Le triangle rectangle observé a une hypoténuse de longueur constante. Sa médiane OM garde donc une longueur fixe égale à la moitié de la longueur de l'échelle. M décrit donc un arc de cercle de centre O.

La 4e, c'est loin, cependant, il semble que M soit le milieu de l'hypoténuse d'un triangle rectangle en O, donc M est le centre d'un cercle de diamètre la longueur de l'échelle et passant par O. Donc OM est constant (c'est pas du foot) : M décrit un cercle !

Le point M va décrire un quart de cercle car la distance OM avec O le sommet de l'angle droit est constante car elle vaut la moitié de l'hypoténuse car dans un triangle rectangle le centre du cercle circonscrit se trouve au milieu de l'hypoténuse

Un quart de circonférence;
dont le centre est à intersection du mur et du sol.
dont le rayon vaut: (longueur de l'échelle)/2

Démonstration
Appelons x= abscisse de M (sur le sol)  et  y= ordonnée de M (sur le mur) dans le système orthonormé dont l'origine est l'intersection o du mur et du sol;  appelons K la demi longueur de l'échelle. 
Pendant que l'échelle choit on a à tout instant dans le triangle rectangle MLx:
Mx^2 + xL^2 = K^2 ;  En observant que Mx = y  et xL = ox = x  on peut écrire
x^2 + y^2 = K^2 qui est l'équation d'une circonférence de centre o et de rayon K.  Comme l'échelle ne peut traverser ni le mur ni le sol,  la trajectoire de M est limitée à 1/4 de ciconférence

  |\
  |  \ K
y|__\ M
  |    | \
  |    |   \ K
  |__ | __\
o     x     L

Le triangle Haut Bas Coin est rectangle en C

donc MH = MC = MB d'où une trajectoire en arc de cercle centré en C de cette valeur

C'est en effet un arc de cercle

Remarquer que le point M est à distance constante du sommet de l'angle droit ( médiane relative à l'hypoténuse d'un triangle rectangle ) évite le passage aux coordonnées

Vasimolo