Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

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 #26 - 30-11-2009 11:23:01

MthS-MlndN
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Deux envleoppes

Qu'est-ce qu'il ne faut pas lire... roll

Les données du problème des deux enveloppes ne sont pas en rapport avec la réponse que l'on cherche, on ne peut déduire aucune probabilité ? Premier n'importe quoi.

En revanche, l'IMC du capitaine fait pencher les probas de son âge ? Allez, on continue dans l'absurdité, maintenant l'âge du capitaine est plus facilement trouvable qu'une espérance de gain à un jeu de hasard standard.

C'est totalement n'importe quoi lol

Ou alors c'est la signification du terme "a priori" qui vous échappe dans la phrase "on peut calculer l'espérance a priori".

En tout cas, en tant que prof de maths, j'hésite entre la franche rigolade et la profonde déprime ; je vais donc choisir la solution intermédiaire : le rire aux larmes hystérique lol


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#0 Pub

 #27 - 30-11-2009 11:47:54

kosmogol
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Deux enveeloppes

hlbnet a écrit:

Ok, d'accord ... mais, pour conclure avec une espérance de gain, il faut aussi préciser dans quel rapport (100,200) aurait plus de chance que (100,50) d'être retenu par les organisateur.

Mais, quoi qu'il en soit ... on est bien en train d'utiliser des éléments extérieurs à l'énoncé.

Je donne simplement la tendance par rapport à la réalité (qui semble être un élément extérieur de la question !).


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 #28 - 30-11-2009 14:30:16

hlbnet
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deux envelopprs

Attendez ... ne prenez pas les analogies avec le problème de l'age du capitaine trop au sérieux. C'est une manière d'illustrer et d'agrémenter mon propos, rien de plus. Si l'analogie vous blesse j'en suis désolé ... et je ne défendrait pas mon analogie plus longtemps !

En revanche, concernant le calcul de l'espérance de gain du joueur, là, je ne comprends pas ce qui cloche !

Si le joueur ne change pas, il gagne 100 euros, à coup sûr. Ok, là tout le monde est d'accord.

Maintenant, si le joueur change d'enveloppe ... qu'elle est son espérance de gain ?
Facile, c'est : E= P x (-50) + (1-P) x (+100)

P étant la probabilité pour que la seconde enveloppe contienne 50 euros. 1-P est la probabilité pour que la seconde enveloppe contienne 200 euros.

Jusque là, vous suivez ?

Ensuite, tout le problème, c'est justement d'estimer P à partir des données de l'énoncé.

Malheureusement, P est totalement inconnu. Aucune information dans l'énoncé ne permet d'estimer, même vaguement, la probabilité P. C'est une valeur entre 0 et 1, inclus. Donc, E est un nombre entre -50 et +100 sans qu'on puisse en dire davantage.

Or, pour conclure, il faudrait avoir une estimation de E. Si E est supérieur à 0, il vaut mieux changer. Si E est inférieur à 0, il vaut mieux garder. Si E vaut 0 exactement, ça ne change rien. Mais, si E est totalement inconnu ... ben on ne peut rien dire.

Pour la valeur de P, je vois apparaitre des 1/2 à certains endroits, des 2/3 aussi ailleurs. Mais ces probabilité sortent d'où ? En tout cas, pas des données de l'énoncé !


S'il n'y a pas de solution c'est qu'il n'y a pas de problème (Devise Shadok)

 #29 - 30-11-2009 14:36:53

kosmogol
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deuc enveloppes

Enfin, vas-tu me répondre, dans la vraie vie cela ne se passe pas comme ça ! Pourquoi refuses-tu de le prendre en compte ? Et oui, les mathématiques n'ont pas réponse à tout, il y a aussi un facteur humain !
Ton énoncé n'était pas purement mathématique mais ancré dans le monde réel, et pour la solution, tu refuses celui-ci, étonnant !


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 #30 - 30-11-2009 14:46:54

hlbnet
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deux envelopoes

Kosmogol, oui, je suis tout à fait d'accord avec toi que proposer 50 euros à un jeu télé, c'est un peu "petit bras". 200 euros, c'est plus crédible.

J'adhère tout à fait à ta démarche ... et, oui bien sûr, l'énoncé autorise  tout à fait ce genre d'analyse. Je n'ai pas de soucis avec ça.

D'ailleurs, je dis même ça depuis le début. Je ne cesse de clamer à qui veut l'entendre que seul des raisonnements de ce genre, faisant intervenir des éléments extérieurs à l'énoncé (psychologie, habitude de ce genre de jeu, etc) permettent de formuler une réponse à la question.

