www.prise2tete.fr/upload/L00ping007-gateau36.jpg


EDIT
Et ton message me confirme qu'on peut faire mieux, je m'en doutais, mais je suis contenté de trouver 9 zones, comme tu parlais de 91 bougies big_smile
La question serait donc de savoir quel est le nombre minimum de disques de 5cm de diamètre permettant de recouvrir le grand disque ... Moins que 9, apparemment big_smile
La figure suivant montre qu'on peut le faire avec 7 zones. Je ne pense pas qu'on puisse faire mieux, mais je n'en suis pas sûr !

http://www.prise2tete.fr/upload/L00ping007-gateau36bis.jpg

 #8 - 18-03-2011 15:58:45

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2708
Lieu: Luxembourg

Gâteau 6

Bonjour,
Je pense qu'il y aura toujours un gagnant.
En effet, le pâtissier aura intérêt à répartir les cerises le plus uniformément possible car une sous-densité de cerises sur une zone entraînerait forcément une sur-densité ailleurs, ce qui aggraverait la situation.
Or le rapport des surfaces est de (pi D2 / 4) / (pi d2 / 4) = (D/d)2 = 4.
On est donc sur de couvrir au moins ent(91/4) = 22 cerises avec le cache.
Même avec 22 cerises (au lieu de 11), il y aura toujours un gagnant.
Tiens, me serais-je trompé dans mon raisonnement ? Ou Vasimolo aurait-il compté les cerises un peu trop rapidement ?
Bonne journée.
Frank

 #9 - 18-03-2011 16:28:11

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Gââteau 36

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-gateau36.png

En fait l'angle de 66, 66 ° est choisi car la marge de manoeuvre est entre 60° et environ 70° ( tangentes au cache ) Entre ces deux valeurs, il n'y en a que 4 qui permettent cette solution, de manière à ce que la dernière cerise retombe sur la première :

Alpha / 5 doit être un diviseur entier de 360

ce qui laisse 360 x5 /alpha entier avec alpha compris entre 60 et 70 ce qui laisse le choix entre 26, 27, 28, ou 29 cerises par cercle.

 #10 - 18-03-2011 17:55:35

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteu 36

Beaucoup de réponses astucieuses smile

Pour ceux qui s'étonnent de la trop grande simplicité du problème ( Eh oui il y en a lol ) une suite est prévue et il va falloir trouver d'autres arguments .

Mais bon , à chaque jour suffit sa peine mad

Bonne recherche , bravo à ceux qui ont trouvé et merci pour les jolis dessins .

Vasimolo

PS : on suppose que les cerises n'ont pas d'épaisseur .

 #11 - 18-03-2011 19:01:03

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtaeu 36

Un petit bilan smile

Dylasse & Halloduda : parfait !
Oups : ne cherche pas trop compliqué le temps alloué à l'énigme est réservé à des prolongations ( au cas où ) .
007 : juste , on peut encore faire mieux smile
Franky et Gwen : je ne suis pas convaincu sad

Vasimolo

 #12 - 18-03-2011 19:09:52

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Gâteeau 36

Je t'avouerais que moi non plus... mais bon, au moins j'aurais tenté.  Je ne suis pas doué pour ce genre de problèmes.

 #13 - 18-03-2011 21:40:24

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

gâtrau 36

J'aurais tendance à dire que ça n'est pas possible.
C'est approximatif mais voilà :
Soit une configuration des bougies.
Soit C le grand cercle (le gâteau), et E l'ensemble des cercles inscrits dans C, et soit b(c) = nombre de bougies cerises couvertes par c pour c€E.

Examinons m=max b(c) (pour c€E), autrement dit, m est le plus grand nombre de bougies capturées dans un cercle c pour la configuration courante.
On souhaite que m soit inférieur à 11, or m est minimal (?) quand tous les b(c) sont égaux à la moyenne attendue (l'idée étant que si un c en couvre moins que la moyenne, un autre devra en couvrir plus).
Or, la moyenne est donnée par (bougies/surface de C) * (surface de c), soit 91/(pi.R^2)*(pi.r^2) avec R=10 et r=5, soit 91/4=22,75 bougies



Soit dC la densité moyenne de cerises sur le gâteau (dC=91/(pi.R^2)) et d(c) celle sur un c€C quelconque (d(c)=b(c)/(pi.r^2)).
Il est impossible que pour tout c, d(c)<dC sinon les c€E ne recouvrirait pas toutes les cerises (ça me paraît évident mais y a un trou là).
Donc il existe au moins un c0 tel que d(c0)>=dC.
Mais alors, b(c0)=d(c0).pi.r^2>=dC.pi.r^2=91/(pi.R^2).pi.r^2=22,75 : près du double de ce qu'il faudrait !?

