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 #1 - 19-11-2011 19:16:14

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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âGteau 45

La dernière manie du pâtissier : les gâteaux triangulaires yikes

Il a fait deux coupes droites dans un de ses nouveaux gâteaux, m’a donné trois des parts obtenues en me demandant le poids de la 4ème qu'il exhibait comme un trophée ?????

Voilà les morceaux qu’il m’a fourni

http://img210.imageshack.us/img210/9486/troistriangles.jpg

Il est trop sympa , il offre même une case réponse smile

Amusez-vous bien !!!

Vasimolo

Indice : Spoiler : [Afficher le message] une fois trouvée la forme de la 4ème part tout se joue dans la formule A=bh/2 . Bref c'est de niveau 3ème mad

Non pas taper Mathias lollollol



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 #2 - 19-11-2011 20:15:24

esereth
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 175

hâteau 45

C'est bien vague tout ça

La quatrième part est-elle triangulaire comme les trois autres?
Merci

 #3 - 19-11-2011 23:03:19

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâteua 45

La 4ème part n'est volontairement pas décrite smile

Vasimolo

 #4 - 20-11-2011 11:03:26

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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gâtrau 45

La seule manière de découper trois triangles en 2 coups de couteau est de couper 2 fois en partant d'un sommet. La quatrième part n'est donc pas un triangle smile

De là, le problème est assez trivial (euh, pas si trivial que ça vu que je me suis planté dans le premier jet lol) :
Pour avoir un triangle, il faut que la plus grosse part soient placée entre les sommets d'où partent les traits de coupe.

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-gateau45.JPG

La proportion de surface entre COH et COB étant de 1/3, O est au quart de [BH] et donc, H' est au quart de [AB]

De la même façon :

La proportion de surface entre BOH' et COB étant de 1/2, O est au tiers de [CH'] et donc, H est au tiers de [AC]


On peut alors symétriser le triangle vert OHH' dans OBC et en appliquant 2 fois la proportion des sécantes, on a :

aire(OHH')= aire(OBC) x 1/2 x1/3
aire(OHH') = 50

Edition:

Appelons a l'aire du triangle rouge
X le rapport  AH/AC
Y le rapport AH'/AB

Dans le triangle ABC :

X(600+a) = 150+a
Y(600+a) = 200+a   d'où XY= (150+a)(200+a) / (600+a)^2

Mais aussi : a = XY(600+a)

D'où, après simplification 30000 = 250 a
a=120

L'aire de la quatrième part est donc de 170


J'aime bien tes gâteaux, ils font un peu peur mais ils sont faisables sans trop de complication en fait.

Gwen.

 #5 - 20-11-2011 19:16:32

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

âGteau 45

http://www.prise2tete.fr/upload/looozer-gateau45.jpg

Je ne vois pas d'autre solution d'obtenir 4 parts, dont 3 triangles, en deux coupes rectilignes qu'en passant chaque fois par un sommet du gâteau triangulaire.

(*) Comme les triangles bleu et rouge une base appartenant à la même droite BE et même hauteur, le rapport de leurs aires 1/3 est égal au rapport EF/BF.

Par analogie, pour les triangles vert et rouge on a 1/2=DF/CF.

On trace AF qui permet de diviser les triangles AEB et ADC, chacun en deux parties triangulaires (AEF-AFB d'une part et ADF-AFC de l'autre) dont le rapport des aires vaut respectivement 1/3 et 1/2 pour les mêmes raisons qu'en (*)

Dès lors :
AEF / (AFD+150)=1/3 (j'attribue une aire égale à la masse en g)
AFD / (AFE+100)=1/2

En résolvant le système à deux inconnues, on obtient AEF=90 et AFD=80 dont la somme donne l'aire (et donc la masse) de la 4ème part : 170

 #6 - 20-11-2011 20:53:01

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

Gâteau 4

Juste pour être sûr :
Avant coupes, le gâteau du pâtissier est-il bien triangulaire...?

 #7 - 20-11-2011 23:06:00

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteau 4

Joli looozer smile

Oui TiLapiot le gâteau est triangulaire !

Vasimolo

 #8 - 21-11-2011 08:32:08

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
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Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

