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 #1 - 24-05-2011 15:03:20

Yanyan
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Lieu: Lille si j'y suis

calculer la racine fe 1111111111-22222

Veuillez sans calculatrice calculer la racine de 1111111111-22222.
Il y a 10 un et 5 deux et c'est une soustraction.
J'attends les détails de vos calculs.

C'est un petit problème que nous avait donné notre professeur de mathématiques de troisième.
(J'avais trouvé la réponse!)



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 #2 - 24-05-2011 15:15:00

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Lieu: 94110

calculer lz racine de 1111111111-22222

Chapeau Yanyan big_smile !
Et maintenant tu es en première et demi ? lol lol

Bon. Réfléchissons.

11 - 2 = 9 = 3²
1111 - 22 = 1089 = 33²
...
1111111111 - 22222 = 33333²

CQFD ? lol

Non ? Mais ça donne une bonne piste de réflexion.

 #3 - 24-05-2011 15:40:16

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Calculer la racine de 111111111-22222

Les deux nombres sont divisibles par 11111 :
Pour le second c'est évident, pour le premier on a deux blocs de 5 chiffres avec que des 1 : 100000x11111+11111

1111111111-22222=11111(100001-2)
=11111x99999
=11111x9x11111

En passant a la racine carrée : 33333 !

 #4 - 24-05-2011 15:57:59

Nicouj
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Callculer la racine de 1111111111-22222

11111*(100001 - 2) = 11111*99999 = 11111²*3²

-> 333333

 #5 - 24-05-2011 16:08:09

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Lieu: 94110

Calculer la racine de 11111111111-22222

Si on dispose la multiplication de 33...33 par 33...33 (n "3" à chaque fois), on obtient en partant de la droite n colonnes comportant 1, 2, ...n-1, n "9", puis n-1 colonnes comportant n-1, ... 2, 1 "9".

Si on ajoute 2 à chacune des n premières colonnes + la retenue de la colonne précédente, on obtient :

1 * 9 + 2 + 0 = 1 * 10 + 1 = 11     retenue 1
2 * 9 + 2 + 1 = 2 * 10 + 1 = 21     retenue 2
...
n * 9 + 2 + n-1 = n * 10 + 1          retenue n.

Pour les colonnes suivantes :

(n-1) * 9 + n    = (n-1) * 10 + 1     retenue n-1
(n-2) * 9 + n-1 = (n-2) * 10 + 1     retenue n-2
...
1 * 9 + 2 = 1 * 10 + 1                   retenue 1
0 * 9 + 1 = 1

On voit bien apparaître le résultat comportant 2n fois le chiffre "1".

CQFD cette fois ? smile

 #6 - 24-05-2011 16:19:26

Bamby2
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Calculer la racine de 111111111-22222

vu les grand nombre, je suppose qu'il y a un rapport entre le fait qu'il y en ai 10 et 5.....
je regarde pour
2 et 1 : 11-2 = 9 -> 3
4 et 2 : 1111-22 = 33²
6 et 3 111111-222 le début ressemble étrangement a 333²
j'extrapole donc, et je réponds 33333 smile

 #7 - 24-05-2011 16:30:55

Autleaf
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calculer la tacine de 1111111111-22222

On pose A=11111, la soustraction devient :

1111111111 - 22222 = A*10^5+A  - 2*A = 99999*A = 9*A*A

Donc la racine n'est plus très compliquée à calculer : 3A = 33333 ! big_smile

 #8 - 24-05-2011 16:40:09

scarta
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Calculer la racine de 111111111-22222

On commence déjà par mettre en facteur 11111:
1111111111-22222 = 11111(100001-2) = 11111.99999
A partir de là, c'est facile: 11111.11111.9 = 11111².3²
La racine vaut donc 33333

 #9 - 24-05-2011 17:01:37

gwen27
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calculer la racine dr 1111111111-22222

11-2 = 9 = 3^2
1111-22 = 1089 = 33^2


on peut supposer que 1111111111-22222=33333^2
Ma calculette confirme, reste à trouver comment j'aurais pu le prouver.

en mettant 11111 en facteur :
1111111111-22222
= 11111 (100001-2)
=11111 x 99999
=11111^2 x 3^2
=33333^2

