Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 25-11-2013 14:18:53

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

probabilité de gagner au vadminton

Bonjour, ceci est une question ouverte, car je n'ai pas la réponse (j'ai bien une tentative, mais vraiment vraiment pas sur). C'est une question qui a été posée sur un autre site, mais elle m'intrigue.

On rappelle les règles (anciennes) du badminton. Ce sport de raquette se joue à deux. Le joueur A sert. Si il gagne l'échange, il marque un point, sinon c'est à B de servir (mais il ne marque pas de point). Le premier joueur qui atteint 21 points a gagné (on ne tiendra pas compte de la règle des deux points d'écart).

On considère que le joueur A a:

- une probabilité de marquer un point de 0.6
- une probabilité de gagner quand B sert de 0.5

Quelle est la probabilité que A remporte le match ?

Je ne mets pas de temps car je propose une réflexion collective.



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 25-11-2013 19:04:08

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

provabilité de gagner au badminton

S'il faut marquer :
- 1 point, la probabilité que A gagne est de 0,6.
- 2 points, la probabilité que A gagne est de 0,6.
- 3 points, la probabilité que A gagne est de 0,504.

Le problème revient à ce problème de tirage de boules :
" Si on vient de tirer une boule A, on a 3 chances sur 5 d'en retirer une A, si on vient de tirer une boule B, on a une chance sur 2 de tirer une A. Quelle est la probabilité qu'on tire 21 boules A avant 21 boules B ?".

Est-ce que j'ai bon pour l'instant ?

 #3 - 25-11-2013 19:12:41

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Probabilité de gagner a ubadminton

C'est celui qui gagne qui sert à nouveau ?

 #4 - 25-11-2013 19:14:28

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

probanilité de gagner au badminton

J'ai supposé que oui car l'énoncé précise "Si il gagne l'échange [...] sinon c'est à B de servir.". Cela implique, implicitement et pour moi, que s'il gagne l'échange, il garde le service, sinon, c'est B qui sert.

 #5 - 25-11-2013 19:16:26

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Probabliité de gagner au badminton

Oui, celui qui gagne sert à nouveau.

Saban, il faut prendre en compte le fait que les joueurs A et B peuvent perdre alternativement leurs services, ce qui ne modifie pas le score. C'est là une des difficultés du problème car de fait, les façons de gagner sont infinies.

 #6 - 25-11-2013 19:24:59

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2708
Lieu: Luxembourg

probabilité de gagner au vadminton

J'ai l'impression qu'il manque une donnée. En effet, le joueur B est "régulier": p=0,5 au premier service et p=0,5 au marquage de points (c'est à dire après un premier service gagné). Par contre, si le joueur A est meilleur que B au marquage de points, on ne sait rien quant à ses qualités au premier service. A la limite, s'il sert très mal quand c'est à son tour de jouer, il n'aura même pas l'opportunité de marquer des points (où il est fort).

 #7 - 25-11-2013 19:40:19

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Prrobabilité de gagner au badminton

Je vais expliciter davantage les probabilités:

- probabilité de A de marquer un point (il a le service): 0.6
- probabilité de A de perdre le service: 1-0.6=0.4 (on peut aussi dire que c'est la probabilité de B de récupérer le service)
- probabilité de B de marquer un point (il a le service): 0.5
- probabilité de B de perdre le service: 1-0.5=0.5

 #8 - 25-11-2013 19:45:23

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

probabilité de gagnrr au badminton

0,6 c'est la proba que A marque un point quand c'est lui qui sert ?

 #9 - 25-11-2013 19:54:11

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Probabilité de gagner au abdminton

Oui, absolument. Je rappelle que si c'est B qui sert, A ne peut pas marquer de point. Il ne peut que récupérer le service (c'est à dire obtenir le droit de servir) ou concéder un point à B.

 #10 - 25-11-2013 20:15:51

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Probabilité e gagner au badminton

C'est comme au volley-ball alors, si je ne me m'abuse ?

 #11 - 25-11-2013 20:18:41

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

probzbilité de gagner au badminton

Oui, même si il me semble que les règles du volley (comme du badminton) ont changé et que maintenant tous les points sont gagnants. D'où ma précision sur le fait que ce sont les anciennes règles qui sont considérées ici.

 #12 - 25-11-2013 22:17:26

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Probabiliét de gagner au badminton

Je trouve environ 82,6% de chances de gagner pour A s'il sert en premier.

 #13 - 25-11-2013 22:36:48

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Probabliité de gagner au badminton

Tout d'abord, le serveur initial est avantagé, donc il faut savoir si A sert ou pas en premier.
On va supposer que A est le premier serveur (le résultat sera différent pour B servant en premier).

