Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

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 #1 - 26-02-2010 17:25:10

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Produit de à 100

Quel est le dernier chiffre différent de 0 du produit entre les nombres entiers de 1 à 100?



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 #2 - 26-02-2010 17:31:02

perceval
Chevalier de P2T
Enigmes résolues : 48
Messages : 723
Lieu: 37

produit se 1 à 100

4 en les essayant les uns apres les autres dans la case réponse lol (je veux bien essayer de dire que j'ai calculer 100! de tete mais je suis pas sur qu on me croit 100 ! = 9.33262154 × 10^157)
Maintenant enfin un peu plus tard quand j'aurais le temps je chercherais une justification.


When i was a child i was a jedi

 #3 - 26-02-2010 18:24:59

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Produit de 1 100

A l'attaque hmm

Le produit des nombres de 1 à 100 se terminera par le chiffre qui termine [latex](3 \times 4 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9)^{10}[/latex] (j'ai viré le [latex]2 \times 5[/latex] qui traînait) soit [latex]36288^{10}[/latex], qui se terminera comme [latex]8^{10}[/latex] qui se termine par 4.


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 #4 - 27-02-2010 14:36:54

phil0156
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 286

Prooduit de 1 à 100

Je ne sais pas ce que vaut mon raisonnement mais: en ne prenant que les unités on a 1*2*3....9*=9! qui se termine par 8
ensuite 8*8*8...*8 (10 fois)= 8^10 se termine par 4
Donc je propose 4

 #5 - 27-02-2010 18:05:41

schaff60
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 175

Produit ed 1 à 100

1 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 se termine par 8 (on elimine 0,2 et 5)
8^10 se termine par 4, c'est donc 4


Un truisme inepte, chamarré d'une phraséologie spécieuse, se diapre subséquemment des apparats d'un apophtegme

 #6 - 27-02-2010 18:35:19

MMORgan
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 172

priduit de 1 à 100

4
Spoiler : [Afficher le message] Source : TI89 big_smile

 #7 - 27-02-2010 20:19:51

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4776

Prodiut de 1 à 100

Bonsoir smile

Il me semble que 100! vaut :

Code:

93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000 .

Donc le dernier chiffre non nul est 4 . Sinon on peut décomposer 100! en facteurs premiers et évacuer les 24 facteurs 2 et 5 responsables des 24 zéros de la fin . Rien de réjouissant dans tout cela , j'espère qu'il y a une solution plus astucieuse et fantaisiste big_smile

Vasimolo

 #8 - 01-03-2010 11:26:42

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1473

Prodiut de 1 à 100

Je dirais 4, vu que (résultat mathématique bien connu), 100! = 93 326 215 443 944 152 681 699 238 856 266 700 490 715 968 264 381 621 468 592 963 895 217 599 993 229 915 608 941 463 976 156 518 286 253 697 920 827 223 758 251 185 210 916 864 000 000 000 000 000 000 000 000 lollollol

 #9 - 01-03-2010 18:27:00

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1473

Produt de 1 à 100

Meme si on a tous la même réponse, je suis pas d'accord du tout avec la logique "pour 10! ca finit par 8, pour 100! par 8^10"
En effet, ok pour virer le facteur 5 de 15, mais quid du 3 qui reste ? Pareil pour 25, c'est le 4 qu'il faudrait virer et pas le 2, vu que 25 = 5*5
Pour preuve:
30! = 265252859812191058636308480000000, mais 8*8*8 = 512

 #10 - 01-03-2010 18:45:54

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

prodyit de 1 à 100

Donc nos réponses sont uniquement justes à cause d'une coincidence ?.. En même temps, tu me diras, en répondant au hasard, on avait une chance sur 4 (en virant le 0 et les nombres impairs, solutions impossibles...)

Tu peux détailler ton raisonnement, scarta ? Je n'ai rien pigé hmm


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 #11 - 01-03-2010 20:55:07

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1473

produot de 1 à 100

Mon raisonnement est le suivant:
Pour le calcul de 10!, on vire (à juste titre) les nombres 2, 5 et 10.
Pour 20!, on ne peut pas retirer simplement 12, 15 et 20, en effet il faudrait les remplacer par 6, 3 et 2 (car 20x17 par exemple, ça ne finit pas comme 17 mais comme 34)
Donc on a en fait 8^10 * 6*3*2*11*5*3*16*7*4*21*9*5*26*11*6*31*13*7*36*15*8*41*17*9*46*19
On vire tous les multiples de 5 introduits par 25, 50 et 75 (en virant un *8 par exemple), et on garde que les unités en virant les 1 et les 6 pour aller plus vite
4 *3*2*3*7*4*9*3*7*3*7*9*9
On vire les paires de (9;9) et (7;3)
4 *3*2*4*9, chiffre des unités : 4