En revanche, ce que certains ne semblent pas vouloir comprendre (pas toi Kosmogol), c'est que l'approche mathématique, à base de calculs de probabilité portant sur les données directement incluses dans l'énoncé, ne permet pas de répondre à la question posée. C'est une impasse. (Heu ... comme pour l'age du capitaine ... oups ... ok, je sors).


S'il n'y a pas de solution c'est qu'il n'y a pas de problème (Devise Shadok)

 #31 - 30-11-2009 16:26:34

MthS-MlndN
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Deux envelloppes

Disons que les maths apportent la réponse suivante : a priori (c'est-à-dire sans connaître plus d'informations), les deux situations sont équiprobables, d'où une espérance de gain positive en changeant d'enveloppe.

On ne peut pas transposer ce modèle mathématique dans la vraie vie, où nous verrons se concrétiser une des deux situations : c'est une analyse a posteriori. La physique quantique reprend ce genre de distinctions, puisqu'une particule peut très bien "être en plein d'endroits différents" (ce sont des probabilités a priori), jusqu'au moment de l'observation où, là, nous la voyons en un endroit particulier. L'opération s'appelle, dans ce domaine précis, une "réduction du paquet d'ondes" : on passe d'une probabilité à une certitude, donc on réduit le champ (infini) des possibles à un seul possible, qui est le concret. Je referme cette parenthèse que je n'avais même pas ouverte ^^

A priori, on a une chance sur deux de doubler nos gains, une chance sur deux de les diviser par deux, et nous le déduisons directement des données de l'énoncé. Si on rajoute des données, on modifie le calcul de probas ; mais dans les deux cas, on aura directement calculé la proba à partir des données de l'énoncé.

C'est de la probabilité, donc ça demande une certaine abstraction. Un matheux peut dire des choses sur un problème sans en connaître toutes les données, c'est même une définition parfaitement fonctionnelle de ce qu'est la probabilité : prédire sans connaître entièrement. Dire qu'un problème probabiliste n'a pas de réponse parce qu'on ne peut rien déterminer avec certitude est une antinomie.

Cette réponse me semblant complète, je ne réagirai pas plus loin sur ce problème smile


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 #32 - 30-11-2009 17:06:54

hlbnet
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Deux envelopppes

Tu dis : "a priori (c'est-à-dire sans connaître plus d'informations), les deux situations sont équiprobables". C'est là que je ne suis pas du tout d'accord.

Si quelqu'un prétends que demain, Dieu peut apparaitre subitement au sommet de la tour eiffel. On peut dire que, soit Dieu apparait, soit il n'apparait pas. Donc, à priori (c'est-à-dire sans connaitre plus d'informations), diras-tu qu'il a une chance sur deux d'apparaitre ?

C'est pareil pour le 200 et le 50. Peut-être que les organisateurs du jeu appartiennent à une secte qui ne manipule jamais de billets de 200 euros, par principe ?

Vraiment, tu ne peux pas dire, juste sous prétexte que l'énoncé ne dis rien à ce propos, qu'il y a équiprobabilité du 50 et du 200. C'est une utilisation abusive des probabilités. Ou alors, précise dans quel espace de probabilité tu te places ?


S'il n'y a pas de solution c'est qu'il n'y a pas de problème (Devise Shadok)

 #33 - 30-11-2009 17:16:57

Flying_pyros
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deux ebveloppes

hlbnet a écrit:

Peut-être que les organisateurs du jeu appartiennent à une secte qui ne manipule jamais de billets de 200 euros, par principe ?

Dans ce cas (très précis, il faut bien le dire...roll), ils mettent 4 billets de 50 Euros...big_smile

 #34 - 30-11-2009 21:43:36

MthS-MlndN
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Dex enveloppes

hlbnet a écrit:

Si quelqu'un prétends que demain, Dieu peut apparaitre subitement au sommet de la tour eiffel. On peut dire que, soit Dieu apparait, soit il n'apparait pas. Donc, à priori (c'est-à-dire sans connaitre plus d'informations), diras-tu qu'il a une chance sur deux d'apparaitre ?

Non, car j'utilise implicitement d'autres informations que celles qui sont données, à savoir mes certitudes préalables quant à la nature de Dieu et ses "envies" ou "volontés".

