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 #1 - 29-10-2010 12:44:20

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

Deux sac de billes

Bonjour tout le monde smile

Pour mon millième message on m’a offert une collection de billes de couleurs . Sur chacune d’elles est collée une étiquette où figure un nombre réel . La somme de toutes ces étiquettes est égale à 9991 . Les billes sont rangées dans deux sacs ne contenant pas le même nombre de billes . Pour équilibrer un peu j’ai prélevé une bille du sac qui en contenait le plus pour la déposer dans celui qui en comptait le moins . Curieusement après cette opération la moyenne des étiquettes de chaque sac a augmenté de 1 .

Peut-on me dire combien il y avait de billes dans chaque sac ?

Remarques :

- La bille que j’ai déplacée portait l’étiquette 99 .
- Curieusement , sans doute à cause des grèves , je n’ai toujours pas reçu mon cadeau de P2T lol
- C'est un problème original , ne perdez pas de temps à chercher une solution sur la toile sad

Le problème est plutôt plus facile que ceux auxquels je vous ai habitué alors même ceux qui ne font des maths que contraints et forcés peuvent essayer celui-là .

En tout cas merci à ceux qui me font l'honneur de suivre mes délires parfois durs et austères ( roll ) et amusez-vous bien en attendant le 2000 .

Vasimolo



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 #2 - 29-10-2010 14:04:08

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

Deux sacs de billess

Problème amusant, merci. smile

Soit [latex]S_i[/latex], la somme des nombres inscrits sur les étiquettes du sac i. On a alors:[latex]S_1+S_2=9991[/latex].

Soit [latex]n_i[/latex], le nombre de billes dans le sac i, et [latex]n[/latex], le nombre total de billes.
Je suppose que le sac 1 est celui qui en contient le plus, soit: [latex]n_1>n_2[/latex].

En raisonnant sur les moyennes, on obtient le système suivant:
[TeX]\begin{cases}
\frac{S_1-99}{n_1-1}=\frac{S_1}{n_1}+1
\frac{S_2+99}{n_2+1}=\frac{S_2}{n_2}+1
\end{case}[/TeX]
Puis en travaillant ces deux équations, il vient:
[TeX]\frac{9991}{n}=\frac{103*97}{n}=98+n_1-n_2[/TeX]
Le membre de droite étant nécessairement un entier plus grand que 98, et 103 et 97 étant premiers, on en déduit que:
[TeX]\begin{case}
n=& n_1+n_2 &=97
& n_1-n_2 &=5
\end{cases} \Leftrightarrow \fbox{\begin{cases}
n_1=51
n_2=46
\end{cases}}[/TeX]

 #3 - 29-10-2010 14:31:26

langelotdulac
Ange de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2963
Lieu: Paradis

deuw sacs de billes

vasimolo a écrit:

Le problème est plutôt plus facile que ceux auxquels je vous ai habitué alors même ceux qui ne font des maths que contraints et forcés peuvent essayer celui-là .

Il faudrait déjà que je comprenne l'énoncé  lol roll

En attendant, voici
http://staticng.starbox.com/thumb/Starbox/600x450/02/ma/02-MA-coeur_1000bisous_600x450.jpg
et un joli moule pour tes futurs gâteaux  wink
http://images.shopoon.fr/products/200x200/BBNATUREL_04609_13005.jpg


Tu es largement assez dingo pour qu'un Minito te semble cohérent \o/ !

 #4 - 29-10-2010 14:49:01

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Deux sac sde billes

Bonjour Vasimolo,

Merci pour ce 1000ème message et félicitations. Combien de temps avant que j'en sois là moi aussi... smile
Je ne peux pas me retenir que d'y répondre, surtout que celui-la, sans géométrie, et qui plus est arithmétique, est à ma portée...

Soit [latex]N_1 \text{ et } N_2[/latex] les nombres de billes de chaque sac et [latex]S_1 \text{ et } S_2[/latex] les sommes des étiquettes de chaque sac avec [latex]N_2 > N_1[/latex]
[TeX]S_1 + S_2 = 9991 = 97.103[/TeX]
Le transfert d'une bille du sac qui en a le plus vers celui qui en a le moins en augmentant de 1 la moyenne dans les 2 cas se traduit par:
[TeX]\dfrac{S_1+99}{N_1+1}=\dfrac{S_1}{N_1}+1 \Leftrightarrow 98.N_1=S_1+N_1^2[/TeX]
et
[TeX]\dfrac{S_2-99}{N_2-1}=\dfrac{S_2}{N_2}+1 \Leftrightarrow 98.N_2=S_2-N_2^2[/TeX]
En ajoutant membre à membre, on trouve:
[TeX]98(N_1+N_2)=97.103+(N_1+N_2)(N_1-N_2)[/latex] (1)

Donc [latex]N_1+N_2[/latex] divise 97.103 et donc vaut 1, 97, 103 ou 9991.
On peut immédiatement exclure 1 car les 2 sacs contiennent des billes.

