Bonsoir gwen27. Prenons votre exemple dans la liste où vous avez mis en gras "PPF", "PFP" et "FPP". Votre erreur est de lancer 3 fois LES 3 DÉS : cela fait 9 lancers de dés. Or, ce que la question demande au début du fil, est en rapport avec le fait de lancer qu'une seule fois chacun des 3 dés et non de lancer 3 fois chacun des 3 dés. C'est là qu'est l'erreur.
1-{2}-3-{4}-{5}-6
ou
1-{2}-3-4-{{5}}-6
etc.
     On a donc 3 chances sur les 6 mêmes numéros (de 1 à 6) : donc, 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6, donc 1/2. Donc, 3 chances parmi les nombres de 1 à 6. Imaginez que vous jouez à un jeu de poche qui contient 6 trous numérotés de 1 à 6 (et non 36 trous numérotés de 1 à 36 ou 216 trous numérotés de 1 à 216). Le jeu consiste à envoyer une seule fois chacune de vos 3 balles dans le trou numéroté 5. Vous avez donc en moyenne 3 chances (3 balles) sur les 6 trous que SEULEMENT L'UNE de vos 3 balles entre dans le trou numéro 5; c'est donc la moitié des chances (3 sur 6), donc 1 chance sur 2 qu'une seule balle entre dans le trou numéro 5 en moyenne.

Bonjour Nombrilist. Si avec 3 balles on a 50 % de chances (3 chances sur 6) d'entrer une seule balle dans le trou numéro 5, c'est qu'avec 6 balles on a 100 % (6 chances sur 6) de chance d'entrer une seule de ces 6 balles dans le trou numéro 5. Donc oui, avec 7 balles, on a 7 chances sur 6 qu'une seule de ces 7 balles entre dans le trou numéro 5, c'est-à-dire 100 % de chances qu'une balle y entre, plus une fraction d'une autre chance qu'une 2e balle y entre (dans le trou numéro 5), donc en plus de la 1re balle qui y est déjà entré.
     Autrement dit, parmi ces 7 balles, il y a une chance parmi ses 6 premières balles qu'une seule entre dans le trou numéro 5, mais concernant la 7e balle qui reste elle devrait être lancée 6 fois pour qu'elle ait une chance d'entrer une seule fois dans le trou numéro 5. Mais vu qu'on ne peut pas faire ainsi à cause du déséquilibre dans cet exemple, on doit donc convertir en multipliant le tout par 6 pour avoir un résultat avec un nombre entier, donc 7/6 x 6 = 42/36, donc 7 balles X 6 = 42 balles qu'on lance une fois chacune parmi les 36 trous, car "7/6 = 42/36".
     Ainsi, il y a "6+1=7" balles sur 42 balles qui entreraient en moyenne dans le trou numéro 5 parmi les 36 trous; sur 42 lancers d'une même balle, la balle entrerait en moyenne 7 fois dans le trou numéro 5.
     Ce qui nous garantie à 100 % que parmi nos 7 balles il y en a AU MOINS une qui entrera dans le trou numéro 5 parmi les 6 trous (ceci est en moyenne bien sûr), car avec 6 fois plus de lancers de ces 7 balles on a une balle de plus (6+1) qui entre dans le trou numéro 5. Ainsi, en envoyant 7 balles, on a en moyenne 7 chances sur 6 (trous) qu'il y en ait une seule qui entre dans le trou numéro 5.

... et de pire sourd que celui qui ne veut pas entendre. Ceci étant dit, j'avoue que les probabilités sont parfois difficiles à comprendre et surtout pas "intuitives".

J'aime beaucoup ce problème!
En fait c'est la possible apparition d'un double ou d'un triple qui fait gagner l'annonceur!
Et c'est aussi cela qui attire le naïf!
JOLI!

S'il est assuré que l'une des 7 balles entre dans le trou numéro 5 parmi les 6 trous, c'est toujours en moyenne, sachant que l'équilibre pourrait être atteint seulement après une journée de lancers.
Sur ce, merci à tous pour vos très intéressants échanges.

     Si vous permettez que moi aussi je joigne une petite citation aux vôtres, voici :
- " Mais celui qui est spirituel discerne toutes choses ; mais lui n’est discerné par personne. " - (1er épître de Paul aux Corinthiens, chapitre 2 verset 15) version "J.N. Darby" .

