Enigmes

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 #1 - 15-08-2011 13:41:49

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

de l'aite !

http://nsa28.casimages.com/img/2011/08/15/110815014613219630.jpg

4 figures de même périmètre: un cercle, un hexagone régulier, un carré et un triangle équilatéral. Laquelle a la plus grande aire ?

Ce problème est à résoudre en moins de 5 minutes. wink



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C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
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 #2 - 15-08-2011 13:50:06

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2955

dr l'aire !

le cercle.

 #3 - 15-08-2011 14:05:50

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2715
Lieu: Luxembourg

eD l'aire !

Bonjour,
Sans rien calculer, je sais que c'est le cercle. En effet, le cercle est la figure géométrique plane qui a le meilleur rapport surface / périmètre
(tout comme la sphère a le meilleur rapport volume / surface dans l'espace).
Bonne journée.
Frank

Edit: Je ne sais pas démontrer cela, mais pour maximiser la surface, on sent bien que chaque segment de périmètre doit se trouver le plus loin possible du centre de gravité, d'où le cercle.

 #4 - 15-08-2011 14:15:17

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3771
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

D l'aire !

En deux secondes, le temps de l'écrire : il me semble qu'à périmètre égal, l'aire la plus grande est obtenue avec un cercle.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #5 - 15-08-2011 14:20:49

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

dz l'aire !

en toute logique le cercle ... c'est pas pour rien qu'un ballon est rond quand on le gonfle.

 #6 - 15-08-2011 14:32:28

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

de m'aire !

C'est ce que vous pensez... mais si je vous dis que c'est le carré, prouvez-moi que j'ai tort. tongue


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #7 - 15-08-2011 15:13:10

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

De l'airee !

C'est corrigé en minutes. wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #8 - 15-08-2011 15:35:31

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

De 'aire !

On va tout de même admettre que l'aire maximale est atteinte pour une figure régulière...

Facile à prouver je pense mais la flemme lol

le carré : avec a>b.... (a-b)(a+b) = a^2+b^2 -2ab < a^2
le triangle  ah/2 maxi quand h maxi soit ... h=rac(3) a /2


On en arrive à l'aire du

carré : (P/4)^2
triangle : P^2 /12rac(3)
rond : P^2/2pi ... beaucoup plus petit.

 #9 - 15-08-2011 15:39:40

nodgim
Elite de Prise2Tete
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de l'aite !

Coupons les aires selon les diagonales des figures (pour le cercle autant de diago que l'on veut) et ouvrons la figure (développons) pour mettre le périmètre en ligne droite, celui de plus forte hauteur est celui de plus grande aire (car à périmètre constant). L'aire est la moitié du produit du périmètre par la hauteur des triangles.

 #10 - 15-08-2011 17:26:20

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1922
Lieu: UK

De l'airre !

Les figures sont rangées dans l'ordre décroissant de leur aire. Plus il y a de cotés, meilleur est le ratio A/p.


The proof of the pudding is in the eating.

 #11 - 15-08-2011 18:25:33

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

De l'ire !

Il est bien connu qu'à perimètre constant c'est le cerle qui enferme la plus grande aire, c'est le problème isopérimètrique.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #12 - 15-08-2011 18:29:21

snapy
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 33

De laire !

On a 4 figures de même périmètre P. On note :
- r et Ar : le rayon et l'aire du cercle
- h et Ah : le côté et l'aire de l'hexagone régulier
- c et Ac : le côté et l'aire du carré
- t et At: le côté et l'aire du triangle équilatéral
Alors : [latex]P=2\pi r=6h=4c=3t[/latex].
On en déduit :
- [latex]r=\frac{P}{2\pi}[/latex]
- [latex]h=\frac{P}{6}[/latex]
- [latex]c=\frac{P}{4}[/latex]
- [latex]t=\frac{P}{3}[/latex]
Donc :
- [latex]Ar=\pi r^2=\frac{1}{4\pi}P^2\approx 0.080P^2[/latex]
- [latex]Ah=\frac{3\sqrt{3}}{2}h^2=\frac{\sqrt{3}}{24}P^2\approx 0.072P^2[/latex]
- [latex]Ac=c^2=\frac{1}{16}P^2\approx 0.063P^2[/latex]
- [latex]At=\frac{\sqrt{3}}{4}t^2=\frac{\sqrt{3}}{36}P^2\approx 0.048P^2[/latex]

Donc c'est le cercle qui gagne
smile

 #13 - 15-08-2011 18:35:45

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

De l'aier !

Voilà la démonstration que j'attendais. Parfait, snapy ! wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #14 - 15-08-2011 19:18:39

gelule
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 778

de m'aire !

La réponse à cette question est connue depuis l'antiquité par l'être humain et depuis l'origine par la goutte d'huile à la surface de l'eau!
Pour les curieux, l'étude des formes géométriques qui partagent un même périmètre se nomme l'isopérimétrie
Dans le cas particulier des polygones réguliers la vérification par le calcul est aisée.

 #15 - 15-08-2011 19:26:17

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

se l'aire !

C'est le cercle, bien entendu, car c'est là qu'il perd le moins de place dans les angles!
Résolu en 10 sec!


Un promath- actif dans un forum actif

 #16 - 15-08-2011 20:11:01

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

De l'aiire !

Promath: tu as bien répondu à la question, soit. C'est la démonstration qui doit prendre environ 5 minutes...


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #17 - 16-08-2011 04:16:08

Laidzep
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 35
Messages : 165

D el'aire !

- Début de la méthode bourrin -

- Pour l'héxagone régulier:

Je pose a, une arrête de l'hexagone régulier.

Aprés calcul, son aire vaut:

(racine de 3)/2 x 3 a²

- Pour le carré :

L'arrête du carré vaut:

6a/4 = 3/2 a

Son aire vaut:

9/4 a²

- Pour le triangle équilatéral:

L'arrête du triangle équilatéral vaut:

6a/3 = 2 a

Aprés petit calcul, sa hauteur vaut:

(racine de 3) x a

Son aire vaut:

(racine de 3) x a²

- Pour le disque:

Soit le rayon r, et son périmètre 2 x Pi x r.

On a 2 x Pi x r = 6 a

D'où r = 3a/Pi

Son aire vaut:

Pi x (3a/Pi)² = 9a²/Pi
                                             

On retrouve dans chacune des aires la variable a², que j'ignore. 

Je compare donc les quatre nombres suivants et qui correspondent à chacune des quatre aires:

(racine de 3)/2 x 3 [hexagone régulier]; 9/4 [carré]; (racine de 3) [triangle équilatéral]; 9/Pi [disque]

On détermine que:

(racine de 3) < 9/4 < (racine de 3)/2 x 3 < 9/Pi

Ce qui revient à:

aire du triangle équilatéral < aire du carré < aire de l'héxagone régulier < aire du disque

- Fin de la méthode bourrin -

 #18 - 16-08-2011 04:42:30

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

de k'aire !

Bonne méthode, Laidzep.


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 #19 - 16-08-2011 09:27:27

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Dee l'aire !

D'instinct, le cercle.

Je ferai les calculs plus tard big_smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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