La probabilité que A marque immédiatement 1 point est de 0,6.
Sinon (p=0,4), B sert et la probabilité pour que B marque le point est p=0,2 (=0,4*0,5). Celle que A reprenne le service est de 0,2 aussi (et on se retrouve dans la même situation de service et de score que au début.

Donc quand A a le service, A a 3 fois plus de chance (0,6/0,2) de marquer un point que B.

Donc quand A a le service, la probabilité que le prochain point soit marqué par A est de 0,75

Lorsque B a le service, la probabilité que B marque immédiatement est de 0,5.
Sinon, (p=0,5), A sert et la probabilité pour que A marque le prochain point est de p=0,6*0,5=0,3.

Donc, quand B a le service, B a 5 chance sur 8 de marquer le point suivant.
Donc quand B a le service, la probabilité que B marque le prochain point est de 0,625.

Ce petit calcul intermédiaire permet de s'affranchir des séquence d'échanges de services sans point marqué.

Ensuite, il faut parcourir toutes les branches d'un arbre de choix à chaque étape...
victoire 21-0 : proba =0,75^21
victoire 21-1 : proba = 0,75^20*0,25*0,375*21 (il y a 21 chemins possibles correspondant au score de A lorsque B a marqué son point).
Après, cela devient fastidieux ! Mais ça peut donner des idées !

Afin de visualiser un peu, j'ai calculé avec excel les chances de gagner une partie en 1,2 ou 3 points, elles sont respectivement de 75%, 70,3% et 69,9%.
On s'aperçoit que pour les parties courtes les chances de gagner diminuent avec le nombre de points à marquer. Par contre, pour un nombre de points tendant vers l'infini, A a 100% de chances de gagner : il y a donc un nombre de points dans la partie qui minimise les chances de A de l'emporter

 #14 - 25-11-2013 23:45:08

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Prboabilité de gagner au badminton

Merci pour ces calculs. Pour une victoire 21-2, le nombre de chemin est 231, non ? Le problème, c'est que tous les chemins ne sont pas équiprobables, contrairement au cas 21-1 ? Les choses se passent différemment si B marque 2 points de suite ou 2 points séparément. Qu'en penses-tu ?

Je dirais:

victoire 21-2: proba = 0,75^20*0,25*0.625*0,375*21 + 0,75^19*0,25^2*0,375^2*210 (somme des entiers de 1 à 20)

victoire 21-3: proba = 0,75^20*0,25*0.625^2*0,375*21 + 0,75^19*0,25^2*0.625*0,375^2*21*20 + 0,75^18*0,25^3*0,375^3*1330

En fait, le nombre total de chemins possibles pour une victoire 21-k semble être [latex]C_{21+k-1}^{k}[/latex]

 #15 - 26-11-2013 01:19:56

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Probbabilité de gagner au badminton

Voici ma façon de raisonner :

On note [latex]P(x,y)[/latex] la probabilité que A gagne lorsqu'il sert, qu'il lui reste [latex]x[/latex] points à faire, et qu'il reste [latex]y[/latex] points à faire à B.

On note [latex]Q(x,y)[/latex] la probabilité que A gagne lorsqu'il reçoit, qu'il lui reste [latex]x[/latex] points à faire, et qu'il reste [latex]y[/latex] points à faire à B.

On a :
[TeX]P(x,y) = 0,6\times P(x-1,y) + 0,4\times Q(x,y)[/TeX][TeX]Q(x,y) = 0,5\times P(x,y) + 0,5\times Q(x,y-1)[/TeX]
On en tire :
[TeX]P(x,y) = 3/4\times P(x-1,y) + 1/4\times Q(x,y-1)[/TeX][TeX]Q(x,y) = 3/8\times P(x-1,y) + 5/8\times Q(x,y-1)[/TeX]
De plus [latex]P(0,y)=1[/latex] et [latex]Q(x,0)=0[/latex]

On peut ainsi calculer les [latex]P(x,y)[/latex] et [latex]Q(x,y)[/latex] de proche en proche.

On peut faire le calcul avec EXCEL ou PYTHON.

 #16 - 26-11-2013 12:18:45

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Probabilité de gagner au badmintton

[latex]Q(0;y)[/latex] est - me semble-t-il - la probabilité d'un évènement impossible. Il ne peut pas rester 0 points à mettre à A quand il reçoit: il a déjà gagné.

 #17 - 26-11-2013 12:53:34

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Probabilité de gagenr au badminton

Tu as raison.

En fait, inutile de définir les [latex]Q(0,y)[/latex], on ne s'en sert pas.

Je modifie ça.