 #12 - 01-03-2010 21:03:52

schaff60
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 175

Produit e 1 à 100

je ne comprends pas non plus le raisonnement de Scarta
Si on ne supprime rien on a :
1x2x3x4x5x6x7x8x9 se termine par 80
10x11x12x13x14x15x16x17x18x19 se termine par 800
et ainsi de suite jusque
90x91x92x93x94x95x96x97x98x99 qui se termine par 800

et on a donc bien pour finir 8^10 qui se termine par 4


Un truisme inepte, chamarré d'une phraséologie spécieuse, se diapre subséquemment des apparats d'un apophtegme

 #13 - 01-03-2010 21:07:22

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Prodiut de 1 à 100

bravo a tous ceux qui ont bien repondu

 #14 - 01-03-2010 21:20:38

scarta
Elite de Prise2Tete
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Produit de 1à 100

schaff60 a écrit:

je ne comprends pas non plus le raisonnement de Scarta
Si on ne supprime rien on a :
1x2x3x4x5x6x7x8x9 se termine par 80
10x11x12x13x14x15x16x17x18x19 se termine par 800
et ainsi de suite jusque
90x91x92x93x94x95x96x97x98x99 qui se termine par 800

et on a donc bien pour finir 8^10 qui se termine par 4

Ou pas
10x11x12x13x14x15x16x17x18x19 finit par 400

 #15 - 01-03-2010 22:04:10

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Produit d e1 à 100

Rappel pour schaff60 :

scarta a écrit:

30! = 265252859812191058636308480000000, mais 8*8*8 = 512

Preuve par l'exemple que notre raisonnement de base est faux smile


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 #16 - 02-03-2010 09:01:45

schaff60
Professionnel de Prise2Tete
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peoduit de 1 à 100

Si on peut même plus tricher en faisant croire que l'erreur est juste, où va t'on ?


Un truisme inepte, chamarré d'une phraséologie spécieuse, se diapre subséquemment des apparats d'un apophtegme

 #17 - 02-03-2010 09:13:11

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1473

Produit de 1 àà 100

Du coup, je me demandait s'il y avait une méthode plus simple (non pas que taper "100! / 10^24 modulo 10" sur WolframAlpha soit très compliqué, mais bon)

 #18 - 02-03-2010 19:58:12

MMORgan
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 172

profuit de 1 à 100

Ce qu'on peut faire, c'est regarder la suite du premier chiffre non nul de n!
On a : u(n+1)=n*un mod 10 si ce n'est pas 0, sinon on prend le premier chiffre non nul avant.
Ca paraît pas très simplifié, mais on obtient une suite un périodique, et ainsi on a le dernier chiffre non nul pour tout nombre (même pour les nombres incalculables).
Par exemple :
Quel est le dernier chiffre non nul de : (10^100)!  smile Bonne chance

 #19 - 02-03-2010 21:08:04

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1473

produit se 1 à 100

Encore raté... smile
D'après toi, 15! fini par u(15) = 15*u(14), 14! finit par 2, donc 15! finirait par 3 ...
J'ai jamais vu de nombre pair finir par 3 lol

 #20 - 02-03-2010 21:23:08

MMORgan
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
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Produit de 1 à 1000

Ca marchait bien au début pourtant ^__^

 #21 - 03-03-2010 12:24:05

Lzappeur
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 31
Messages : 2

Produit de 1 à 10

On élimine le 100 donc le multiplicateur précédent est 99 (donc le 9) qui multiplie un chiffre paire puisque celui d'avant est le 8 de 98. Alors on a que 4 possibilités: 2, 4, 6 ou 8. je ne sais pas si on peut s'en servir pour approfondir un peu plus mais c'est déjà ça !

 #22 - 03-03-2010 13:28:27

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

produit fe 1 à 100

MthS-MlndN a écrit:

Donc nos réponses sont uniquement justes à cause d'une coincidence ?.. En même temps, tu me diras, en répondant au hasard, on avait une chance sur 4 (en virant le 0 et les nombres impairs, solutions impossibles...)

J'avais déjà cet élément de réponse wink


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 #23 - 28-03-2010 01:04:27

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

produit se 1 à 100

En cherchant à justifier la réponse 4, j'ai du écrire pas mal de lignes... ce qui semble plus fastidieux que le calcul bestial de 100!, mais bon.. j'ai tout fait "à la main".

On va faire des regroupements pour diminuer la quantité de nombres à traiter :

On peut supprimer tous les nombres se terminant par 1 (les 10 présents au début, ainsi que tous ceux qui apparaîtront sur notre route), puisqu'ils sont "éléments neutres".

Une fois que l'on se sera débarrassé des multiples de 5, on pourra ne se consacrer qu'au chiffre des unités de chaque facteurs.

Les multiples de 10 :
Il y en a 10, on les supprime en les remplaçant par les nombres de 1 à 10, et on supprime le dernier 10 (en passant, on a supprimé 11 "zéro").