Gâtaeu 45

Même si je n'y arrive pas encore roll, ma démarche est la suivante :
- je place le sommet [latex]B[/latex] en (0;0)
- je choisis l’abscisse de [latex]C_0[/latex] au hasard, par ex 50
- je choisis aussi l’ordonnée de [latex]M_0[/latex] au hasard, par ex 20
- je n'impose pas encore de valeur à [latex]x_{M0}[/latex], car elle est indépendante de la la surface de [latex](BC_0M_0)[/latex].
- je calcule la surface de [latex](BC_0M_0)[/latex], elle est de [latex]xC_0.yM_0/2[/latex], soit dans mon exemple de 50*20/2=500
- Comme il faut 300, c'est que mon triangle [latex](BC_0M_0)[/latex] est 5/3 trop grand, soit k ce coeff
- Je lui applique un coeff de [latex]sqrt(k)[/latex], d'où [latex]sqrt(3/5)[/latex] pour la base et la hauteur du gâteau rouge.
- j'obtiens [latex]x_C=sqrt(3/5).xC_0[/latex]
- idem avec [latex]yM_1=sqrt(3/5).yM_0[/latex]
- j'ai alors surface [latex](BCM_1)[/latex]=300, qlq que soit [latex]xM_1[/latex]
- Comme le triangle jaune est 50% plus grand que le bleu, cela signifie que [latex]xM_1/2-x_B<xM_1/2-x_C[/latex], donc je fixe temporairement [latex]xM_1[/latex] à 2/5 de [latex]x_C[/latex]
- je calcule les éq de droite de [latex]CM_1[/latex] et de [latex]BM_1[/latex]
- pfff, que coquin de pâtissier, quand même big_smile
- ensuite, je choisis A au hasard, soient [latex]xA[/latex] et [latex]yA[/latex] ses coord (avec [latex]0<xA<xC[/latex] et [latex]yM1<yA[/latex])
- j'en déduis les éq de droite de AB et [latex]AC[/latex], puis les coord de B' et C'
- par la formule de Héron, je calcule la surface de la part de gâteau bleu au cassis, et la part de gâteau jaune au citron
- comme A a été placé au hasard, et que [latex]xM_1[/latex] est assez arbitraire, les surfaces des deux parts ne font ni 100 ni 150, mais je m'intéresse à leur ratio (=part jaune/part bleue)
- idéalement, ce ratio doit être de 150/100=3/2
- je glisse donc [latex]xM[/latex] jusqu'à ce que le ration fasse exactement 3/2. Ouf, ça converge rapidement !
- ensuite il faut caler le point A. Le malheur, c'est qu'en le déplaçant, latéralement ou verticalement, ça modifie aussi bien la surface des deux petits triangles que leur.......
- ...
-> pour l'instant, je sèche pour obtenir une méthode optimale pour avoir les deux petites surfaces de 150 et 100 roll

 #9 - 21-11-2011 11:06:23

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 479
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gâteay 45

170 g avec deux coupes

http://www.prise2tete.fr/upload/halloduda-g45.png

 #10 - 21-11-2011 11:58:55

NickoGecko
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Messages : 1743

Gâteeau 45

Bonjour !


Est-ce que la découpe ressemblait à cela ?


http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-gato45-1.jpg

Sous quel format faut-il proposer une réponse, juste la valeur ? (ou bien " g") ?

Je continue de chercher l'aire de la quatrième part ...


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #11 - 21-11-2011 12:15:46

dhrm77
L'exilé
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Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

GGâteau 45

peut-on avoir les dimensions des 3 triangles? ou les angles?


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #12 - 21-11-2011 14:24:38

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
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Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

Gâteau 4

Ce midi, requinqué en carotène, j'ai une autre méthode de construction, sans Excel ni WinGeom :

http://img7.imagebanana.com/img/r1wbrfc6/gato45.gif
- je place le sommet B en (0;0), et C n'importe où sur l'axe des abscisses positives
- cela détermine la base du triangle (ABC)
- pour être sûr d'avoir une surface rouge égale à 300, il suffit de choisir l’abscisse yM=600/xC
- comme le triangle jaune est 50% plus grand que le bleu, je fixe xM à 2/5.xC, quitte à déplacer plus tard son abscisse
- on a donc M connu en f° de xC, soit M(2/5.xC;600/xC)
- je calcule l'éq de la droite (BM) : elle passe par B(0;0) et M(2/5.xC,600/xC), d'où y=(1500/x²C)*x
- je calcule l'éq de la droite (CM) : elle passe par C(xC;0) et M(2/5.xC,600/xC), d'où y=1000(xC-x)/x²C
- on sait que la surface du triangle (BMC') vaut 100
- le point C' est le sommet du triangle bleu BMC', et C' est situé sur une parallèle à BM 
- sa base est BM = sqrt(x²M+y²M) =sqrt((2/5.xC)²+(600/xC)²)
- pour obtenir une surface de 100, il faut que la hauteur de (BMC') soit égale à 200/BM
- le point C' est aussi sur la droite (CM) dont on connait déjà l'éq de droite
- on peut donc calculer les coord de C' en f° de xC, ainsi que l'éq de la droite BC'
- ............
- On procède de même avec B' (même problématique que C')
- le sommet A étant l'intersection des droites (BC') et (CB'), on détermine A

Spoiler : [Afficher le message] Bon, y avait une part de fraisier, une autre au citron, et la 3è au cassis, ..., mais elle était à quoi la %#£¤ part de gâteau du haut big_smile big_smile big_smile

 #13 - 21-11-2011 17:48:41

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteaau 45

Une réponse rapide avant de partir au bad :

@Gwen : c'est bon
@TiLapiot : cherche plus simple .
@Halloduda : le pâtissier n'a fait que deux coupes droites .
@NickoGecko : oui ( 100 pour 100 g dans la case réponse ) .
@Dan : tu dois pouvoir te débrouiller avec les indications fournies .

