Les deux nombres sont divisibles par 11111 :
Pour le second c'est évident, pour le premier on a deux blocs de 5 chiffres avec que des 1 : 100000x11111+11111

1111111111-22222=11111(100001-2)
=11111x99999
=11111x9x11111

En passant a la racine carrée : 33333 !

Si on dispose la multiplication de 33...33 par 33...33 (n "3" à chaque fois), on obtient en partant de la droite n colonnes comportant 1, 2, ...n-1, n "9", puis n-1 colonnes comportant n-1, ... 2, 1 "9".

Si on ajoute 2 à chacune des n premières colonnes + la retenue de la colonne précédente, on obtient :

1 * 9 + 2 + 0 = 1 * 10 + 1 = 11     retenue 1
2 * 9 + 2 + 1 = 2 * 10 + 1 = 21     retenue 2
...
n * 9 + 2 + n-1 = n * 10 + 1          retenue n.

Pour les colonnes suivantes :

(n-1) * 9 + n    = (n-1) * 10 + 1     retenue n-1
(n-2) * 9 + n-1 = (n-2) * 10 + 1     retenue n-2
...
1 * 9 + 2 = 1 * 10 + 1                   retenue 1
0 * 9 + 1 = 1

On voit bien apparaître le résultat comportant 2n fois le chiffre "1".

CQFD cette fois ?

On pose A=11111, la soustraction devient :

1111111111 - 22222 = A*10^5+A  - 2*A = 99999*A = 9*A*A

Donc la racine n'est plus très compliquée à calculer : 3A = 33333 !

11-2 = 9 = 3^2
1111-22 = 1089 = 33^2


on peut supposer que 1111111111-22222=33333^2
Ma calculette confirme, reste à trouver comment j'aurais pu le prouver.

en mettant 11111 en facteur :
1111111111-22222
= 11111 (100001-2)
=11111 x 99999
=11111^2 x 3^2
=33333^2

L'expression s'écrit $11111(10^6+1-2)$
=$11111[(10-1)(10^5+10^4+10^3+10^2+10+1)]$soit 33333²
La racine est évidemment 33333.

$$1111111111 = 11111 * 100001 1111111111 - 22222 = 11111 * 99999 = 33333^2$$
En gros, $\sqrt{1111111111 - 22222} = 33333$, ce qui est plutôt joli. Mais, euh... En troisième, on t'a donné ça ?

Et tu as trouvé ?!

1111111111- 22222 = 1111111111 - 11111 - 11111
=1111100000 - 11111
=11111*(10*10*10*10*10 -1)
=11111*99999
=11111*11111*3*3
=( 11111*3) * (11111*3)
=33333 * 33333

la reponse est 33333

Soit N ce nombre.
Alors 9N=9999999999-2*99999
9N=10^10-1-2*(10^5-1)
9N=10^10-2*10^5+1
9N=(10^5-1)²
9N=99999²
N=33333²
Intéressant, à mémoriser. Ça peut servir, en lycée de nos jours...

$$\sqrt{1111111111-22222}=\sqrt{1111088889}$$
Ce nombre ce fini par $9$ c'est donc le carré d'un nombre se finissant par $3$.
Si on sépare le nombre comme suit : $11$ $11088889$
On s'aperçoit que $9<11<16$ donc le nombre commence par $3$

On calcul pour voir $33^2=(30+3)^2=1089$ et donc si ma logique est bonne il devrait y avoir cinq $3$ dans le résultat. Mais c'est pas très mathématique tout ça.

Bonjour,

$$1 \ 111 \ 111 \ 111= \frac{10^{10}-1} {9}$$ $$22 \ 222=2*(\frac{10^{5}-1} {9})$$
d'où
$$\begin{eqnarray} 1 \ 111 \ 111 \ 111 - 22 \ 222 & = & \frac{10^{10}-1} {9}-2*(\frac{10^{5}-1} {9}) \nonumber \\ \\&&\\ & = &\frac{10^{10}-1-2*(10^{5}-1)} {9} \nonumber \\ \\&&\\ & = & \frac{10^{10}-2*10^{5}-1+2} {9} \nonumber \\ \\&&\\ & = & \frac{10^{10}-2*10^^{5}+1} {9} \nonumber \end{eqnarray}$$
On reconnaît une identité remarquable :
$$1 \ 111 \ 111 \ 111 - 22 \ 222=\frac{(10^{5}-1)^{2}} {9} \\ \begin{eqnarray} sqrt(1 \ 111 \ 111 \ 111 - 22 \ 222) & = & sqrt(\frac{(10^{5}-1)^{2}} {9}) \nonumber \\ \\&&\\ & = & \frac{10^{5}-1} {3} \nonumber \\ \\&&\\ & = & \frac{99 \ 999} {3} \nonumber \\ \\&&\\ & = & 33 \ 333 \nonumber \end{eqnarray}$$

Sans calculatrice :

Le point important c'est que le premier nombre est constitué de 10 chiffres 1, c'est-à-dire deux chaines de 5 chiffres 1 l'une derrière l'autre, ou encore un million plus une fois la chaîne de 5 chiffres 1, et que le deuxième nombre est constitué de 5 chiffres 2, c'est à dire le double de 5 chiffres 1.

Notre nombre initial (1111111111-22222) peut donc s'écrire comme étant un million plus une fois la chaîne 11111 moins deux fois la chaîne 11111, soit 99999 fois la chaîne 11111, soit encore :
9 x 11111 x 11111

On en déduit facilement la racine : 3 x 11111, soit 33333 !

C'est plus simple de prendre une calculatrice
Klim.

On a :

1111111111-22222=11111X100000+11111-22222=11111x(100000-1)=11111x11111X9 .

Le reste est facile

Vasimolo