 #18 - 26-11-2013 16:30:42

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

probabilité de gagner au bzdminton

Bonjour à tous,
Une simulation de 1 000 000 parties (en python), me donne les résultats suivants :
Si A commence, il a environ 82.6 % de chances de gagner (même résultat que titoufred #12)
Si B commence, A n'a plus que 79.0 % de chances de gagner
Avec des probabilités de 0.5 et 0.5, A gagne dans 52.2 %  ou 47.8 % des cas selon qu'il commence ou non

 #19 - 26-11-2013 17:05:30

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Probabilité de ganer au badminton

Si tu es adepte de Python, mieux que les simulations, voici un programme qui calcule directement les valeurs des probabilités :

Code:

p = [[0]*22 for i in range(22)]
q = [[0]*22 for i in range(22)]

p[0]=[1]*22

for x in range(1,22):
    for y in range(1,22):
        p[x][y] = 3/4*p[x-1][y]+1/4*q[x][y-1]
        q[x][y] = 3/8*p[x-1][y]+5/8*q[x][y-1]

print(p[21][21])

 #20 - 26-11-2013 18:56:56

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

provabilité de gagner au badminton

Etonnant de simplicité. Je me demandais si on pouvait résumer cela en une formule, mais je pense que ça doit donner un truc imbouffable.

 #21 - 27-11-2013 09:13:44

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

probabilité de gagner ay badminton

@titoufred #19 :
En effet, c'est plus satisfaisant. On peut ajouter que q[21][21] est la probabilité pour A de gagner si B sert le premier.

Si pa et pb sont les probabilités respectives de A et B de gagner lorsqu'ils servent, la formule générale est :
[TeX]$p[x][y] = (pa*p[x-1][y] + (1-pa)*pb*q[x][y-1]) / (1-(1-pa)*(1-pb))$[/TeX]
[TeX]$q[x][y] = (pa*(1-pb)*p[x-1][y] + pb*q[x][y-1]) / (1-(1-pa)*(1-pb))$[/TeX]

 #22 - 27-11-2013 16:29:19

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Probabilité de gagner au badminotn

J'avais tenté de raisonner autrement:

Soit p le nombre de points marqué par B au cours du match. On définit un cycle comme le nombre de fois où A perd puis récupère le service. Par exemple, si k=0, alors ça veut dire que A a mis les 21 points d'affilée sans jamais perdre le service.

Soit la suite [latex]u_{k,p}[/latex] la suite qui renseigne sur le nombre de façons dont A peut gagner en k cycles quand B marque p points. Supposons dans un premier temps que [latex]p = 0[/latex] et que le premier joueur gagne en k cycles.

On a [latex]u_{0,0}=1[/latex] et [latex]u_{1,0}=21[/latex].
[TeX]u_{2,0}=21+\sum_{i=1}^{20}i=231[/TeX]
Je conjecture [latex]u_{k,0}=C_{20+k}^k[/latex]

De même, le nombre de façon de marquer p points en k cycles est [latex]C_{k+p-1}^p[/latex]. Donc:
[TeX]u_{k,p}=C_{20+k}^{k}C_{k+p-1}^p[/TeX]
Donc, la probabilité recherché serait [latex]P=0.6^{21}+0.6^{21}\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{p=0}^{20}C_{20+k}^kC_{k+p-1}^p(0.4)^k(0.5)^{k+p}[/latex]

Le problème, c'est que je trouve une proba de 0.795 avec Python, et non pas 0.826.

Edit: je viens de trouver où ça coince. Pour retrouver votre résultat, il faut que je fasse varier p de 0 à 21 dans ma formule. Or, par définition, p ne peut varier que de 0 à 20. Où est l'erreur de raisonnement ?

Fred, dans ton programme Python, ne faudrait pas plutôt chercher P[21][20] ?

 #23 - 28-11-2013 12:09:23

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Probabilité de gaagner au badminton

OK, un internaute m'a indiqué que sur Python, la fonction for est mal foutue (une histoire d'intervalle ouvert). Du coup, j'avais une erreur dans mon programme. Je trouve bien 82.06, comme vous tous.

Merci de votre participation !

 #24 - 28-11-2013 16:05:30

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

probabilité de gagner au badmibton

82.06 ou 82.6 ?

 #25 - 28-11-2013 16:51:45

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

probabilité de gagner au badlinton

0.8260937305021038

Désolé, j'ai les doigts qui se sont mélangés. Je trouve bien la même chose que vous. La formule est donc bonne.

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : 

Dans une course, vous doublez le 19ème, en quelle position êtes-vous ?

Mots clés des moteurs de recherche

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete