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 #1 - 19-06-2010 18:45:36

one_handred
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 12

un marcheur sacjant marcher

Bonjour,
tout d'abord les présentations officiels :
One_handred de mon pseudo, un anglicisme Vincent / cent-vin / 100 (- 20) avec une belle faute d'orthographe qui est restée depuis toutes ces années (bon d'accord j'en fait plein mais quand meme sur un pseudo -_-').
vous ne me connaissais pas mais je commence a vous connaitre puisque vous etes ma source de detente lorsque les exos de math deviennent trop lourd. Je suis un bon taupin finissant sa math spé en plein dans les concours

Justement puisqu'on parle de ca, je vous présentes l'exercice/énigme favoris de mes prof en colles : l'exo du marcheur ! bon comme il a deja été presenté par scarta je vous présente donc une petite variante, toute simple, pour ma toute première enigme :

C'est l'histoire d'un marcheur donc, qui marche a une vitesse totalement irréguliere sans se teleporter, un type normal en somme. Mais bon, comme j'aime bien les chiffres rond il marche vite et loin puisqu'il parcours 60 km en 6 heure. pas mal hein big_smile

la question est : existe-t-il au moins un instant T ou il marche a exactement 10km/h

voila, je précise quand meme pour ceux qui doute que j'ai la réponse hein :

comme j'arrive pas trop a evaluer le temps je met 48h de cache
A la prochaine



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 #2 - 19-06-2010 18:47:30

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Un marcheur sachant mrcher

continue comme ça lol


http://enigmusique.blogspot.com/

 #3 - 19-06-2010 18:56:02

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

yn marcheur sachant marcher

Marche-t-il à 10 km/h à un moment donné ?

Si sa vitesse de parcours est continue, alors oui, forcément. Si on considère qu'il change de vitesse comme ça, paf, "sans transition", alors non : il peut marcher à 20 km/h les deux premières heures et à 5 km/h les quatre heures suivantes, par exemple.

Moins difficile que la version "originale" de Scarta, mais une bonne introduction à la notion de continuité d'une fonction lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 19-06-2010 19:03:23

one_handred
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 12

un marcheur szchant marcher

@ kosmogol : ?
@ mths-MlndN  : j'attendais plutot un demonstration mathematique (une application d'un theoreme?), et effectivement il faut préciser qu'il ne peut pas changer de vitesse comme ca, paf, sans transition (passer de 5 a 20 km/h cache)

je l'ai eu aussi celui de scarta, mais j'etais en panique devant mon grand tableau noir, avec ma petite craie blanche big_smile

 #5 - 19-06-2010 19:05:50

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Un marcheur aschant marcher

Dans ce cas, puisque tu insistes... un théorème des valeurs intermédiaires suffit. La vitesse la plus faible du marcheur est A <= 10 km/h, sa vitesse la plus élevée est B >= 10 km/h, la fonction "vitesse du marcheur au cours du temps" est continue, un coup de TVI et hop !

L'explication de la Wikiversité sur le TVI


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #6 - 19-06-2010 19:06:38

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

un maecheur sachant marcher

Bienvenue, ton énigme se rapproche fortement de celle-là par scarta.

Ça n'a pas vraiment valeur de démonstration mais :
Soit la f(x) fonction continue définie par la vitesse instantanée du marcheur à l'instant t.
Soit g(x) = 10 km/h la fonction constante de la vitesse moyenne du marcheur sur les 6 heures de marches.
Alors il y a forcément une intersection de g(x) par f(x), car si la courbe était toujours au dessus, alors la moyenne serait supérieure, et respectivement pour en dessous.

 #7 - 19-06-2010 19:34:58

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 933

Un marcheur sachant mrcher

Ça s'appelle théorème des valeurs intermédiaires, mon cher Red Hand lol


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #8 - 19-06-2010 20:56:03

moicestmoi
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1617
Lieu: Avec vous :-)

un marvheur sachant marcher

Bonjour One_Handred.
Tout d'abord, je te souhaite la bienvenue parmi nous, les fous du forum smile

Pour les pb de mathématique, je suis bien incapable de répondre mais l'important, c'est de participer.

A bientôt donc.


L'angle droit bout à 90 degrés.

 #9 - 20-06-2010 00:46:54

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Un mrcheur sachant marcher

C'est pas le théorème des accroissements finis ?

Vasimolo

 #10 - 20-06-2010 03:50:56

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

un marcheur sachant maecher

Et bien tout simplement, oui.
Puisque 60Km and 6 heures ca fait une moyenne de 10Km/h
Ce qui veut dire qu'au pire il passe une partie du temps au dessus de 10Km/h et une partie en dessous. Et il faut bien qu'a un moment il transitionne par 10Km, meme si ce moment ne dure pas forcement longtemps, il existe.
Dans le meilleur des cas, il transitionneras plusieurs fois par 10Km/h.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #11 - 20-06-2010 04:45:52

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1745

Un marhceur sachant marcher

Bonjour,

Souvenirs souvenirs ...

On peut appliquer le théorème des accroissements finis ("Rolle en oblique", si je me souviens bien ....) à une fonction d (de R dans R) où d(t) = distance parcourue par le marcheur cumulée à l'instant t

d est continue, (et croissante) sur l'intervalle [0, 6 heures] et dérivable  sur ]0, 6 heures[
d(0) = 0 (départ)
d(6) = 60 (arrivée 60 km)



cf Wiki :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or … ents_finis

La pente moyenne est la vitesse moyenne
L'application du théorème permet de dire que la vitesse du marcheur (la vitesse du marcheur est donné par la fonction dérivée de d que l'on noterait d') a été égale à cette moyenne au moins en un instant T.

(le point "critique" c dans le schéma wiki)


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #12 - 20-06-2010 05:31:48

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

Un marcheuur sachant marcher

En raisonnant avec les doigts.
La fonction v(t) est continue et passe donc forcément par sa valeur moyenne.

 #13 - 20-06-2010 13:09:23

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

un marcheur sachant marxher

Si le marcheur ne dépasse jamais 10km/h alors il marche nécessairement à vitesse constante de 10km/h. La réponse est donc oui.

Sinon le marcheur dépasse cette vitesse au moins une fois. Comme avant de marcher sa vitesse était à 0 et que la vitesse est continue, le th de la valeur intermédiaire nous garantit qu'il a forcément marché une fois a 10km/h

 #14 - 20-06-2010 16:13:45

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

Un marchuer sachant marcher

60km en 6h, avec une vitesse continue et différente de 10km/h

sa vitesse est donc soit tout le temps au dessus, soit tout le temps en dessous. Si elle est au dessus, il s'est déplacé plus que le type qui marche à 10km/h, et sinon il s'est déplacé moins.

 #15 - 20-06-2010 22:11:34

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 163
Lieu: devant mon écran

UUn marcheur sachant marcher

Oui évidemment, c'est le théorème des accroissements finis.
Si f(x) est continue sur un intervalle fermé, il existe (au moins) un c tel que f '(c) (vitesse instantannée dans ce cas-ci) = croissance moyenne (vitesse moyenne dans ce cas-ci).


On n’est jamais très fort pour ce calcul...

 #16 - 20-06-2010 22:57:50

falcon
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 106

Un mracheur sachant marcher

Si marcher sans se téléporter signifie que la fonction d : t -> d(t) ou d(t) est la distance parcourue jusqu'à l'instant t est dérivable et que sa dérivée est continue, alors il suffit d'appliquer le théoreme des accroissements finits entre 0 et 6 h . il existe donc T tel que d'(T) = ( d(0) - d(6) ) / 6 = 10 km/h. Or d'(t) est clairement la vitesse du marcheur à l'instant t. donc T est solution du probleme.


Autrement dit : le marcheur ne peut pas aller toujours strictement plus vite que 10 km/h, ni toujours strictement moins vite, sinon il n'est pas possible de faire 60km en 6 h., ainsi il existe des instants t1 et t2 tels que v(t1) < 10km/h < v(t2). enfin la vitesse d'un marcheur varie continuement, donc il y a un instant T entre t1 et t2 (ou entre t2 et t1) vérifiant v(T) = 10 km/h


Il vaut mieux pomper meme s'il ne se passe rien que risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas

 #17 - 21-06-2010 01:06:19

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Un marcheur sachant marcer

Si la vitesse n'est pas une fonction continue, alors on peut trouver un "plan de marche", exemple alternance d'arrêt et de marche à 20 km/h où la vitesse instantanée n'est pas v0=10 km/h.

Si la vitesse est continue sur [0;tf] ...
Soit A : il existe t1 et t2 tels que v(t1) <= v0 <= v(t2) et le théorème des valeurs intermédiaires nous dit que il existe t3 tel que v(t3) = v0.

ou B , pour tout t € [0;tf], v(t) > v0 (resp. <=).
L'image d'un fermé borné par une fonction continue est un fermé borné, donc il existe v1, tel que pour tout t € [0;tf], v(t) >= v1 > v0, dans ce cas, la vitesse moyenne est supérieure (ou égale) à v1 donc différente de v0 : c'est impossible,

donc seul A est possible est il y a bien un instant où la vitesse instantanée est égale à la vitesse moyenne.