Cas 1: [latex]N_1+N_2=97[/TeX]
(1) devient: [latex]98=103+(N_1-N_2) \Leftrightarrow N_2-N_1=5[/latex]
et donc [latex]N_2=51\text{ et }N_1=46[/latex]

Cas 2: [latex]N_1+N_2=103[/latex]
(1) devient: [latex]98=97+(N_1-N_2) \Leftrightarrow N_1-N_2=1[/latex]
Or cela est contraire à l'hypothèse de départ ([latex]N_2>N_1[/latex])

Cas 3: [latex]N_1+N_2=9991[/latex]
(1) devient: [latex]98=1+(N_1-N_2) \Leftrightarrow N_1-N_2=97[/latex]
Or cela est contraire à l'hypothèse de départ ([latex]N_2>N_1[/latex])

Au final les 2 sacs contiennent 46 et 51 billes avant l'opération et donc 47 et 50 après.
Le sac de 46 billes avait pour somme des étiquettes 2392 et celui de 51 billes 7599 avant l'opération et 2491 et 7500 après.

Merci encore pour ce petit problème amusant et bonne continuation pour les 1000 prochains messages...

 #5 - 29-10-2010 14:56:19

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1577

DDeux sacs de billes

La moyenne de chaque sac augmente ??? Mais comment c'est-y possible un truc pareil tiens ? Ah ben oui, il n'y a pas le même nombre de billes  smile

Donc soient x et y, x<y le nombre de billes dans les deux sacs. Soient m et n les moyennes de ces deux sacs au départ. On a donc 3 équations:
(mx + 99) / (x+1) = m+1 => nouvelle moyenne du petit sac
(ny - 99) / (y-1) = n+1 => nouvelle moyenne du grand sac
mx + ny = 9991 => somme totale des nombres inscrits sur les billes

1) mx + 99 = mx + x + m + 1
m = 98 - x
2) ny - 99 = ny + y - n -1
n = 98 + y
3) mx + ny = 9991
98x - x² + 98y + y² = 9991
98(x+y) + (x+y)(y-x) = 9991
(x+y)(98+y-x) = 9991

9991 = 1*9991 = 97*103 (tous les deux premiers)
Comme x < y, (98+y-x) > 98, et donc c'est soit 103, soit 9991. Comme x+y est différent de 1, on a donc
x+y = 97
y-x = 5

Donc au final : x = 46 et y = 51

J'aime !!

 #6 - 29-10-2010 15:14:41

snapy
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 33

Duex sacs de billes

Il y a en tout 9991 billes.
Le premier sac en contient 48 et le deuxième 9943 (avant l'échange).

Merci pour cette énigme !

snapy

 #7 - 29-10-2010 15:58:56

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

deux sacs de bilmes

Bonjour,

Après prêt d'un an d'inactivité me revoilà.

Raisonnement par récurrence :

Nombre de billes impaire

1er cas : 1 billes

pas de moyenne déterminée dans le sac ne contenant aucune bille
--> à rejeter

2ème cas : 3 billes

101 et 99 dans un sac (moyenne 100)
97 dans l'autre (moyenne 97)

après changement:
101 dans un sac (moyenne 101=100+1)
99 et 97 dans l'autre (moyenne 98=97+1)

mais 101+99+97=297.

3ème cas: 5 billes:

103, 101 et 99 dans un sac (moyenne 101)
97 et 95 dans l'autre (moyenne 96)

après changement:

103 et 101 dans un sac (moyenne 102=101+1)
99, 97 et 95 dans l'autre (moyenne 97=96+1)

mais 103 + 101 + 99 + 97 + 95 = 495

4ème cas: 7 billes:

105, 103, 101 et 99 dans un sac (moyenne 102)
97, 95 et 93 dans l'autre (moyenne 95)

après changement:

105, 103 et 101 dans un sac (moyenne 103=102+1)
99, 97, 95 et 93 dans l'autre (moyenne 96=95+1)

mais 105 + 103 + 101 + 99 + 97 + 95 + 93 = 693

et par récurrence, je n'obtiens pas de solution:
C'est bien hein !?!
Je pourrais généraliser en remplaçant 105, 103 et 101 par 3 nombres dont la moyenne reste 103 mais ça ne change rien.
Mon plus gros problème étant le drink que j'ai eu à midi.