 #10 - 24-05-2011 17:49:05

Franky1103
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calculer lz racine de 1111111111-22222

Bonjour,
Pas mal cette petite énigme.
En 3è, Yanyan devait avoir 13 ou 14 ans.
Et il était déjà costaud en maths: bravo.
Mais revenons à nos moutons:
1111111111 - 22222
= 1111100000 + 11111 - 2 x 11111
= 11111 x (100000 + 1 - 2)
= 11111 x 99999
= 11111 x 11111 x 9
= (11111 x 3) x (11111 x 3)
= 33333 x 33333
La réponse est donc: 33333
Bonne soirée.
Frank

 #11 - 24-05-2011 19:07:53

halloduda
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Calcculer la racine de 1111111111-22222

L'expression s'écrit [latex]11111(10^6+1-2)[/latex]
=[latex]11111[(10-1)(10^5+10^4+10^3+10^2+10+1)] [/latex]soit 33333²
La racine est évidemment 33333.

 #12 - 24-05-2011 19:19:01

rivas
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Lieu: Jacou

calculer la rzcine de 1111111111-22222

[TeX]1111111111-22222=11111(100001-2)=11111.99999=11111^2.3^2[/TeX]
La racine carré s'en déduit.
Amusant. Merci.

 #13 - 24-05-2011 19:56:03

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Calculer la racine d 1111111111-22222

[TeX]1111111111 = 11111 * 100001
1111111111 - 22222 = 11111 * 99999 = 33333^2[/TeX]
En gros, [latex]\sqrt{1111111111 - 22222} = 33333[/latex], ce qui est plutôt joli. Mais, euh... En troisième, on t'a donné ça ?

Et tu as trouvé ?! yikes


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #14 - 24-05-2011 20:33:56

Yanyan
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Lieu: Lille si j'y suis

Calcule rla racine de 1111111111-22222

Oui j'ai trouvé, en fait seul deux faits mathématiques m'ont marqués avant l'université. Le premier vous l'aurez compris est cet question, le second est en spé math quand j'ai réussi à montré qu'un certain cône ne possédait pas de points dont toutes les coordonnées étaient divisible par 7 autre que 0.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #15 - 24-05-2011 20:35:32

petitetete44
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Calculer la racine de 111111111122222

1111111111- 22222 = 1111111111 - 11111 - 11111
=1111100000 - 11111
=11111*(10*10*10*10*10 -1)
=11111*99999
=11111*11111*3*3
=( 11111*3) * (11111*3)
=33333 * 33333

la reponse est 33333

 #16 - 24-05-2011 20:38:10

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

aClculer la racine de 1111111111-22222

Beaucoup de bonnes réponses. Les méthodes employées sont intéressantes.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #17 - 24-05-2011 21:18:25

scrablor
Expert de Prise2Tete
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Calculer la racine dee 1111111111-22222

Soit N ce nombre.
Alors 9N=9999999999-2*99999
9N=10^10-1-2*(10^5-1)
9N=10^10-2*10^5+1
9N=(10^5-1)²
9N=99999²
N=33333²
Intéressant, à mémoriser. Ça peut servir, en lycée de nos jours...


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #18 - 24-05-2011 21:19:03

Cédric-29
Habitué de Prise2Tete
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Calculer la racin de 1111111111-22222

1111111111-22222 = [latex][\frac{1}{9}10^{10}-\frac{1}{9}\]-2[\frac{1}{9}10^{5}-\frac{1}{9}\][/latex]
1111111111-22222 = [latex]\frac{1}{9}[10^{10}-2.10^{5}+1][/latex]
1111111111-22222 = [latex]\frac{1}{9}[10^{5}-1]^2[/latex]
[TeX]1111111111-22222=\(33333\)^2[/TeX]

 #19 - 24-05-2011 23:22:46

shadock
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Messages : 3332

Calculer la racine de 11111111111-22222

[TeX]\sqrt{1111111111-22222}=\sqrt{1111088889}[/TeX]
Ce nombre ce fini par [latex]9[/latex] c'est donc le carré d'un nombre se finissant par [latex]3[/latex].
Si on sépare le nombre comme suit : [latex]11[/latex] [latex]11088889[/latex]
On s'aperçoit que [latex]9<11<16[/latex] donc le nombre commence par [latex]3[/latex]

On calcul pour voir [latex]33^2=(30+3)^2=1089[/latex] et donc si ma logique est bonne il devrait y avoir cinq [latex]3[/latex] dans le résultat. Mais c'est pas très mathématique tout ça. hmm


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #20 - 25-05-2011 01:14:07

papiauche
Sa Sainteté
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Calucler la racine de 1111111111-22222

1111111111=11111*100001
22222=2*11111

1111111111-22222=11111*(100001-2)=11111*99999=3*3*11111*11111

La racine carrée attendue est donc 33333.