Addendum :
E ne contient pas E' l'ensemble des cercles non-inscrits dans C (ceux qui chevauchent), mais si on les considère, il existe a fortiori au moins un c0 tel que d(c0)>=dC. Ca ne change pas le résultat d'impossibilité.

 #14 - 19-03-2011 13:30:01

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtea 36

@Gasole

Tu fais couler un peu trop de suif sur mes cerises , mais bon l'idée est là smile

@Tous

Ce soir ou demain , je donne un développement au problème , je pense que les idées développées par Dylasse , 007 et autres donneront une bien meilleure borne que la mienne , mais comme l'idée est simple elle mérite qu'on si attarde un peu .

Bon courage à ceux qui cherchent tongue

Vasimolo

 #15 - 19-03-2011 13:51:08

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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Lieu: Toulouse

Gâteeau 36

lol oui, pourquoi je parle de bougies moi ? big_smile

 #16 - 19-03-2011 23:42:39

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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gâtrau 36

J'ai ajouté un petit bonus pour ceux qui ont dévoré le problème trop goulûment pour l'apprécier smile

Vasimolo

 #17 - 20-03-2011 14:09:23

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Lieu: Ardèche

Gâteau 6

Bonus diamètre 3.80 m, masque 5 cm.

Avec une structure de cercles concentriques comme dans le problème initial,
23872 cerises, la structure n'est pas adaptée.

Sauf erreur de calcul, je ne dépasse pas 26610 cerises avec une structure hexagonale
symétrique, avec cerise au centre.

 #18 - 20-03-2011 18:47:30

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteau 63

@Halloduda

Je te fais confiance pour les calculs mad

L'idée du Bonus serait plutôt : peut-on répondre à la question "sans effort" ? La borne étant volontairement large smile

Il y a une réponse en quelques lignes , sans calcul compliqué ou configuration fantaisiste .

Vasimolo

 #19 - 20-03-2011 19:23:02

gasole
Elite de Prise2Tete
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Gâteau 336

Y a pas une autre boulangerie dans ton patelin ? smile

L'approche précédente donne 10,38 comme quantité moyenne de cerises pour chaque c, comme par hasard... wink avec dC~0,53 cerise/cm2


Une question me brûle les lèvres, les cerises ont-elles une surface ? Ou, est-il possible de couvrir 10 cerises plus une demi par exemple ?

 #20 - 20-03-2011 23:53:20

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteauu 36

Les cerises sont assimilées à des points smile

La méthode que j'utilise compare des aires "à la louche" , ce n'est pas de la patisserie fine smile

Je donnerai un nouvel indice demain si personne ne trouve d'ici là !

Je parle du Bonus car pour la question initiale il y a plein de bonnes réponses avec parfois des améliorations importantes smile

Vasimolo

 #21 - 21-03-2011 00:30:05

gasole
Elite de Prise2Tete
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Gâteeau 36

Toujours pas possible ?

Si c'était possible et si les cerises sont des points, alors la densité de 10,4 ne peut être atteinte en couvrant des morceaux de cerises, chaque cercle c couvre donc au plus 10 cerises (puisqu'il faut arrondir), mais alors chacun a une densité moyenne d'au plus 10/(pi.r^2) et donc (?) la densité moyenne sur tout le gâteau est aussi inférieure à 10/(pi.r^2) ce qui permet 10/(pi.r^2)*(pi.R^2)=57760 cerises, pas plus.

 #22 - 21-03-2011 08:37:48

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtteau 36

@Gasole

En quoi le fait que la densité de cerise moyenne recouverte par un disque de diamètre 5 cm soit supérieure à 10 entraine-t-il forcément l'existence d'un tel disque recouvrant au moins 11 cerises ?

Ca marche aussi avec une couronne , une étoile , un rectangle ?

Vasimolo

 #23 - 21-03-2011 08:51:10

gasole
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1117
Lieu: Toulouse

gâreau 36

Parce que c'est une surface convexe. J'imagine que ça doit se déduire d'un truc connu que je ne connais pas.

J'avoue que le passage de "pour tout disque c, la densité est <= d" à "la densité est <= à d sur tout le grand disque" est une question très intéressante et qui me turlupine. Je ne trouve rien de tout fait et ne vois pas très bien comment faire en général...

 #24 - 22-03-2011 17:04:21

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteu 36

C'est sûrement de ma faute 007 mais je ne comprends pas ton argument hmm

Vasimolo

 #25 - 23-03-2011 17:35:26

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

fâteau 36

@Gasole

Tu peux copier 100 fois : "Des cerises c'est pas des bougies"  lollollol

Vasimolo

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