(Pensant pour ma part que Dieu n'a rien à voir avec ce vieux barbu à auréole triangulaire qu'on nous représente de partout, je suis persuadé qu'il n'apparaîtra jamais nulle part sous une forme vaguement humanoïde. En revanche, je pense qu'en tant qu'essence du monde, Il est déjà partout, y compris en haut de la Tour Eiffel, à n'importe quel moment. Selon comment tu tournes le problème, la réponse change, comme quoi, visiblement, Dieu n'a pas sa place dans des maths roll)

Tout ça pour dire qu'ici il y a d'autres données que celles explicitement fournies par l'énoncé, et ta question joue là-dessus, en détournant de la logique brute par le "bon sens" (disons plutôt par une sorte de préscience collective). Je parle seulement de logique, ton "problème" d'apparition de Dieu joue sur le hors-sujet.

(Et Flying_pyros t'a bien eu avec sa réponse lol wink )


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 #35 - 30-11-2009 21:47:47

kosmogol
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eDux enveloppes

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 #36 - 30-11-2009 21:59:13

MthS-MlndN
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eux enveloppes

"Il dit qu'il voit pas le rapport" hmm

Le Kosmo qui sommeille en moi a écrit:

"C'est pas faux."

lol


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 #37 - 30-11-2009 22:52:47

hlbnet
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DDeux enveloppes

MthS-MlndN je vois bien qu'on ne pourra pas se mettre d'accord tous les deux.

Tu affirmes que (100,200) et (100,50) sont équiprobables en disant simplement que ça découle de l'énoncé. Mais tu n'expliques pas comment tu arrives à ce résultat. C'est une affirmation gratuite.

Pour trancher, il faudrait que d'autres personnes, ayant des connaissances en math disent ce qu'ils pensent de la probabilité de 1/2 que tu sors de ton chapeau.

Attention, je ne veux pas dire que tu n'es pas balaise en math ... et tu l'es à coup sûr davantage que moi. Mais, tout le monde peut se tromper ... même Einstein.

(Au fait, excellent le dessin ... une pensée subtile exprimée en un dessin)


S'il n'y a pas de solution c'est qu'il n'y a pas de problème (Devise Shadok)

 #38 - 01-12-2009 10:13:53

MthS-MlndN
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Deuux enveloppes

hlbnet a écrit:

Attention, je ne veux pas dire que tu n'es pas balaise en math ... et tu l'es à coup sûr davantage que moi. Mais, tout le monde peut se tromper ... même Einstein.

"Attention, je ne veux pas dire que tu te trompes, mais je pense vraiment que tu te trompes" lol

Le 1/2 "sorti de mon chapeau" est simplement l'expression du fait qu'en répétant suffisamment de fois l'expérience "j'ouvre la deuxième enveloppe sachant que la première contient 100 et sans rien présupposer", j'obtiendrai des fréquences de 50 et de 200 qui tendront toutes deux vers 1/2.

Je conclurai ce débat stérile mais passionnant (et je ne parle pas que de mes contributions, aussi égocentrique puis-je pourtant être lol) par cet extrait intéressant de l'article de Wikipedia sur les probabilités :

Ainsi, même si des pléthores d'expérimentations valident ou non chaque jour des myriades de modèles, rigoureusement, on ne peut affirmer que la probabilité qu'une pièce jetée en l'air retombe sur pile soit 1/2. Tout au plus, on peut faire cette hypothèse de modélisation. Mais cette hypothèse peut avoir diverses conséquences selon, par exemple, que l'on accepte ou non l'existence de l'infini. (Bien sûr, on peut imaginer l'infini en mathématique, la question qui reste ouverte est : cet infini a-t-il une existence concrète ? et peut-on envisager des modèles dans lequel il n'intervient pas ?) Supposons qu'une pièce a la probabilité 1/2 de faire pile, et 1/2 de faire face. Supposons de plus que l'on vient d'assister à 10 lancer de cette pièce sur pile. Oméga est l'ensemble des lancer possibles de cette pièce et A est l'ensemble des lancer possibles donnant un face. On sait que la mesure de A divisée par celle de Oméga vaut 1/2. La probabilité de faire face, après avoir assisté aux 10 lancer de pile est alors la mesure de A divisée par : la mesure de Oméga moins la mesure de l'ensemble B correspondant aux 10 lancer ayant donné pile. La probabilité dépend du choix de la mesure, mais si l'on n'accepte pas l'hypothèse de l'existence réel de l'infini, la mesure qui s'impose dans un modèle est celle du dénombrement, on obtient alors que l'on a un peu plus de chance de faire un face qu'un pile si l'on vient d'assister à 10 réalisations de piles. (Cette probabilité est (M /2) / (M -10), où M est le nombre, que l'on ne connait pas, des lancer possibles de la pièce). Ce modèle, bien sûr, n'est pas utilisable en pratique, et on pense communément qu'il est possible de lancer un pièce une infinité de fois. ("Possible" étant à prendre au sens le plus large, c'est-à-dire ici cela pourrait donner qu'il est possible que la pièce survive à la destruction de la Terre et continue d'être lancée par des extra-terrestres...) Avec cette hypothèse commune, il s'ensuit que la mesure de B devient négligeable (car c'est 10 devant l'infini) et que l'on a autant de chance de faire un face qu'un pile, même si l'on vient d'assister à 10 réalisations de piles. (C'est l'indépendance des évènements traitée ci-dessous.)

