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 #1 - 01-11-2010 11:10:51

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

produit de diviseues

Une demi-journée pour cette petite énigme smile

Soient d1 , d2 , ... , dk les diviseurs d'un entier positif n ( 1 et n compris ) . Exprimer d1 X d2 X ... X dk en fonction de n et k .

Amusez-vous bien smile

Vasimolo



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 #2 - 01-11-2010 11:50:08

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 933

produot de diviseurs

Supposons que les diviseurs sont ordonnés :
d1*dk=n
d2*d(k-1)=n
...
dk*d1=n

Si P désigne le produit cherché, on multiplie terme à termes les égalités ci-dessus :
P²=n^k

Si n n'est pas un carré parfait, k est pair et P=n^(k/2).
Si n est un carré, il possède k=2p+1 diviseurs et P=(n^p)*(rac(n)).


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #3 - 01-11-2010 12:44:51

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

produit de diviqeurs

On regroupe les diviseurs avec leurs co-diviseurs.
Deux cas se présentent:n n'est pas un carré parfait et alors on obtient k\2 fois n*....*n ,ou n est un carré parfait et alors on obtient k\2-1 fois n*....*n multiplié par racine de n.Dans les deux cas on arrive à:
[TeX]n^{\frac{k}{2}}[/TeX]


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #4 - 01-11-2010 12:54:14

Mathix
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 5

Produti de diviseurs

Bonjour:
Soit k le nombre de diviseurs de n.
Soit P le produit des diviseurs de n.

On peut distinguer deux cas:- soit n est un carré: alors le produit de ses diviseurs s'écrit sous la forme:
[TeX]P=1*d2*d3....*sqrt(n)*....*n.[/TeX]
On peut regrouper ses diviseurs deux par deux tel que leur produit fasse n. On voit alors que [latex]sqrt(n)[/latex] est isolé. On a alors
[TeX]P=n*n*n*n*n......*n*sqrt(n)=>[/latex]avec [latex]\frac{k-1}{2}[/latex]termes n.
[latex]P=n^{\frac{k-1}{2}}*n^{\frac{1}{2}}=n^{\frac{k}{2}}[/TeX][TeX]P^{2}=n^{k}[/TeX]
                                     -soit n n'est pas un carré: alors  le produit de ses diviseurs s'écrit sous la forme:
[TeX]P=1*d2*d3....*n.[/TeX]
On regroupe à nouveau ses diviseurs deux par deux:
[TeX]P=n*n*n*n*n......*n=>[/latex]avec [latex]\frac{k}{2}[/latex] termes n.
[latex]P=n^{\frac{k}{2}}[/TeX][TeX]P^{2}=n^{k}[/TeX]
Finalement pour tout n :
[latex]P^{2}=n^{k}[/latex] smile

 #5 - 01-11-2010 13:21:30

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

peoduit de diviseurs

Très joli, merci! smile

Considérons la décomposition en facteurs premiers de n:
[TeX]n=p_1^{q_1}p_2^{q_2}...p_m^{q_m}[/TeX]
Le nombre de diviseurs [latex]k[/latex] s'écrit:
[TeX]k=(1+q_1)(1+q_2)...(1+q_m)[/TeX]
Les diviseurs sont de la forme:
[TeX]d(j_1, j_2, ..., j_m)=p_1^{j_1}p_2^{j_2}...p_m^{j_m}[/latex], avec [latex]\forall i \in \{1, 2, ..., m\}, 0\le j_i \le q_i[/TeX]
Le produit [latex]P[/latex] des diviseurs s'écrit alors:
[TeX]P=\prod_{j_1}\prod_{j_2}...\prod_{j_m}p_1^{j_1}p_2^{j_2}...p_m^{j_m}[/TeX]
A présent, il ne faut pas commettre l'erreur de travailler avec les [latex]\prod[/latex] comme avec les [latex]\sum[/latex]... wink et il vient:
[TeX]\begin{eqnarray}
&P &=\prod_{j_1}\prod_{j_2}...\prod_{j_{m-1}}\left(p_1^{j_1}p_2^{j_2}...p_{m-1}^{j_{m-1}}\right)^{(q_m+1)}\prod_{j_m}p_m^{j_m}\\
& &=\prod_{j_1}\prod_{j_2}...\prod_{j_{m-1}}\left(p_1^{j_1}p_2^{j_2}...p_{m-1}^{j_{m-1}}\right)^{(q_m+1)}p_m^{q_m(q_m+1)/2}
\end{eqnarray}[/TeX]
Et en procédant de même pour tous les produits, il vient:
[TeX]P=p_1^{kq_1/2}p_2^{kq_2/2}...p_m^{kq_m/2}=\left(p_1^{q_1}p_2^{q_2}...p_m^{q_m}\right)^{k/2}[/TeX]
Soit: [latex]\fbox{P=\sqrt{n^k}}[/latex]

 #6 - 01-11-2010 13:37:14

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

ptoduit de diviseurs

a chaque diviseur est associe un autre diviseur... Donc si ce n'est pas un carre, alors le produit des diviseurs est n a la puissance k/2. Si c'est un carre, on prends n a la puissance (k-1)/2 mais qu'il faut mulitplier par la racine de n.