Les nombres terminants par 5 :
le 5 de 50, 5,15,25,35,45,55,65,75,85,95 que l'on remplace par 1,1,3,5,7,9,11,13,15,17,19 et 5^11.
En supprimant les 1-finaux et en séparant les 5, il reste :
3,7,9,13,3,17,19 et 5^13

On associe 5^13 à 2,8,16 et 32 = 2^13 (on supprime ainsi 13 zéro de plus et on a plus de 5 : donc 100 ! possède 24 zéro... je sais, c'est pas la question !!!).

Occupons nous des nombres pairs :
2-finaux : il y en 10 au début, +1 des 0-finaux, -2 de 2^13, donc 9 au total.
Les multiplications successives pas 2 donnent aux unités la suite 2,4,8,6,2,etc, donc les 2-finaux peuvent être remplacé par 2. (9 modulo 4 = 1)

4-finaux : 10 + 1 = 11, suite 4,6,4,6,etc donc on remplace par 4.

6-finaux : on se fiche du nombre d'occurences, ça donne toujours 6.

8-finaux : 10 + 1 - 1 = 10, suite 8,4,2,6,8,etc, on remplace par 4.

Finalement, on remplace 2, 4, 6 et 4 par 2 pour l'ensemble des pairs (2x4x6x4 est 2-final).

Intéressons-nous maintenant aux impairs :

3-finaux : 10 au début, +1 des 0-finaux, +3 des 5-finaux = 14. Les multiplications successives par 3 donnent 3,9,7,1,3,etc, donc on remplace par 9.

7-finaux : 10 + 1 + 2 = 13, suite 7,9,3,1,7 etc donc on remplace par 7

9-finaux : 10 + 1 + 2 = 13, suite 9,1,9, etc, donc on remplace par 9.

Finalement, on remplace 9,7 et 9 par 7

Multiplions les pairs par les impairs : 2 x 7 = 14.

Conclusion : 100 ! a pour premier chiffre non nul 4 (après une série de 24 "zéro", je sais, c'est pas la question).

 #24 - 24-08-2015 09:40:30

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1473

priduit de 1 à 100

Bon après plusieurs années j'ai enfin trouvé une solution.
En plus elle marche pour un nombre quelconque de chiffre et pas 1 seul.

On prend le produit des 5i+1,2,3,4; autrement dit 4 termes consécutifs non multiples de 5, divisé ensuite par 2. On cherche un cycle sur i, modulo 10^n. Ici, n=1 et pour tout i on a le résultat 2 modulo 10, mais pour 100,1000,... c'est souvent beaucoup plus long.
On note ce produit P_i

Ceci étant fait, 100! = produit des P_i (i=0..19) * 2^20 * produit des 5i (i=1..20)
= 10^20*produit des P_i * 20!
On vire la puissance de 10 qui n'est que des zéros en plus, le produit des P_i est cyclique modulo 10, donc calculable facilement, ici il vaut 6

Le résultat pour 100! est donc 6 fois le résultat de 20!, et on recommence

20! donne 4 zéros, un 6 pour le produit des P_i et 4!
4! =24, donc au total :
- on a fait sauter 24 zéros (20+4)
- 6*6*24 = 4 modulo 10, qui est le dernier chiffre non nul de 100!

Précision : si on n'a pas un multiple de 5, on rajoute jusqu'à 4 termes modulo 10 au produit (1,2,3 ou 4, ce qui donne1,2,6,4)

Application pour 1000!
1000! => 200 zéros, 2^200=6 modulo 10 et 200!
200! => 40 zéros, 2^40=6 modulo 10 et 40!
40! => 8 zéros, 2^8=6 modulo 10 et 8!
8! => 1 zéro, 2^1 = 2 modulo 10, 1*2*3 =6 modulo 10, et 1!
1! = 1
Conclusion: 249 zéros, dernier chiffre 6*6*6*2 = 2 modulo 10.

Pour 30!, dont on a vu que c'était un contre-exemple :
30!=> 6 zéros, un 4 et 6!
6!=> 1 zéro, un 2 et 1!
Donc fini par 8, suivi de 7 zéros

 #25 - 28-08-2015 08:41:53

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

prosuit de 1 à 100

D'accord Scarta. Tu peux encore améliorer en faisant des groupes de 10 nombres consécutifs. de 1 à 10 donne 4. Si 2 groupes de 10: 6. Donc si nombre pair de groupes:6, et si nombre impair de groupes: 4.

Par exemple
371!
37 donne 4, 4*1=4
371/5=74
74 donne 6 (à noter que 6 est neutre pour les multiplications de pair) 74=2*3*4=4
74/5=14
14 est 4*2*3*4=6
14/5=2
2 donne 2
Au final: 4*4*6*2=2

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