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 #1 - 29-08-2009 20:49:37

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4959

Un héritage PT2

Bonjour big_smile

Le champion toutes catégories de P2T veut répartir sa fortune entre tous les participants du forum . Comme il est très joueur , il veut que le partage se réalise de la façon suivante :

On tire au sort les forumeurs à tour de rôle et on attribue :

au 1 er    :   S plus une fraction F du reste
au 2ème  : 2S plus une fraction F du nouveau reste .
...
au nième : nS plus une fraction F du nouveau reste .

Il veut en plus qu'il n'y aie aucun reste et qu'au moins deux forumeurs aient la même part ( non nulle ) . Est-ce possible ? De façon unique ?

Bon courage !!!

Vasimolo



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 #2 - 29-08-2009 23:53:02

Lumina+
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 41
Messages : 25

Un héritage 2PT

Je recommence (j'avais commencé par un truc faux...). Je note T la fortune totale.

Existence avec :
F = 1/(n+1)
S = 1/(n²)*T
Alors tout le monde recevra exactement la même part.

Démonstration par récurrence :
Si les k premiers forumeurs ont reçu chacun (1/n)*T alors il reste ((n-k)/n)*T à distribuer. Le suivant recevra :
(k+1)*S + F*(nouveau reste)
= (k+1)*S + F*(((n-k)/n)*T - (k+1)*S)
= (k+1)*S + (1/(n+1))*(((n-k)/n)*n²*S - (k+1)*S)
= (k+1)*S + (1/(n+1))*(n²-n.k-k-1)*S
= (k+1)*S + (n-k-1)*S
= n*S
C'est à dire la même somme. CQFD.

 #3 - 30-08-2009 13:58:59

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 949

un héeitage p2t

Une manière très équitable de de partager la fortune A entre n personnes est de donner autant à chacun : A/n.

Cela correspond à S=A/n² et à F=1/(n+1).

Il suffit de calculer la valeur de F pour l'individu n° k dans l'hypothèse du partage équitable :
- avant de payer celui-ci, il reste (n-k+1)A/n à distribuer.
- il reçoit d'abord kS c'est-à-dire kA/n²
- le complément qu'il reçoit est donc A/n- kA/n², soit (n-k)A/n², à comparer à la somme qui restait, (n-k+1)A/n - kA/n², soit (n²-(k-1)n-k)A/n²
Comme (n²-(k-1)n-k)=(n-k)(n+1), on voit que le rapport vaut 1/(n+1) et ne dépend donc pas de k.

Y a-t-il des solutions moins équitables ? Peut-être...


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #4 - 30-08-2009 15:45:48

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Un éhritage P2T

Soit P la fortune de PdT,S la somme et 0<F<1 la fraction du reste
Posons la suite suivante
[TeX]U_1[/latex]=[latex]S+F(P-S)[/latex]=[latex](1-F)S+F\times P[/latex] et
[latex]U_n[/latex]=[latex]nS + F(U{n-1}-nS)[/TeX]
montrons par récurrence que [latex]U_n[/latex]=[latex](n-\sum_{i=1}^{i=n}F^i) \times S + F^n\times P[/latex]
pour n=1[latex]U_1[/latex] est vérifiée
On suppose vraie la formule au rang n-1 montrons le au rang n
[TeX]U_n[/latex]=[latex]nS + F(U{n-1}-nS)[/TeX]
[TeX]U_n[/latex]=[latex]nS + F(((n-1)-\sum_{i=1}^{i=n-1}F^i) \times S + F^{n-1}\times P-nS)[/TeX]
[TeX]U_n[/latex]=[latex]nS + ((n-1)F-\sum_{i=2}^{i=n}F^i \times S + F^n\times P-nSF[/TeX]
[TeX]U_n[/latex]=[latex]nS + (n-1)FS-\sum_{i=2}^{i=n}{F^i}\times S  + F^n\times P-nSF[/TeX]
[TeX]U_n[/latex]=[latex]nS - FS - \sum_{i=2}^{i=n}{F^i} \times S + F^n\times P[/TeX]
[TeX]U_n[/latex]=[latex](n-\sum_{i=1}^{i=n}F^i) \times S + F^n\times P[/TeX]
donc la formule est vraie au rang n