Je repasserai

 #8 - 29-10-2010 17:26:34

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Deux sacs de bille

Tout d'abord, bravo pour ton premier millier big_smile


http://enigmusique.blogspot.com/

 #9 - 29-10-2010 18:46:53

HAMEL
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2405
Lieu: Paris

deux sacs de bulles

http://image-photos.linternaute.com/image_photo/550/autres-jeux-fribourg-allemagne-1122199826-1343436.jpg

Et moi je t'offre toutes celles-là smile


-C'est curieux chez les marins ce besoin de faire des phrases !

 #10 - 30-10-2010 00:34:14

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 378

deux saxs de billes

il y avait 46 et 51 billes dans les 2 sacs dont la somme faisait respectivement 2392 et 7599.

rem : je ne comprends pas pourquoi l'information

La bille que j’ai déplacée portait l’étiquette 99

a été mis en remarque alors qu'elle est essentielle à la résolution... sauf erreur de ma part.

 #11 - 30-10-2010 08:49:06

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1932
Lieu: UK

Deux sacs de bille

Le premier sac de billes contenait 51 billes pour un total de 7599 et donc une moyenne de 149. Le second sac de billes contenait 46 billes pour un total de 2392 et une moyenne de 52. les deux sacs valent ensemble 7599+2392 = 9991

une bille est enlevée du premier sac et mise dans le second, sa valeur est 99

Le premier sac de billes contient alors 51-1=50 billes pour un total de 7599-99=7500 et donc une moyenne de 150=149+1. Le second sac de billes contient alors 46+1=47 billes pour un total de 2392+99=2491 et une moyenne de 52+1=53.

les valeurs 51 et 46 sont les uniques solutions de l’équation
x(x+98)+y(98-y)=9991 avec x>y et x et y entiers positifs (c'est le nombre de billes!!)

Un excellent problème certainement plus logique qu'algébrique mais il reste bien difficile je pense.

Voila qui célèbre un fidélité certaine à P2T. Attention la barre des milles porte la poisse (et un pétage de cerveau), que dieu t'en préserve! tongue


The proof of the pudding is in the eating.

 #12 - 30-10-2010 10:08:00

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 950

Deux scas de billes

Le premier sac contient n billes avec une moyenne x.
Le second sac contient p billes avec une moyenne y.

Système obtenu :
nx-99=(n-1)(x+1)
py+99=(p+1)(y+1)
nx+py=9991

Je tire : x=n+98 & y=98-p

Je reporte : n(n+98)+p(98-p)=9991

Je factorise : (n+p)(n-p+98)=97*103

Aucun facteur ne vaut 1 et n>p donc : n+p=97 & n-p=5

Solution unique : n=51 et p=46.

Encore un problème superbe ! Bravo !


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #13 - 30-10-2010 11:04:49

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

deux sacs de nilles

Vasimolo, tes problèmes en maths me dépassent assez souvent, mais pour ton 1000ème message (bienvenue parmi l'élite), j'ai voulu faire honneur à cet excellent problème smile

Je pose :
n1 : nombre entier de billes dans le sac 1
n2 : nombre entier de billes dans le sac 2
x : somme des étiquettes des billes dans le sac 1

avec :
n1 < n2
et n1 > 0 (sinon impossible de calculer la moyenne des étiquettes du sac 1)
et n2 > 1 (sinon impossible de calculer la moyenne des étiquettes du sac 2 après la bille ôtée)


Je mets le problème en équations :
1)    x / n1  +  1  =  (x + 99) / (n1 + 1)
2)    (9991 - x) / n2  +  1  =  (9892 - x) / (n2 - 1)

Donc :
1)    n1² - 98.n1 + x  =  0
2)    n2² + 98.n2 + x-9991  =  0


Je résous ensuite 1) avec n1 pour variable :
Δ  =  98² - 4x  =  4.(2401 - x)
deux solutions pour n1 en fonction de x :
n1A  =  49 + √(2401 - x)
n1B  =  49 - √(2401 - x)