 #7 - 01-11-2010 15:23:24

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Produit de diiseurs

Si n n'est pas un un carré parfait il y a un nombre de diviseur pair
Ecrivant[latex] n=1\times n=d_1\times d_{k-1}=.......=d_{{k}\over 2}\times d_{{k\over 2}+1}[/latex]
donc le produit des diviseurs est égal à [latex]n^{k\over 2}[/latex]

Si n est un carré parfait il y a un nombre impair de diviseurs
[TeX] n=1\times n=d_1\times d_{k-1}=.......=d_{{k-1}\over 2}\times d_{{k+1}\over 2}=(\sqrt n)^2[/TeX]
donc le produit des diviseurs est [latex](\sqrt n)^k[/latex]

 #8 - 01-11-2010 18:05:20

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

Prduit de diviseurs

d1.d2....dk
=d1.dk X d2.d(k-1) ... X d(k/2)d(k/2 + 1)
=nXnXn ... (k/2 fois)

= n^(k/2)

 #9 - 01-11-2010 18:40:37

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

Produit de diviseus

On peut faire correspondre à chaque diviseur d un autre diviseur d' tel que d'.d = n
Donc [latex](d_1 . d_2 . ... . d_k)^2 = n . n . ... . n = n^k\\
d_1 . d_2 . ... . d_k = n^{\frac{k}{2}}[/latex]

 #10 - 01-11-2010 19:13:15

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3316

Produi de diviseurs

J'ai déjà pas compris l'énoncé lol

( 1 et n compris ) et en fonction de n et k

d'où sort le k et pourquoi parles-tu de 1 et n compris ?


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #11 - 01-11-2010 19:13:37

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

roduit de diviseurs

Repartons de la décomposition en facteurs premiers de ce nombre :
[TeX]n = \bigprod_{i=1}^p (\alpha_i)^{r_i}[/TeX]
avec [latex]p[/latex] le nombre de facteurs premiers différents servant dans la décomposition, [latex]\alpha_i[/latex] ces facteurs, et [latex]r_i[/latex] les ordres de multiplicité correspondants.

Chacun des diviseurs de [latex]n[/latex] sera un nombre de la forme [latex]\bigprod_{i=1}^p (\alpha_i)^{q_i}[/latex] avec [latex]0 \leq q_i \leq r_i[/latex].

Donc [latex]k = \bigprod_{i=1}^p (r_i+1)[/latex]. Un [latex]\alpha_j[/latex] particulier apparaîtra [latex]q_j[/latex] fois dans [latex]\bigprod_{i=1 \\ i \neq j}^p (r_i+1) = \frac{k}{r_j + 1}[/latex] diviseurs de [latex]n[/latex], et ce pour chaque [latex]q_j[/latex] entre [latex]0[/latex] et [latex]r_j[/latex]. Il apparaîtra donc au total, dans le produit des diviseurs de [latex]n[/latex] :

[latex]\frac{k}{r_j + 1} \sum_{q=0}^{r_j} q = \frac{k}{r_j + 1} \times \frac{r_j (r_j + 1)}{2} = \frac{k}{2} r_j[/latex] fois.

Conclusion : le produit des [latex]k[/latex] diviseurs de [latex]n[/latex] vaut [latex]n^{\frac{k}{2}}[/latex].

Maintenant que j'ai le résultat (plutôt instinctif) sous les yeux, je suis sûr qu'il y a plus simple pour arriver à ce résultat lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #12 - 01-11-2010 22:54:01

Hilare
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 35
Messages : 3

Produuit de diviseurs

Si P = d1 x d2 x ... x dk
d1 x dk = d2 x d[k-1] = ... = d[k/2) x d[k/2 +1] = n
Il y a donc k/2 combinaisons qui valent chacune n.
Donc, P = n^(k/2)

 #13 - 01-11-2010 23:14:10

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Produit de diviserus

Bon le cas ou n est un carré aura empoisonné pas mal de monde . Il faut aussi éviter le réflexe décomposition en facteurs premiers même s'il conduit au résultat .

Une bonne réponse type : celle de scarta .

Mais je détaille quand même un peu smile

Les diviseurs vont par deux ou si vous préférez : d ->n/d est une bijection sur l'ensemble des diviseurs de n donc les produits P des d ou des n/d sont les mêmes c'est à dire que [latex]P=\frac{n^k}{P}[/latex] ou encore [latex]P^2=n^k[/latex] et  [latex]P=\sqrt{n^k}[/latex] .

Merci aux participants smile

Vasimolo

 

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