Je trouve [latex]\arccos(\sqrt 3 - 1)\approx 43^{\circ}[/latex]

Si on suppose que [latex]AB=AC=1[/latex], alors [latex]AH=\cos a[/latex] et [latex]CH=\sin a[/latex].

De plus, [latex]BC^2 = HB^2 + HC^2 = (1-\cos a)^2 + \sin^2 a[/latex], et on veut [latex]BC=AH=\cos a[/latex].

On développe l'équation :
[TeX]\left(\cos^2 a = (1-\cos a)^2 + \sin^2 a\right)[/TeX]
[TeX]\equiv \left(\cos^2 a = \cos^2 a + 1 - 2\cos a + \sin^2 a\right)[/TeX]
[TeX]\equiv \left(0 = 1 - 2\cos a + (1-\cos^2 a)\right)[/TeX]
[TeX]\equiv \left(\cos^2 a +2\cos a -2\right)[/TeX]
[TeX]\equiv \left((\cos a + 1)^2 - 1 -2 = 0\right)[/TeX]
[TeX]\equiv \left(\cos a = \pm\sqrt 3 - 1\right)[/TeX]
dont on ne retiendra que la solution [latex]\cos a = \sqrt 3 - 1[/latex], d'où [latex]a = \arccos(\sqrt 3 - 1)[/latex].

soit x l'angle recherché.

nous avons
(1). cos(x)=AH/AC = AH/AB
la bissectrice de  est aussi la hauteur, donc
(2). sin(x/2)=BC/2AB

(1) nous donne AH=AB.cos(x)
(2) nous donne BC=2.AB.sin(x/2)

or AH=BC, soit
cos(x)=2*sin(x/2)

ce qui nous donne alors : [latex]x=4\arctan(1+\sqrt{3}-\sqrt{3+2\sqrt{3}}) = 42,94^\circ[/latex]

D'après le théorème d'Al-Kashi :
[TeX]BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.\cos(\hat{A})[/TeX]
[TeX]AH^2=AB^2+AB^2-2AB^2\cos(\hat{A})[/TeX]
[TeX]\cos(\hat{A})=1-\frac{AH^2}{AB^2}[/TeX]
Or on sait que :
[TeX]\cos(\hat{A})=\frac{AH}{AC}=\frac{AH}{AB}[/TeX]
donc [latex]\cos(\hat{A})[/latex] est solution de l'équation
[TeX]x^2+x-1=0[/TeX]
On élimine la solution négative, et
[TeX]\cos(\hat{A})=\frac{\sqrt{5}-1}{2}[/TeX]

42.941402865 =  cos⁻¹ (√3−1)