Finalement, penser que l'on a autant de chance de faire un face qu'un pile, même si l'on vient d'assister à 10 réalisations de piles, est donc une croyance et n'a aucun caractère de vérité en dehors d'un modèle probabiliste. Par-ailleurs, c'est le bon sens communément partagé, en l'occurrence celui qui nous fait penser que des lancer de pièces sont indépendants, qui impulse la théorie et qui rend le concept mathématique de l'infini pertinent. Et non l'inverse : on ne peut donc pas démontrer que, dans la réalité, les lancer de pièces sont indépendants. Ce sont en fait les probabilités qui sont conçues pour coller à cette hypothèse.

D'où corollaire : probabilité et réalité ne sont pas du tout la même chose (toujours veiller à ne pas confondre les deux).


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 #39 - 01-12-2009 11:57:20

Milou_le_viking
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deux envzloppes

La réalité, c'est que la probabilité est de 50%.

A défaut de faire avancer le schmilblick, je le fais reculer. big_smile

 #40 - 01-12-2009 14:42:57

hlbnet
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Deux envelooppes

Milou_le_viking, de quelle probabilité parles tu ?

Celle d'un pile-ou-face, évoqué juste ci-dessus, ou bien celle qui est évoquée plus haut (probabilité que la seconde enveloppe contienne 50 ou 200) ?


S'il n'y a pas de solution c'est qu'il n'y a pas de problème (Devise Shadok)

 #41 - 01-12-2009 15:13:01

hlbnet
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Deux envelpopes

MthS-MlndN,

Je ne sais pas comment faire pour te convaincre. Je suis sincère ... et je tiens à rester uniquement dans le domaine de l'énigme, sans déborder sur des attaques personnelles. Excuse moi si ma phrase sur la possibilité que tu te trompes t'as blessé, ce n'était pas du tout le but.

Je n'arrive pas à comprendre comment tu arrives à soutenir qu'il faut changer d'enveloppe et que cela augmente l'espérance de gain du joueur de 25%.

Je ne désespère pas, alors j'essaie autrement : changeons un peu l'énoncé.
Supposons que, après le tirage aléatoire de la première enveloppe à pile ou face, le joueur n'ouvre pas l'enveloppe. Alors, l'animateur dit:

- Voilà, vous avez gagné la somme S contenue dans cette enveloppe. Elle est à vous. Mais, je vous donne la possibilité d'abandonner ce gain et de prendre l'autre enveloppe ... pour tenter de gagner davantage.

Dans cette version, la somme S est inconnue, mais on sait que la deuxième enveloppe contient soit le double soit la moitié de S.

Donc, le joueur peut calculer son espérance de gain en changeant d'enveloppe.
E = P x (S/2) + (1-P) x 2S

En prenant P = 1/2 il obtient E = S/4 + S = 5S/4 ce qui est supérieur à S.
Donc, le joueur a intérêt à changer.

Mais, l'astuce c'est que le jeu n'est pas fini. L'animateur demande à nouveau au joueur :

- Voilà, vous avez gagné la somme contenue dans cette seconde enveloppe. Elle est à vous. Mais, je vous donne la possibilité d'abandonner ce gain et de reprendre la première enveloppe ... pour tenter de gagner davantage.

Que fait le joueur ?

Avec le même raisonnement basé sur l'espérance de gain avec probabilité 1/2 ... il change à nouveau. Puis à nouveau. Puis encore ... Sans fin ... mais en pensant qu'il devient très très riche, augmentant son espérance de gain de 25% à chaque étape.


S'il n'y a pas de solution c'est qu'il n'y a pas de problème (Devise Shadok)

 #42 - 01-12-2009 15:25:21

Milou_le_viking
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Deux eneloppes

hlbnet a écrit:

Milou_le_viking, de quelle probabilité parles tu ?

Celle d'un pile-ou-face, évoqué juste ci-dessus, ou bien celle qui est évoquée plus haut (probabilité que la seconde enveloppe contienne 50 ou 200) ?

Je me suis permis de ne pas préciser vu que ça revient à la même probabilité.

