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 #1 - 15-10-2009 18:38:55

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4753

Ue ligne dans un carré

Bonsoir smile

Encore un problème de niveau TS .

Dans un carré de côté 1, on trace une ligne brisée de longueur supérieure à 1000. Existe-t-il toujours un segment parallèle à un côté du carré qui rencontre cette ligne en 500 points au moins ?

Amusez-vous bien smile

Vasimolo



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 #2 - 15-10-2009 18:46:12

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Une liggne dans un carré

Mon instinct répond "oui". Je cherche une ligne brisée de longueur 1000, contenue dans un carré de côté 1, dont aucun segment ne soit parallèle à un côté du carré (sinon on a une infinité de points communs et la question est réglée). Je trouve au mieux une sorte de spirale, dont les côtés sont tous "presque parallèles" aux côtés du carré, et cette spirale fait au grand minimum 250 tours et des poussières, même en serrant bien. Donc on trouve forcément une droite parallèle à un côté du carré qui coupe cette spirale en 500 points (et même en 501 en choisissant bien lol)


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 16-10-2009 13:27:09

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Une lign dans un carré

construisons un contre exemple

on se place dans un repère orthonormé et on construit la suite de points suivants
[TeX]A_n ({n\over1000};{({n\over1000})^2})[/latex] pour n compris entre 0 et 1000

et on trace les segments [latex]A_iA_{i+1}[/TeX]
on définit cette fonction comme ceci.
C'est une fonction strictement croissante car [latex]{n\over1000}<{{n+1}\over1000} et {{({n\over1000})}^2}<{{({{n+1}\over1000})}^2}[/latex] et bijective et tous les points se situent dans le carré de côté 1

Donc puisque cette fonction est bijective quand on va tracer des droites parallèles aux côté du carré alors ces droites ne couperont cette ligne en un seul point seulement

 #4 - 18-10-2009 18:58:22

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4753

Une ligne dasn un carré

Seulement deux réponses mad

Mathias , encore une fois ton intuition est la bonne ( je te garantis que j'y trouverai une faille tongue ) . Toutefois 500 est bien un maximum comme le montre le bout de schéma ci-dessous :

http://img194.imageshack.us/img194/3484/500pointsa.jpg

Gabriel , tes points sont sur un morceau de parabole dont la longueur est inférieure à 1,5 , par convexité la longueur totale de ta ligne est aussi inférieure à 1,5 , on est donc très loin des 1000 souhaités big_smile

Un indice : on peut décomposer chaque segment-déplacement en un déplacement horizontal et un déplacement vertical smile

Vasimolo

 #5 - 18-10-2009 19:00:55

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Une ligne ans un carré

Vasimolo a écrit:

Un indice : on peut décomposer chaque segment-déplacement en un déplacement horizontal et un déplacement vertical smile

c'est pas faux yikes


http://enigmusique.blogspot.com/

 #6 - 18-10-2009 19:06:34

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4753

Une lige dans un carré

Je ne veux pas tout dire ( il y a des fines lames sur ce forum ) mais j'en dirai plus si personne ne trouve smile

Vasimolo

 #7 - 20-10-2009 18:50:57

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Une ligne dans un craré

J'ai apparemment été un peu pingre sur mon dernier indice smile

On note [latex]M_0M_1...M_n[/latex] la ligne brisée de longueur supérieure à 1000 , [latex]x_0;...;x_n[/latex] et [latex]y_0;...;y_n[/latex] les coordonnées de ces points dans le repère défini par le carré . Par l'inégalité triangulaire on a par exemple [latex]\sum_{i=1}^n|x_i-x_{i-1}|>500 [/latex] .

Peut-être quelqu'un pour continuer ...

Vasimolo

 #8 - 21-10-2009 18:13:16

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4753

une ligne dans un catré

La partie centrale de la démonstration smile

On note [latex]f_i[/latex] la fonction égale à 1 sur l'intervalle d'extrémités [latex]x_{i-1}[/latex] et [latex]x_i[/latex] et 0 ailleurs . On définit [latex]f=\sum_{i=1}^n{f_i}[/latex] .

Que vaut [latex]\int_0^1{f(t)dt}[/latex] , et que peut-on en déduire ?

Vasimolo

 #9 - 22-10-2009 23:03:03

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4753

Une ligne das un carré

Je continue encore un peu , j'espère que quelqu'un m'arêtera avant la fin smile

[latex]\int_0^1f(x)dx=\int_0^1\sum_{i=1}^nf_i(x)dx=\sum_{i=1}^n\int_0^1f_i(x)dx=\sum_{i=0}^n|x_i-x_{i-1}|>500[/latex] .

Vasimolo

 #10 - 23-10-2009 19:52:34

Vasimolo
Le pâtissier
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Une ligne dans un carrré

[latex]\int_0^1f(x)dx>500[/latex] et [latex]0 \leq f[/latex] donc [latex]f[/latex] prend au moins une valeur supérieure à 500 ... smile

Vasimolo

PS : En complétant les quelques mots qu'il reste pour conclure je me suis rendu compte que 501 est bien le minimum comme le signalait Mathias ( mon illustration ne montre d'ailleurs pas autre chose sad )

 #11 - 23-10-2009 19:55:10

DOC91
... & Mr Hyde
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Messages : 2038

Une ligne dnas un carré

Arrête, veux-tu ? lol


"Le bonheur est la seule chose qui se double si on le partage"

 #12 - 23-10-2009 20:03:06

HAMEL
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2405
Lieu: Paris

Une ligne dans un caarré

Vasimolo a écrit:

[latex]\int_0^1f(x)dx>500[/latex] et [latex]0 \leq f[/latex] donc [latex]f[/latex] prend au moins une valeur supérieure à 500 ... smile

Vasimolo

PS : En complétant les quelques mots qu'il reste pour conclure je me suis rendu compte que 501 est bien le minimum comme le signalait Mathias ( mon illustration ne montre d'ailleurs pas autre chose sad )

Comme dirait Kosmo: C'est pas faux lol


-C'est curieux chez les marins ce besoin de faire des phrases !

 #13 - 23-10-2009 20:03:18

Vasimolo
Le pâtissier
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Une lignne dans un carré

Mal de tête ?

Vasimolo

 #14 - 23-10-2009 20:06:46

DOC91
... & Mr Hyde
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Messages : 2038

une ligne dans un caeré

HAMEL a écrit:

C'est pas faux


"Le bonheur est la seule chose qui se double si on le partage"

 #15 - 23-10-2009 20:28:37

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4753

Une ligne danss un carré

Bon je finis , en fait je n'aime pas trop non plus ces problèmes un peu trop connotés "non matheux s'abstenir" ( mais j'en connais beaucoup qui aiment ) big_smile

Pour un certain [latex]x[/latex] , [latex]f(x)>500[/latex] , vu la définition de [latex]f[/latex] cet [latex]x[/latex] appartient à plus de 500 intervalles d'extrémités [latex]x_{i-1}[/latex] et [latex]x_i [/latex] donc la droite verticale passant par ce point coupe la ligne brisée en plus de 500 points .

Bon Week-end cool

Les autres énigmes que j'ai proposées sont bien moins "techniques" smile

Vasimolo

 

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