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #21 - 25-05-2011 10:36:45

Mathix
Amateur de Prise2Tete
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Messages : 5

Calculer la racine de 11111111111-22222

Bonjour,
[TeX]
1 \ 111 \ 111 \ 111= \frac{10^{10}-1} {9}[/TeX][TeX]
22 \ 222=2*(\frac{10^{5}-1} {9})[/TeX]
d'où
[TeX]
\begin{eqnarray}
1 \ 111 \ 111 \ 111 - 22 \ 222 & = & \frac{10^{10}-1} {9}-2*(\frac{10^{5}-1} {9}) \nonumber \\
\\&&\\
& = &\frac{10^{10}-1-2*(10^{5}-1)} {9} \nonumber \\
\\&&\\
& = & \frac{10^{10}-2*10^{5}-1+2} {9} \nonumber \\
\\&&\\
& = & \frac{10^{10}-2*10^^{5}+1} {9} \nonumber
\end{eqnarray}
[/TeX]
On reconnaît une identité remarquable :
[TeX]
1 \ 111 \ 111 \ 111 - 22 \ 222=\frac{(10^{5}-1)^{2}} {9}
\\
\begin{eqnarray}
sqrt(1 \ 111 \ 111 \ 111 - 22 \ 222) & = & sqrt(\frac{(10^{5}-1)^{2}} {9}) \nonumber \\
\\&&\\
& = & \frac{10^{5}-1} {3} \nonumber \\
\\&&\\
& = & \frac{99 \ 999} {3} \nonumber \\
\\&&\\
& = & 33 \ 333 \nonumber
\end{eqnarray}
[/TeX]

 #22 - 25-05-2011 12:05:47

franck9525
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Messages : 1932
Lieu: UK

Calculer la raine de 1111111111-22222

1111111111-22222=11111(100001-2)=11111*99999=11111²*3²=33333²

11-2=3²
11(101-2)=11*11*3²=33²
111(1001-2)=111²*3²=333²
1111(10001-2)=1111²*3²=3333²


The proof of the pudding is in the eating.

 #23 - 25-05-2011 17:09:22

Klimrod
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Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

calculer la racine se 1111111111-22222

Sans calculatrice :

Le point important c'est que le premier nombre est constitué de 10 chiffres 1, c'est-à-dire deux chaines de 5 chiffres 1 l'une derrière l'autre, ou encore un million plus une fois la chaîne de 5 chiffres 1, et que le deuxième nombre est constitué de 5 chiffres 2, c'est à dire le double de 5 chiffres 1.

Notre nombre initial (1111111111-22222) peut donc s'écrire comme étant un million plus une fois la chaîne 11111 moins deux fois la chaîne 11111, soit 99999 fois la chaîne 11111, soit encore :
9 x 11111 x 11111

On en déduit facilement la racine : 3 x 11111, soit 33333 !

C'est plus simple de prendre une calculatrice lol
Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #24 - 25-05-2011 17:31:11

racine
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1224

Calculer la racine de 111111111-22222

1111111111-22222=1111111111-2*11111
                           = 1111100000 - 11111
                           = 11111(100000-1)
                           =11111*99999
                           =11111*9*11111
                           =11111²*3²
                           =33333²
La réponse attendue est donc 33333.
De même:
11 - 2 = 9 = 3²
1111 - 22 = 1089 = 33²
111111 - 222 = 110889 = 333²
11111111 - 2222 = 11108889 = 3333²

 #25 - 25-05-2011 17:54:54

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,233E+3

Calcuuler la racine de 1111111111-22222

On a :

1111111111-22222=11111X100000+11111-22222=11111x(100000-1)=11111x11111X9 .

Le reste est facile smile

Vasimolo

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