Je ne vois pas ce qui te bloque.
Au départ, tu as deux enveloppes dont tu ne connais pas le contenu. Tout ce que tu sais c'est qu'un des contenu est deux plus important que l'autre. Tu tires au hasard et tu as donc une chance sur deux d'avoir la somme la plus élevée. Le problème, c'est que tu ne le sais pas même en voyant les 100€ et l'information qui te permets de le savoir se trouve dans l'autre enveloppe. Tu as toujours 50% de chance que les 100€ que tu as en mains soit la somme la plus élevée, c-à-d aussi 50% de chance qu'il n'y ait que 50€ dans l'autre enveloppe. Et donc également 50% de chance que 100€ somme la plus petites des somme et que 200€ soit dans l'autre enveloppe.

Bref, qu'on parle de pile ou face, ou d'enveloppe pleine de sous x ou 2x, 50e ou 200€, la probabilité est 50%.

 #43 - 01-12-2009 15:34:52

hlbnet
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eDux enveloppes

Ok ... tu es donc d'accord avec MthS-MlndN ... changer l'enveloppe augmente l'espérance de gain de 25%.

C'est noté ... donc MthS-MlndN mêne 2 à 1. Ca ne me fait pas spécialement plaisir ... mais bon, j'admets être en minorité.


S'il n'y a pas de solution c'est qu'il n'y a pas de problème (Devise Shadok)

 #44 - 01-12-2009 16:01:35

Milou_le_viking
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deuw enveloppes

La logique et les mathématiques n'ont rien à voir avec la démocratie. C'est pas parce qu'on est deux qu'on a raison. C'est pas non plus pour ça qu'on a tord.

Je pense avoir raison parce que je trouve ça logique.

Dis moi quelle est l'étape qui te pose problème :

1.- Tu as deux enveloppes, l'une contient X et l'autre contient 2X.
2.- Si tu tires au hasard, tu as 50% de chance de tomber sur X et 50% de chance de tomber sur 2X.
3.- Le fait de trouver 100€ dans l'enveloppe ne t'apporte aucune information quant aux satistiques.
4.- Il n'y a donc pas lieu de les changer.

5.- Il te reste les possibilités suivantes :

50% de chance d'avoir X=100€
(et donc 2X=200€ dans l'autre enveloppe)

50% de chance d'avoir 2X = 100€
(et donc X=50€ dans l'autre enveloppe)

6.- A partir de là, tu utilises la définition de l'espérance de gain pour trouver ceci :

Espérance de gain en tirant la seconde enveloppe = 50% * 200€ + 50% * 50€ = 125€

7.-
125€ étant supérieur à 100€, il est statistiquement avantageux de tirer la seconde enveloppe.

Je pense avoir saucissonné le raisonnement au maximum. On va forcément finir par tomber d'accord.
Dis-moi à quelle étape ton raisonnement diffère-t-il du mien ?

 #45 - 01-12-2009 16:47:57

altruiste
Visiteur

Deux envloppes

"L'une des deux contient une somme double de l'autre"

et si cette phrase signifiait simplement que la somme dans les deux enveloppe est la même.
Je m'explique : "une somme double de l'autre" soit le double (l'identique) de l'autre et non le double (fois 2) de l'autre.
Ce qui veut dire que prendre l'une ou l'autre enveloppe n'a pas d'importance et que quelle que soit l'enveloppe choisie ont obtient la même somme.

 #46 - 01-12-2009 16:59:22

Flying_pyros
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Deux envelopppes

Milou a écrit:

il est statistiquement avantageux de tirer la seconde enveloppe

[Mode Fabien Barthez] Je peux dire une connerie ? [/mode Fabien Barthez]

Le terme "statistiquement" me gêne un peu ici... Je comprend parfaitement ton raisonnement qui est très clair.
Mais pour moi, tu pourrais faire des statistiques si tu avais le droit à 100 tirages, par exemple. Là, ok, ton espérance de gain tendrait vers 125 € de moyenne.
Mais dans la réalité, ici tu n'as qu'un seul tirage possible.
- 50% d'avoir 50 € et donc de perdre 50 €.
- 50% d'avoir 200 € et donc de gagner 100 €.
Certes le montant de ton gain possible sera plus important que celui de ta perte possible mais ta chance d'avoir un gain reste de 50%.

Maintenant question aux spécialistes : Peut-on tirer une statistique générale d'un seul tirage comme ici ?

 #47 - 01-12-2009 17:16:56

Milou_le_viking
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Deux envloppes

Je ne sais pas si mon choix de mot est adéquat. Moi, je n'y vois pas d'objection.

Je pense cependant que tu te méprends. Après 100 tirages (et plus), le gain moyen tend vers 125€ mais l'espérance de gain vaut rigoureusement 125€ dès le premier tirage.
Il ne s'agit pas ici de faire des statistiques mais un calcul de probabilité qui conduit à un résultat statistique probable.
Je me relis et j'ai moi-même l'impression de noyer le poisson big_smile mais je pense que c'est correct.

 #48 - 01-12-2009 17:27:15

hlbnet
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Deux eenveloppes

C'est l'étape 5 qui me semble hasardeuse dans ce raisonnement.

Lorsque tu dis :

50% de chance d'avoir X=100€
(et donc 2X=200€ dans l'autre enveloppe)

50% de chance d'avoir 2X = 100€
(et donc X=50€ dans l'autre enveloppe)

... je pense que tu viens d'introduire une probabilité (50%) qui n'est pas dans l'énoncé.

Donc, cherchons à répondre à cette question :
"Quelle est la probabilité pour que X=100€ ?" en définissant X comme "la plus petite valeur contenue dans les deux enveloppes".

Le soucis c'est qu'il est très facile de confondre cette probabilité avec la probabilité de 50% qui vient du tirage à pile ou face. Je pense qu'en reformulant la question posée à cette étape, ce sera plus clair.

A cette étape, le joueur possède 100€ en main. Il sait que l'autre enveloppe contient soit 50€ soit 200€ et la question devient :
Quelle est la probabilité pour que les organisateurs aient choisit de mettre (100,50) plutôt que (100,200) dans les enveloppes ?

C'est une reformulation fidèle, non ?

On voit mieux ainsi que la probabilité que la seconde enveloppe contienne 50 ou 200 n'est pas liée au tirage aléatoire qui précède.
Elle est uniquement liée à la manière dont les organisateurs du jeu ont décidé du contenu des enveloppes.
Dire que les organisateurs avaient une chance sur deux de mettre 50 plutôt que 200 dans la seconde enveloppe, c'est une affirmation qui ne vient ni du tirage à pile ou face, ni d'aucune donnée de l'énoncé. On ne peux pas dire que les organisateurs avaient statistiquement une chance sur deux de choisir 50 plutôt que 200. En outre, le fait de savoir que l'enveloppe 1 contient 100€ ne dis strictement rien sur le fait que la seconde contienne plutôt 50€ ou plutôt 200€.

Pour moi, l'erreur dans ton raisonnement est de confondre deux probabilités qui ne sont pas obligatoirement égales.

Voici un autre calcul de probabilité, dis moi ce que tu en penses :

Au départ, on sait q'une enveloppe contient X et l'autre 2X et on ne sait rien sur X. En tirant au hasard, le joueur à une chance sur deux de tomber sur X et une chance sur deux de tomber sur 2X.

Calculons E1 l'espérance de gain du joueur, dans le cas ou il ne change pas d'enveloppe.
E1 = 1/2 * X + 1/2 * 2X = 3/2 * X
L'espérance de gain du joueur, en ne changeant pas d'enveloppe est égale à 3/2 X.

Calculons E2 l'espérance de gain du joueur, dans le cas ou il change d'enveloppe.
En changeant d'enveloppe, est-ce que le joueur augmente ses chances de tomber finalement sur 2X (ou X) ?
Non, les chances de tomber sur X ou 2X restent les mêmes, ça reste aléatoire, basé sur le tirage pile ou face de départ.
Donc, E2= 1/2 * X + 1/2 * 2X = 3/2 * X
L'espérance de gain du joueur, en changeant d'enveloppe est égale à 3/2 X.

Les deux stratégies conduisent donc à la même espérance de gain car E1=E2.


S'il n'y a pas de solution c'est qu'il n'y a pas de problème (Devise Shadok)

 #49 - 01-12-2009 17:43:26

Flying_pyros
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Lieu: Près de la mer

Deeux enveloppes

Milou a écrit:

Après 100 tirages (et plus), le gain moyen tend vers 125€ mais l'espérance de gain vaut rigoureusement 125€ dès le premier tirage

Je suis entièrement d'accord avec toi sur le calcul de l'espérance de gain. ce qui m'intrigue, c'est la possibilité d'en calculer une ici. L'espérance de gain n'a t-elle pas pour définition le fait d'être un gain moyen ?

Wiki a écrit:

L'espérance mathématique est, en probabilités, une valeur numérique permettant d'évaluer le résultat moyen d'une expérience aléatoire

Je sais que Wiki n'est pas une référence donc si les experts en math pouvaient nous donner leur définition de l'espérance de gain... car les termes sont importants dans ce cas précis.