 #18 - 21-06-2010 10:07:10

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

un marcheur szchant marcher

Eliminons directement le cas trivial où il marche à vitesse constante de 10 km/h (puisqu'au moins au départ il est à 0).
Si sa vitesse est en permanence inférieure à 10 km/h il ne peut pas marcher à 10 km/h de moyenne (ce qui est le cas par hypothèse).
Or lorsqu'il démarre, il marche à moins de 10 km/h et d'après la remarque précédente, il existe au moins un moment (une période même par continuité) pendant lequel il marche à au moins 10 km/h (plus pour être exact mais cela n'est pas nécessaire pour le raisonnement).
Sa vitesse étant continue, il existe donc au moins un point auquel il marche à exactement 10 km/h.

Si on veut faire plus formel, on peut appliquer le théorème des accroissements finis à l'application f qui associe la distance parcourue au temps.
f(0) = 0, f(6) = 60.
f est continue et dérivable.
Il existe donc c entre 0 et 6 tel que [latex]f'(c)=\dfrac{f(6)-f(0)}{6-0}=10[/latex]
Or f' est la vitesse instantanée à l'instant t et 'c' est le point recherché.

 #19 - 21-06-2010 18:53:07

one_handred
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 12

Un marcheur sachatn marcher

bravo a tous, et merci d'avoir participé.
je suis très content qu'autant de personnes ont prit le temps de répondre a cette énigme.
quasiment tous le monde a répondu correctement.
j'avais pensé effectivement en premier lieu aux accroissement finis.
cette enigme en est une application quasi-direct en prenant en compte que la vitesse est la derivé de la fonction position.
mais comme beaucoup l'ont fait, l'utilisation du théorème des valeurs intermediaires sur la vitesse pouvait aussi suffire. il fallait (je pense, mais je suis pas expert hein !) ecarter rapidement le cas trivial ou le marcheur marche directement a 10km/h pile poil.

merci a tous,
la prochaine ne sera pas aussi facile, elle parlera de pizza (je crois avoir compris que les gateaux sont chère a vasimolo) tiré d'une situation réelle

 #20 - 21-06-2010 21:37:03

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Un marcheur sachant marchher

Pourquoi tu n'as pas compris ma réponse, j'avais le bon mot : "continue", non ?


http://enigmusique.blogspot.com/

 #21 - 21-06-2010 21:42:54

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Un marceur sachant marcher

Edit : laisse Vasimolo tranquille avec les pizzas pour le moment, il a un Mondrian sur le ventre qu'il a du mal a digérer lol


http://enigmusique.blogspot.com/

 #22 - 21-06-2010 23:07:20

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

un marcheur sachant marchzr

Il est vrai que je n'ai pas tes facilités avec ce type d'exercices , je préfère travailler sous terre lollol

Après ingestion et digestion de la 48 je reprendrai des activités humaines , il me reste aussi quelques pizzas smile

Vasimolo

 #23 - 22-06-2010 09:45:37

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

un marcheur sachznt marcher

- Le matheux qui raisonne encore en physique :

"La vitesse est une dérivée de la position, je cherche donc pour la fonction de position f(t) une valeur de t telle que f'(t)=10, je peux utiliser le théorème des accroissements finis."

- Le matheux pur :

"Soit f(x) la vitesse, je veux au moins un x tel que f(x)=10, j'appelle le théorème des valeurs intermédiaires."

Un mélange de ces deux-là donnerait le scientifique ultime lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #24 - 22-06-2010 18:41:10

one_handred
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 12

Un marcheuur sachant marcher

toute mes excuses kosmogol, ton genie n'est pas ma portée wink

ok, je laisse les pizzas tranquilles alors, (de toute facon j'ai pas trouver de logiciel de dessin assez simple et efficace pour sur linux). on s'interessera au nageur.

@Mths --> me semble que le premier est deja un scientifique ultime, apres tout, les maths sont au service de la physique :p

 #25 - 22-06-2010 18:47:54

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

un marcheur sachant marxher

D'où le fait que la maîtrise des maths et de la physique permette d'envoyer du bois en sciences en général, mais vu qu'on étudie plus souvent les maths ou la physique...




Bon, après, si t'as juste envie de me contredire, comme ça, gratuitement, pour le plaisir de me contredire, dis-le-moi, on peut s'arranger lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

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