On sait aussi qu'il faut que [latex]\sum_{i=1}^{i=n}U_i[/latex]=P
donc [latex]\sum_{i=1}^{i=n}(i-\sum_{j=1}^{j=n}F^j) \times S + F^i\times P[/latex]=[latex]P[/latex]
donc [latex]({{n(n+1)}\over 2}  - \sum _{i=1}^{i=n}iF^{n-i+1})\times S[/latex]=[latex]P\times (1-{{1-F^{n+1}}\over{1-F}})[/latex]

De plus il faut que 2 personnes aient la même somme d'argent donc
il existe [latex] p<q \in[1;n] U_p=U_q[/latex] donc
[TeX](p-\sum_{i=1}^{i=p}F^i) \times S + F^p\times P[/latex]=[latex](q-\sum_{i=1}^{i=q}F^i) \times S + F^q\times P[/TeX]
donc [latex](q-p-\sum_{i=p}^{i=q}F^i) \times S = (F^p-F^q)\times P[/latex]

 #5 - 01-09-2009 22:55:10

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4959

Un héritae P2T

Bon , un problème qui résiste en tout cas pour l'unicité hmm

Lumina+ et scrablor ont bien montré l'existence d'une solution pour laquelle toutes les parts sont égales mais est-ce la seule ?

Pour faire un petit historique du problème , cette énigme s'inspire d'un fameux problème de Nicolas Chuquet : "Des frères se partagent un héritage . Le premier prend 100 € et 10% du reste , le deuxième 200 € et 10% du reste , le troisième 300 € et 10% du reste , et ainsi de suite . Ils ont alors la même part . Combien y-a-t-il de frères ? A combien se monte l'héritage ?"

La personne qui m'avait communiqué le problème oralement m'avait seulement indiqué "deux frères ont la même part" que j'avais interprété comme "il existe deux frères qui ont la même part"  . J'avais tout de même trouvé une solution à l'exercice qui m'avait semblé quand même assez costaud . C'est bien  des années plus tard que j'ai découvert le vrai problème qui m'a alors paru bien simple smile

J'avais pensé comme gabrielduflot à trouver une relation entre les [latex]U_k[/latex] et je suis tombé sur [latex] U_{k+1} = (1 - F) (U_k+S)[/latex] . Je vous laisse réfléchir à la suite ( aucun calcul astronomique ou récurrence monstrueuse ) . Bien sûr si personne ne trouve je donnerai un deuxième indice .

Merci à ceux qui ont bien voulu participer big_smile

Vasimolo

 #6 - 06-09-2009 00:18:13

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4959

Un hérittage P2T

Dernier indice avant la réponse big_smile

En utilisant l'indice précédent on obtient sans problème :

[latex]U_{k+1}-U_k=(1-F)(U_k-U_{k-1})[/latex] . Que penser alors de la suite finie [latex]U_k[/latex] ?

Vasimolo

 #7 - 06-09-2009 13:35:42

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

un géritage p2t

Si [latex]U_{k+1}-U_k=(1-F)(U_k-U_{k-1})[/latex] Alors [latex]U_{n+1}-U_n=(1-F)^n(U_1-U_{0})[/latex] puisque 0<F<1 donc 0<1-F<1 et donc [latex]\lim_{n +inf}U_{n+1}-U_n[/latex]=0 donc au bout d'un moment [latex]U_{n+1}=U_n[/latex]

 #8 - 06-09-2009 18:45:17

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4959

Un hérritage P2T

gabrielduflot cool

Le problème est que le nombre d'héritiers est fini mad

Vasimolo

 #9 - 06-09-2009 18:52:22

DOC91
... & Mr Hyde
Enigmes résolues : 49
Messages : 2038

Un hériage P2T

donc trop tard lol

OK je sors smile


"Le bonheur est la seule chose qui se double si on le partage"

 #10 - 10-09-2009 23:18:44

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4959

Un hhéritage P2T

Bon ne laissons pas traîner ce problème plus longtemps big_smile

L'égalité [latex]U_{k+1}-U_k=(1-F)(U_k-U_{k-1})[/latex] entraîne que [latex]U_{k+1}-U_k[/latex] est strictement du même signe que [latex]U_k-U_{k-1}[/latex] c'est à dire que [latex]U_k[/latex] est strictement croissante , strictement décroissante ou constante . Si elle prend deux fois la même valeur elle ne peut être que constante et on retrouve ce qui a déjà été dit smile

Vasimolo

 

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