En continuant à réfléchir, Dieu a permis que je m'aperçoive que j'étais dans l'erreur sur un point. Bien que 3 lancers de dés sur 6 numéros équivaut à 1 chance sur 2, on ne doit pas ajouter ni enlever à ces chances, car elles sont précises et justes. Autrement dit, si je tire 3 dés 216 fois chacun, j'ai bien 108 chances bien juste sur 216 (1 sur 2) de tomber une seule fois sur le numéro 5; donc j'ai 36 chances pour le 1er dés de tomber sur le numéro 5, 36 chances pour le 2e dés de tomber sur le numéro 5, 36 chances pour le 3e dés de tomber sur le numéro 5; mais j'ai 6 chances pour que 2 dés tombent sur le numéro 5 et 1 chance pour que 3 dés tombent sur le numéro 5; donc 36/216 + 36/216 + 36/216 = 108/216 = 1/2, car "216 / 2 = 108". On a donc 1 chance sur 2 bien juste (108 sur 216 ) de tomber une seule fois sur le numéro 5 avec 3 dés lancés 1 fois chacun ou lancés 216 fois chacun. Où je faisais erreur, c'est quand j'additionnais à ce nombre de chances les fois où on tombait 2 fois sur le numéro 5 en même temps (donc 6 fois sur 216 que cela se produise) et 3 fois sur le numéro 5 en même temps (1 fois sur 216 que cela se produise). Je ne dois pas tenir compte de ces 6 + 1 (=7) chances, car elles font déjà parties des 108 chances sur 216, ce sont les mêmes.
     Pourquoi je dis cela ? Parce que lorsqu'on mise 1$ (par exemple) sur le numéro 5, cela nous donne 1$ de plus pour chaque dés qui tombe sur ce numéro 5 et non 1$ de plus pour uniquement le numéro 5 lui-même. Donc, si 2 dés tombent sur le numéro 5, le jeu paye 1$ pour chacun de ces 2 dés (donc 2$ en tout) et non 1$ pour l'ensemble des 2 dés sur ce numéro 5.
1-2-3-4-{{5}}-6
    C'est bien ce que la question au début du fil nous indique. Ainsi en moyenne il y a 1 chance bien juste sur 2 de tomber sur le numéro 5 une seule fois lorsqu'on lance 3 dés.
     Avec 2 dés lancés 36 fois chacun on a 12 possibilités de gains sur le numéro 5 (6/36 + 6/36 = 12 sur 36) et non 11 ou 13 possibilités vu que lorsque les 2 dés tombent ensemble sur le numéro 5 le jeu paye en double pour chacun des 2 dés dessus le numéro 5, le jeu ne paye pas seulement une fois pour le numéro 5 qui contient 2 dés, mais paye pour chacun des 2 dés qui sont sur le numéro 5.
     En lançant 2 dés 6 fois chacun, bien qu'il y ait 1 chance sur 36 que ces 2 dés tombent en même temps sur le numéro 5, on ne doit pas compter cette chance-là comme une chance de plus pour dire qu'il y a maintenant 3 chances sur 6 au lieu de 2 chances sur 6, car cette chance-là est déjà elle-même l'une de ces 2 premières chances sur 6.
     Combien sont d'accord maintenant avec moi ? :-)  Je vais donc regarder si je peux supprimer quelques lignes dans mes commentaires précédents pour ne pas induire les futurs lecteurs en erreur.

Arrêtez-moi les autres si je dis une bêtise !
...
Sur 216 lancers, on aura bien en moyenne :
a- 36 apparitions d'un "5" sur ton 1er dé
b- 36 apparitions d'un "5" sur ton 2ème dé
c- 36 apparitions d'un "5" sur ton 3ème dé
d- 6 apparitions d'un "5" sur ton 1er et ton 2ème dés
e- 6 apparitions d'un "5" sur ton 1er et ton 3ème dés
f- 6 apparitions d'un "5" sur ton 2ème et ton 3ème dés
g- 1 apparition d'un "5" sur tes 3 dés.
Total : 127 "5" !

Or tu devrais voir autant les "5" que les autres chiffres en moyenne sur 216 lancers, non ? Auquel cas, tu en verrais selon ton point de vue : 6*127=762, alors qu'en réalité tu ne dois en voir que 3 dés * 216 lancers = 648 !
C'est donc faux.

Tu ne vas pas voir en moyenne ces 127 "5", car ces cas ne sont pas disjoints (théorie des ensembles) : l'ensemble g est l'intersection des ensembles d, e et f ; l'ensemble d est l'intersection des ensembles a et b. Autrement dit : les 36 apparitions d'un "5" sur le 1er dé appartiennent à 36 lancers de 3 dés, dont certains font apparaître aussi des "5" sur le 2ème et/ou le 3ème dé.
Pour te le représenter, fais 3 disques qui se recouvrent.

Il y a bien 108 lancers unitaires qui donneront en moyenne un "5", mais comme tu l'écris toi-même certains de ces lancers unitaires se retrouvent ensemble dans le même lancer de 3 dés. Ce qui implique bien qu'il y a strictement plus de 108 lancers de 3 dès pour lesquels il n'y aura aucun "5", donc aucun gain !