Aussi, je renouvelle ma question (à laquelle, je ne me sens pas la capacité de répondre) : Peut-on déduire ici une espérance de gain et donc une moyenne alors qu'on part du principe qu'il n'y a qu'un tirage ?

hblnet a écrit:

Quelle est la probabilité pour que les organisateurs aient choisit de mettre (100,50) plutôt que (100,200) dans les enveloppes ?

ça ne me parait pas être le problème ici car de toute façon, on peut pas le déduire de l'énoncé, non ?

 #50 - 01-12-2009 17:58:49

hlbnet
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Deux neveloppes

Flying_pyros, justement c'est ce que je dis.

J'affirme que c'est à cette question là que répondent tout ceux qui disent qu'il faut changer d'enveloppe.

Ils attribuent 50% à cette probabilité là ... qui est pourtant inconnue.


S'il n'y a pas de solution c'est qu'il n'y a pas de problème (Devise Shadok)

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(1) — Magie enveloppe double (1) — Je suis mouille quand je seche (1) — Devinette sur l argent (1) — Deux pieces additionnees font 30 da (1) — Nous sommes tous dans le caniveau mais certains d entre nous peuvent y voir les etoiles definition (1) — J ai 2 pieces (de monnaie euro) et l ensemble des 2 fait 30cts....mais l une n est pas de 10cts...!! quelles sont ces 2 pieces??^^ (1) — Enigme deux piece font 30 cents et in y a pas de pieces de cinq (1) — Quand je suis seche je me mouille qui suis je ? (1) — Deux pieces donnent 30 centimes mais l une d elle n est pas de 10 centime (1) — J ai le double de l age que tu avais quand j avais ton age. quand tu auras mon age ensemble nous aurons 63 ans (1) — Fabriquer ces enveloppes a change (1) — Quand je seche je mouillequi sui je? (1) — 2piece additionner font 25 centime (1) — J ai 2 piece dans la main et ses piece additionne font 25 cent l une n est pas 5 cent s que valent chaque piece ? (1) — Devinette 1 euro pile (1) — Probabilitiquement definition (1) — Deux pieces additionnees font trente cent pas de 5 cent (1) — Petite devinette : pourquoi enveloppe prend 2 p ? (1) — J ai 3 fois l age que vous aviez quand j avais l age que vous avez.quand vous aurez l age que j aiensemble nous aurons 98 ans (1) — Enveloppe a change a fabriquer (1) — Quand je seche je mouille qui suis je ??? (1) — Quelle est son esperance de gain si elle choisit systematiquement la premiere nveloppe? (1) — Plus je seche plus je suis mouill?qui suis-je ? (1) — Devinette quand je seche je suis mouillee (1) — Enveloppe enigme changer (1) — Casse tete : enveloppe double (1) — Devinette 97 euros (1) — Je suis un nombre inf?rieur ? 100 je donne un reste de 7 quand on me divise par 12 ou par 15 (1) — Je suis plus petit que 200 si on me divise (1) — Je suis un nombre entier plus petit que 100 quand on me divise par 2 mon reste vaut 1 (1) — Qand je secheje me mouille qui suije? (1) — Solution devinette qu est ce qui devient plus mouille quand il seche? (1) — Qui suis-je ? je suis un nombre entier plus petit que 100 quand on me divise par deux mon reste vaut 1 (1) — Prise tete zenigme bobby 75 (1) — Enveloppes du cerveau (1) — Vous presente deux enveloppes contenant de l argent (1) — Une des enveloppes contient le double de l autre (1) — Faire 30 cents avec deux pieces sans cinq cents (1) — 49 +49+ 1 = 99 ou est l euro manquant (1) — Vous devez faire une somme de 25 centimes d euros avec 2 piece. (1) — Trouver devinette ce qui devient plus mouille comme il se seche ? (1) — Deux fois l age que vous aviez (1) — Ou peut on acheter des enveloppe non cachete (1) — Ou acheter une enveloppe cachetee (1) — Quand je seche je me mouille ? (1) — Changer d enveloppe (1) — Sachet de doliprane ouvert (1) — Qu est-ce qui devient mouille quand il seche ? (1) — 101 pi?ces : le capitaine prend 5 pi?ces (1) — Kan je seche je me mouille (1) — Quand je sech je me mouill (1) — Cercle des sages+enigme enveloppes (1) — Mouille (1) — Petit m (1) — J ai dans ma main deux pieces de monnaie d une valeur totale de 55 centimes. l une de ces pieces n est pas une piece de 5 centimes. quelles sont les valeurs de ces deux pieces ? (1) — Deux pieces qui additionne font 30 (1) — Quand je seche je mouille. qui suis-je ? (1) — 2 pieces additionnees font 30 cts enigme (1) — (1) — Enigme enveloppe somme (1) — 2 enveloppe faut il changer? (1) — Comment calculer 200 euro +25 pour cent (1) — Resolution du jeu de enveloppe casse tete (1) — Enveloppe contient de message (1) — Enigme : un probleme d age j ai deux fois l age que vous aviez quand j avais l age que vous avez. qaund vous aurez l age que j ai ensemble nous aurons 63 ans (1) — Quand je seche je me mouille quiq sui je (1) — Enigme deux enveloppe (1) — Enigme logique gain (1) — Devinette j ai deux piece le tous fait 1 euros 50 mais l une d elle n est pas un euros (1) — Enveloppes enigmes (1) — Jai 2 piece qui aditionner font 30 centime l une d elle n ai pas 5 centime (1) — C est 2 pieces de monaie additionne c est egal a 25cents mais l une d elle n est pas 20 cents alors ?? (1) — Quand je seche je mouille. (1) — Resoudre en arithmetique j ai trois fois l age que vous aviez quand j avais l age que vous ave.quand vous aurez l age que j ai ensemble nous aurons 98 ans ? (1) — Probabilite deux probleme enveloppes pile face (1) — Shadoks mouilles (1) — Deux pi?ces (1) — Devinette : je suis un nombre entier inferieur a cent quand on me divise par 2 (1) — Logique question enveloppe double argeent m (1) — Quand je seche je me mouille. qui suis-je (1) — Comment obtient t on 25 centime avec 2 pieces mais une des deux n ai pas de 5 ? (1) — 2 pieces font 30 centimes mais l une d elle n est pas 20 (1) — Quand je seche je mouille encore plus (1) — Quand je seche je me mouille .qui je suis ? (1) — Logique indecidable 25% 50% 60% (1) — Qaund je seche je me mouille???? (1) — Comment savoir ce qu\ il y a dans une enveloppe sans l\ ouvrir (1) — Sinon un probleme de maths classique une personne dit a une autre : j ai deux fois l age que vous aviez quand j avais l age que vous avez. quand vous aurez l age que j ai nous aurons ensemble 63 ans... quel est l age respectif des deux personnes ? (1) — Enigme enveloppe billets (1) — Enigme trois envelope (1) — Deux ensemble de nombres de m^me somme (1) — Deux pieces qui additionnees font 30 cents (1) — Enigme 2 piece font 30 centime (1) — Deux piece additionee font 30 cents (1) — J ai 2 pieces (de monnaie euro) et l ensemble des 2 fait 30cts....mais l une n est pas de 10cts...!! (1) — Trois chapeaux (1) — Juste une petite question je seche vraiment lol : j?ai 1032 euros en pieces de 1 ? 5 ? 10 ? 20 ? 50 centimes d?euros. sachant que j ai le meme nombre de pieces de chaque valeur quel est ce nombre ? (1) — Enigme rien*3= clous (1) — Enigme 2 pieces 30 sous (1) — Enigme quand je suis dans une enveloppe (1) — Enigme t shirt 100 euro (1) — Devinette: quand je suis seche je suis mouiller! (1) — Quand je seche je me mouille.qui suis je (1) — Ecrire le nombre 36 sous la forme dune somme de nombres posotids non nuls dont lune est le double de lautre (1) — Devinette 2 piece additionnees font 30 cent l une des 2 n est pas de 5 cent (1) — J ai deux pieces en mains qui additionner font 25 centimes d euros (?). l une d elle n est pas 5 centimes(?). quels pieces ai-je en main? (1) — Qui est la place sur le critere de l esperance mathematique et l equiprobalite? (1) — Enigme pour vous tous je ne suis qu un ou une simple inconnu(e). (1) — Jai deux pieces dont la somme vaut 15 centimes (1) — Exponentielle (1) — Enigme des deux envloppes (1) — Ouvrir 1 enveloppe (1) — 2 piece de 15 centimes dont une est de 5 centimes (1) — Jai trois fois l age que vous aviez quand j avais l age que vous avez. >>> >>> quand vous aurez l age que j ai ensemble nous aurons 98 ans. >>> >>> quels sont nos ages respectifs ? (1) — Devinette: quand je seche je me mouille (1) — Quand je seche je suis mouille (1) — Enigme cercle logique deux enveloppes (1) — Plus je seche et plus je suis mouillee enigme (1) — Comment faire 30 cts avec 2 pieces sachant qu une des deux n est pas de 10 (1) — Quand je seche je me mouille qui je suis (1) — Enigme enveloppe et argent (1) —

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