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 #1 - 13-01-2011 22:59:52

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

pas trop o2t ?

http://bouillon-de-culture.wifeo.com/images/t/tri/TRIP2T.gif

AB = AC
AH = BC
^H = 90°

^A = ?



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C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
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#0 Pub

 #2 - 14-01-2011 01:17:02

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Pas trop P2T ??

Je trouve [latex]\arccos(\sqrt 3 - 1)\approx 43^{\circ}[/latex]

Si on suppose que [latex]AB=AC=1[/latex], alors [latex]AH=\cos a[/latex] et [latex]CH=\sin a[/latex].

De plus, [latex]BC^2 = HB^2 + HC^2 = (1-\cos a)^2 + \sin^2 a[/latex], et on veut [latex]BC=AH=\cos a[/latex].

On développe l'équation :
[TeX]\left(\cos^2 a = (1-\cos a)^2 + \sin^2 a\right)[/TeX]
[TeX]\equiv \left(\cos^2 a = \cos^2 a + 1 - 2\cos a + \sin^2 a\right)[/TeX]
[TeX]\equiv \left(0 = 1 - 2\cos a + (1-\cos^2 a)\right)[/TeX]
[TeX]\equiv \left(\cos^2 a +2\cos a -2\right)[/TeX]
[TeX]\equiv \left((\cos a + 1)^2 - 1 -2 = 0\right)[/TeX]
[TeX]\equiv \left(\cos a = \pm\sqrt 3 - 1\right)[/TeX]
dont on ne retiendra que la solution [latex]\cos a = \sqrt 3 - 1[/latex], d'où [latex]a = \arccos(\sqrt 3 - 1)[/latex].

 #3 - 14-01-2011 09:39:20

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Paas trop P2T ?

Cela ne me parait pas trop P2T en effet.

AH = AC * cos a = BC = 2 * AC * sin (a/2)
soit cos a = 2 sin (a/2)

Je ne sais pas résoudre une telle équation, mais avec l'aide d'Excel je trouve :

                    a =42.9414°

 #4 - 14-01-2011 11:02:18

Barbabulle
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 237

pad trop p2t ?

soit x l'angle recherché.

nous avons
(1). cos(x)=AH/AC = AH/AB
la bissectrice de  est aussi la hauteur, donc
(2). sin(x/2)=BC/2AB

(1) nous donne AH=AB.cos(x)
(2) nous donne BC=2.AB.sin(x/2)

or AH=BC, soit
cos(x)=2*sin(x/2)

ce qui nous donne alors : [latex]x=4\arctan(1+\sqrt{3}-\sqrt{3+2\sqrt{3}}) = 42,94^\circ[/latex]


La paix dans le monde n'est pas menacée par les révoltés, mais par les soumis.        Georges Bernanos

 #5 - 14-01-2011 13:14:32

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

Pa strop P2T ?

soit M le milieu de BC

AM est hauteur du triangle isocèle ABC

cos A=cos2a= AH/AC=BC/AB

sin a =MB/AB=BC/2AB


cos2a=1-2sina^2=1-2 (BC^2)/(4AB^2)


cos2a=1-cos2a^2/2

cosA=0.7320

A=0,749rd ou 42.5deg

 #6 - 15-01-2011 00:06:56

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

pas trop o2t ?

D'après le théorème d'Al-Kashi :
[TeX]BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.\cos(\hat{A})[/TeX]
[TeX]AH^2=AB^2+AB^2-2AB^2\cos(\hat{A})[/TeX]
[TeX]\cos(\hat{A})=1-\frac{AH^2}{AB^2}[/TeX]
Or on sait que :
[TeX]\cos(\hat{A})=\frac{AH}{AC}=\frac{AH}{AB}[/TeX]
donc [latex]\cos(\hat{A})[/latex] est solution de l'équation
[TeX]x^2+x-1=0[/TeX]
On élimine la solution négative, et
[TeX]\cos(\hat{A})=\frac{\sqrt{5}-1}{2}[/TeX]

 #7 - 15-01-2011 00:20:09

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

pas trop o2t ?

cinq equations et cinq inconnus:
(1) AH² + CH² = AC²
(2) HB² + CH² = CB²
(3) AH + HB = AC
(4) CB = AH
(5) AC = AB

(1)-(2) => AH² - HB² = AC² - CB²
avec (4) et (3) on obtient
2AH² - HB² = AC² = (AH + HB)² = AH² + 2 AH.HB + HB²
donc
AH²-2AH.HB -HB²=0 ce qui donne une relation entre AH et HB
ou si l'on prefere la position de H
soit x = AH/HB on a l'equation x²-2x-2 = 0 qui admet comme racine positive [latex]x=1+\sqrt3[/latex]

Le cosinus de l'angle B = HB/CB
[TeX]cos(B)= \frac{HB}{AH} = \frac{1}{x} = \frac{\sqrt3-1}{2}[/TeX]
donc [latex] \rm\hat B \approx 68.5 deg[/latex]
et donc [latex] \rm\hat A = 180 - 2 * \hat B \approx 42.9 deg[/latex]


The proof of the pudding is in the eating.

 #8 - 15-01-2011 20:41:49

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Pas trop P2 T?

42.941402865 =  cos⁻¹ (√3−1)


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #9 - 15-01-2011 22:31:59

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3316

Pas rop P2T ?

[TeX]0<A<90[/TeX]
Si HC tend vers l'infini A tend vers 90° sans jamais l'atteindre. Je ne vois pas le but de l'énigme hmm


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
 

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