Enigme Quel nombre! ? @ Prise2Tete

shadock · #1

Pour suivre sûr le même type d'énigme que celle proposé par Alexein41 je vous propose cette énigme :

1) Quel est le premier nombre entier "n" différent de 0 la somme des chiffres de 999999*n est-elle différente de la somme des chiffres de 999999?
2) Jusqu'a quel entier "p" la somme des chiffres de 999999*n= somme de chiffres de 999999?
Pour la 2) ce que je veux dire c'est que sans compter les nombres pour lesquels le 1) ne fonctionne pas quel est le plus grand nombre avec lequel cette situation est encore possible et après plus aucune possibilité!

J'espère avoir été plus clair pour certain si non réenvoyé moi un message par MP.

FRiZMOUT · #2

Si j'ai bien compris, la réponse à la question 1 est 1000001.
Si j'ai bien compris, la réponse à la question 2 est 1000000.
Cela dit, je ne suis vraiment pas sûr d'avoir compris l'énoncé manque un peu de clarté.

Edit : Bon en fait j'ai vraiment compris la question 2 cette fois et cet entier p n'existe pas car on a toujours une puissance de 10 (dont le produit par 999999 vaut toujours 54) au dessus d'un entier fixé.

rivas · #3

Pour n de 1 à 999999 (et même jusqu'à 1000000) l'écriture décimale de 999999*n est (n-1)(999999-(n-1)): chiffres composant (n-1) et chiffres composant 999999-(n-1) accolés. Par exemple pour n=27: 26 999973.
Il est donc évident que la somme des chiffres est toujours 6*9.
Pour n=1000001, 999999*n = 999999999999 et la somme des chiffres n'est évidemment pas 54. Je pense que cela repond à la question 1).

Je ne suis pas sûr de comprendre la question 2). Je pense que la question est quel est le plus grand entier pour lequel on puisse avoir l'égalité. Mais si c'est bien le cas, il n'existe pas. Toutes les puissances de 10 verifient l'égalité.

Alexein41 · #4

Eh bien eh bien, c'est une excellente énigme !

Sauf que, je ne trouve pas !! ^^

J'ai représenté sur un tableur en colonne tous les multiples de 999999 jusqu'à 999999*10011, et j'ai fait un petit programme pour que le tableur me calcule la somme des chiffres de "chaque" 999999n avec n compris entre 1 et 10011, et je trouve 54 ...

Je cherche mais toujours 54 ; 54 ; 54 ! La somme des chiffres des multiples de 999999 est (pour l'instant) toujours 54 ! Donc il reste trois solutions, soit je refais mon programme, soit je cherche un n supérieur à 10011 soit je deviens fou, et je vais en être réduit à dire que p = +∞

-------------------------

En fait, nan, c'est bon, j'ai trouvé ! ^^ n = 10^6 + 1 et p = 10^6 !
Pfiou ! ^^ Je plains mon tableur qui a dû supporter plus d'un million de lignes, mais en fait, j'aurais très bien pu réfléchir sans ! Merci pour cette énigme !
Je pense donc que c'est n = 1.000.001 car 999.999x1.000.001 = 999.999.999.999 dont la somme des chiffres est égale à 108, contrairement à avant où la somme valait 54, c'est pourquoi p = 1.000.000 car jusqu'à n = 1.000.000, la somme des chiffres valait tout le temps 54.

piode · #5

Ah non ne remet pas en cause Claire elle a rien fait !!

XD Ps: non c'est vraiment pas claire !

gelule · #6

moi pas bourré mais moi pas comprendre
*n signifie peut-être x n ?

falcon · #7

question 1) 1000001

question 2) il n'y a pas de maximum la suite des (10^k), k dans N verifie clairement somme des chiffres de 10^k * 999999 = 54 et tend clairement vers l'infini (et au dela)
(j'ai peut etre mal compris la question)

shadock · #8

Pour le moment Bravo à Rivas et à Falcon
~~Piode c'est pas Claire mais claire ..... pfffff~~

piode · #9

xD n'oublit pas la photo de ton petit doigt levé

logan · #10

1) 1.000.001

2) En fait il y a toujours un nombre pour lequel cette propriété fonctionne. En effet tous les puissances de 10 fonctionnent

NickoGecko · #11

Bonjour

Pour la question 1

En repartant avec un seul 9
Le premier multiple de 9 dont la somme des chiffres est différente de 9 est 99
= 9*11 (et 11 = 10^1 +1)

Avec 99 (deux fois le chiffre 9)
Le premier multiple de 99 dont la somme des chiffres est différente de 18 est 9999 = 99*101 (et 101 = 10^2 +1)

Avec 999 (trois fois le chiffre 9)
Le premier multiple de 999 dont la somme des chiffres est différente de 27 est 999999 = 999*1001 (et 1001 = 10^3 +1)

Pas le temps de faire une démonstration (par récurrence ?) mais cela donnerait pour 999999 (6 fois le chiffre 9) :
Le premier multiple de 999999 dont la somme des chiffres est différente de 54 est 999999999999 = 999999*1000001
n = 1000001 = 10^6 +1

Pour la question 2, je ne suis pas sûr de bien comprendre, en poursuivant l'incrémentation de "n" vers l'infini, n va passer par toutes les puissances de 10,
Pour n= 10^k, 999999*n commencera donc par 999999 suivi de "k" 0.

Donc il n'y a pas à mon avis d'entier "p" à partir duquel la somme des chiffres de 999999*n (n>p) ne fait systématiquement plus 54.

Je suis curieux de voir les réponses et les démonstrations plus étayées que la mienne,
Bonne journée

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#1 - 12-04-2010 16:20:29

Quel nombrre! ?

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