Bon , on y arrive...

En gros , sans prose à rallonge, tu as eu raison ou tort ?

ManMath a écrit:

fix33 a écrit : "Ce qui implique bien qu'il y a strictement plus de 108 lancers de 3 dés pour lesquels il n'y aura aucun "5", donc aucun gain !"
     Exact [...].

Mais tu n'en déduis pourtant pas ton erreur dans la suite... Je prolonge donc le raisonnement...

Puisque cela est exact, donc, cela signifie qu'il y a strictement moins de la moitié des lancers de 3 dés qui donnent un gain. Conclusion, ce sur quoi tu ne démords pas depuis le début

ManMath a écrit:

il y a en moyenne 1 chance sur 2 d'avoir un gain

est faux.

Vu qu'avec 6 "lancers uniques" on a 100 % de chance d'avoir un gain en moyenne, alors avec 3 "lancers uniques" on a 1 chance sur 2 d'avoir un gain; donc avec chaque "lancer de 3 dés" on a 1 chance sur 2 d'avoir un gain.
     On arrive donc à la conclusion qu'en moyenne nous devons faire :
- 2 "lancers de 3 dés" (donc 6 "lancers uniques") pour faire un gain,
- 4 "lancers de 3 dés" pour faire 2 gains,
- 6 "lancers de 3 dés" pour faire 3 gains,
- 108 "lancers de 3 dés" pour faire 54 gains,
- 216 "lancers de 3 dés" (donc 648 "lancers uniques") pour faire 108 gains.
     Or, si on a un gain à chaque fois qu'on lance 6 fois un même dés, cela signifie qu'on a un gain à chaque fois qu'on lance 2 fois une poignée de "3 dés"; donc à chaque fois qu'on lance 1 fois une poignée de "3 dés" on a 1 chance sur 2 d'avoir un gain. Car dans le jeu, à chaque fois ce sont 3 dés qui se lancent en même temps. Donc on a 1 chance sur 2 "lancers de 3 dés" de gagner. Car chaque dés contient 6 numéros; ainsi à tous les 6 dés on a un gain en moyenne, donc à chaque "lancer de 3 dés" on a 1 chance sur 2 de faire ce gain.
    Qu'il y ait 1, 2 ou 3 fois le numéro "5" qui sort quand on fait 1 "lancers de 3 dés" cela ne change rien au fait qu'on a 1 chance sur 2 de gagner en moyenne, car le payement ne se fait pas sur les "groupes de 3 dés", mais sur chacun des dés qui tombent sur le numéro "5" dans notre exemple.
     Si je lance 2 fois "un groupe de 3 dés", j'ai un gain. Si je lance 216 fois "un groupe de 3 dés", j'ai 108 gains. Sur 1000 "lancers de 3 dés" (donc 3000 "lancers uniques") il y a 500 gains.
    Conclusion, ça prend 2 "lancers de 3 dés" (donc 6 "lancers uniques") pour avoir un numéro gagnant; il y a donc moins de la moitié de ces 2 "lancers de 3 dés" (dans le sens de moins de la moitié de ces 6 "lancers uniques") qui donnent un gain, car il y a un seul gain sur 6 "lancers uniques" (un seul gain parmi 2 "lancers de 3 dés"). Or, bien qu'il y ait moins de la moitié des 6 "lancers uniques" qui soit gagnant (donc en ce sens moins des 2 "lancers de 3 dés"), il y a toujours 1 numéro sur "2 lancers de 3 dés" qui est gagnant (donc 1 numéro sur 6 "lancers uniques"). Car les dés sont lancés par "groupe de 3" dans le jeu et non par "groupe de 1". C'est pourquoi il y a 1 chance sur 2 "lancers de 3 dés" d'avoir un gain. À chaque 2 "lancers de 3 dés" on a un gain en moyenne, donc 1 chance sur 2.

Je vais simplifier le problème à l'intention de manmath :

Imaginons 2 dés de 1 à 4  si je sors 1, je gagne, si je sors deux 1 je double la mise...

Les combinaisons qui peuvent sortir sont :
11 GG
12 G
13 G
14 G
21 G
22 P
23 P
24 P
31 G
32 P
33 P
34 P
41 G
42 P
43 P
44 P

Effectivement, sur deux lancers (soit 16 possibilités) le 1 sors en moyenne 8 fois donc tu as un gain de 8.

Où bloque-tu ?

Et bien ces 8 gains (G) ne sont pas répartis sur 8 cas de figure mais seulement sur 7 à cause du 11.

Donc l'autre gagnera dans les 9 cas  (P) qui restent.

Dans le premier problème, oui, il va sortir 108 fois 5 sur les 216 tirages, mais ils ne seront répartis que sur 91 cas , et donc tu perdras 125 fois.