On sait que n1 est entier
Donc √(2401 - x) est entier
Alors x est entier, et x <=2401


D'autre part, je résous 2) avec n2 pour variable :
Δ  =  98² - 4x + 39964  =  4.(2401 - x + 9991)
deux solutions pour n2 en fonction de x :
n2A  =  -49 + √(12392 - x)
n2B  =  -49 - √(12392 - x)


Comme je ne vois pas trop comment n'en déduire que les solutions entières mathématiquement, j'utilise mon tableur préféré, et trouve une seule solution avec n1 < n2 :
n1 = 46 et n2 = 51

Ainsi, :
Dans le sac 1 il y avait 46 billes, et dans le sac 2 il y avait 51 billes smile


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #14 - 30-10-2010 12:44:03

Flying_pyros
Sage de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 3418
Lieu: Près de la mer

deux sacs de nilles

Je profite juste de ton 1000è message pour te féliciter pour tes énigmes. J'aime souvent ce que tu proposes même si la plupart du temps (comme ici), je suis incapable d'apporter la moindre solution...roll

Bravo à toi et continue comme cela. smile

 #15 - 30-10-2010 14:52:24

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3823
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Deux sacs de bliles

Puisque pour fêter tes MILLE,
tu as choisi le thème de la BILLE,
voici quelques définitions :

_ILLE (s'oppose à la campagne)
_ILLE (frotte avec de l'ail)
_ILLE (poëme mordant et satirique des Grecs)
_ LLE (rejoint la Vilaine)
_ILLE (on peut mettre en plein de dedans)
_ILLE (sorte de ragoût fait de divers légumes et viandes cuits ensemble)
_ILLE (au Nord, c'est la préfecture)
_ILLE (préparation culinaire espagnole mélangeant des viandes, des légumes et toutes sortes d'assaisonnements)

http://www.alarecherchedutempsperdu.fr/Un_sac_de_billes__1973..2389_small.jpg

Appelons [latex]X[/latex] le nombre de billes dans le sac duquel on enlèvera une bille, et [latex]S[/latex] la somme des nombres inscrits sur ses billes.
Alors la moyenne s'écrit [latex]S/X[/latex].
Lorsqu'on enlève la bille 9, la moyenne s'écrit [latex](S-99)/(X-1)[/latex].
D'où l'équation [latex](S-99)/(X-1) = S/X + 1[/latex]
Dans l'autre sac, le nombre de billes est appelé [latex]Y[/latex] et la somme vaut [latex]9991-S[/latex].
On obtient l'équation [latex](9991-S+99)/(Y+1) = (9991-S)/Y + 1[/latex]

A partir de ces deux équations, on peut éliminer S, puis chercher les couples (X, Y) d'entiers strictement positifs qui obéissent à l'équation résultante.
A suivre...
Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #16 - 01-11-2010 11:59:14

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

deux savs de billes

Je vous laisse lire les réponses détaillées de Luthin , Rivas , Scarta , Dylasse , Franck , Scrablor , leSingeMalicieux ...

Merci pour les messages de sympathie qui m'ont beaucoup touché wink

Et en route pour un prochain millier smile

Vasimolo

 #17 - 01-11-2010 15:30:46

FifiCalin
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 5
Messages : 5

deux sacs de bilkes

pareil, j'ai eu la même approche, j'ai essayer les produit en croix  pour voir si une équation du second dégré était la clé mais je coince toujours avec S


(S-99)/(X-1) = S/X + 1
(S-99)/(X-1) = S+X/X
(S-99)*X = (S+X)*(X-1)
SX-99X = SX+X²-S-X
-99X = X²-S-X
X²+98X-S=0

(9991-S+99)/(Y+1) = (9991-S)/Y + 1
(10090-S)/(Y+1) = (9991-S+Y)/Y
(10090-S)*Y = (9991-S+Y)*(Y+1)
10090Y-SY=9991Y-SY+Y²+9991-S+Y
10090Y=9991Y+Y²+9991-S+Y
10090Y=9992Y+Y²+9991-S
Y²-98Y+9991-S=0

d'un autre coté X²+98X-S=Y²-98Y+9991-S
on peut faire sauter S : X²+98X=Y²-98Y+9991
mais je ne voit pas ou ça peut mener sad

PS : LOL ... je vois de m'apercevoir que la réponse à été donner, sérieux je n'ai pas le niveau hmm

 

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