Bonne continuation smile

Vasimolo

PS : si vous voulez un peu de rab de temps , il suffit de demander .

 #14 - 21-11-2011 18:09:41

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
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Lieu: au terrier ;^)

hâteau 45

>> @TiLapiot : cherche plus simple
Huh? Je vais soumettre ton énigme à ma laperette de 15 printemps big_smile big_smile



>> PS : si vous voulez un peu de rab de temps , il suffit de demander .
J'ai 25h pour passer à ma boulangerie, n'est pas pâtissier qui veut big_smile



Ah si je tenais ce "héron" qui nous a pondu sa formule de l'aire du triangle, ..., raaah foutu oiseau http://r15.imgfast.net/users/1511/47/00/82/smiles/135660.gif

 #15 - 22-11-2011 01:02:38

dhrm77
L'exilé
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gâteay 45

Vasimolo a écrit:

@Dan : tu dois pouvoir te débrouiller avec les indications fournies .

Comme les formes donnees ne sont pas proportionnelles aux surfaces donnees, je ne sais pas si les dimensions des figures sont mauvaises ou les angles sont mauvais... Si on commence a modifier les angles, je suppose qu'il y a plein de solutions....


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #16 - 22-11-2011 11:41:56

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteau 5

@Dan : il y a plusieurs formes possibles pour les trois premières parts et donc pour la 4ème mais la masse de celle-ci est bien déterminée .

Vasimolo

 #17 - 22-11-2011 23:11:01

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4733

Gâteauu 45

Une petite relance pour ceux qui ont trouvé smile

Initialement ( certains l'ont peut-être vu ) j'avais proposé des parts de 100g , 275g et 300g mais j'ai choisi de changer ces valeurs .

Ce n'est pas pour que la réponse soit plus aisée ou pour que le résultat soit entier alors pourquoi ?

Vasimolo

 #18 - 23-11-2011 11:31:52

gwen27
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gâtezu 45

Parce que dans le cas des nouvelles valeurs, il n'y a qu'une possibilité pour placer les triangles. Si les traits de coupe partent des sommets d'une autre forme , les deux autres côtés "s'écartent"... la forme du gâteau n'est donc plus triangulaire.

Démonstration avec 150 central (c'est encore pire avec 100)
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-gateau45150.JPG

Tandis qu'avec les premières mesures, 2 cas sont possibles : 275 ou 300 en position "centrale" avec des résultats différents.

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-gateau45bis.JPG

 #19 - 23-11-2011 15:22:08

Vasimolo
Le pâtissier
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GGâteau 45

Une solution un peu détaillée smile

Les façons de couper un gâteau triangulaire avec deux coupes droites sont assez nombreuses mais une seule donne quatre parts dont trois sont des triangles . Il faut couper en partant de deux sommets différents du triangle , la quatrième part est alors un quadrilatère . Je note [latex]a,b,c[/latex] les aires des trois triangles .
http://img847.imageshack.us/img847/6864/solution.jpg
En considérant la hauteur issue de [latex]B[/latex] dans le triangle [latex]BCE[/latex] on obtient [latex]\frac{CX}{EX}=\frac ac[/latex] . De même avec la hauteur issue de [latex]A[/latex] dans [latex]ACE[/latex] : [latex]\frac{CX}{EX}=\frac{b+y}{x}[/latex] . En combinant les deux égalités [latex](b+y)c=ax[/latex] . En procédant de même dans les triangles [latex]ABD[/latex] et [latex]BCD[/latex] : [latex](c+x)b=ay[/latex] . On a donc un système de deux équations à deux inconnues dont les solutions sont [latex]x=\frac{bc(a+c)}{a^2-bc}[/latex] et [latex]y=\frac{bc(a+b)}{a^2-bc}[/latex] soit [latex]x+y=\frac{bc(2a+b+c)}{a^2-bc}[/latex] .

Dans l'exemple donné , comme [latex]100^2-300\times 150[/latex] et [latex]150^2-300\times 100[/latex] sont négatifs la solution est unique : [latex]a=300[/latex] , [latex]\{b,c\}=\{150;100\}[/latex] ce qui donne [latex]x+y=170[/latex] .

Pour les masses 300 g , 275 g et 100 g que j'avais initialement proposées la solution n’est pas unique .

Merci à tous pour la participation , bravo à ceux qui ont trouvé et à bientôt pour un prochain gâteau smile

Vasimolo

 #20 - 25-11-2011 00:09:19

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

gâteay 45

Très belle énigme ; merci Vasimolo smile


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"
 

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