étant donné les doublons, je me place sur un demi cercle, avec 3 segments de 4, 14 et 22cm qui le partagent.

Il y a donc 4 points, disons A,B,C,D
de coordonnées :
[TeX]A(-r,0),\quad B(r \cos x, r \sin x),\quad C(r \cos y, r \sin y),\quad D(r,0)[/TeX]
avec [latex]AB = \sqrt{r^2 {(\cos x +1)}^2+r^2 \sin^2 x}= r \sqrt{2(1+\cos x)}=4[/latex]
[TeX]BC = r \sqrt{{(\cos y - \cos x)}^2+{(\sin y - \sin x)}^2} = r \sqrt{2(1-\cos x \cos y - \sin x \sin y)} = r \sqrt{2(1-\cos(y-x))}=14[/TeX]
[TeX]CD=r\sqrt{{(1-\cos y)}^2+\sin^2 y}=r\sqrt{2(1-\cos y)} = 22[/TeX]
portons tout au carré:
[TeX]r^2 (1+\cos x)=8[/TeX]
[TeX]r^2 (1-\cos(x-y))= 98[/TeX]
[TeX]r^2 (1-\cos y)=242[/TeX]
Ou en notant [latex]X=\cos x[/latex] et [latex]Y=\cos y[/latex], il vient :
[TeX]r^2 (1+X)=8[/TeX]
[TeX]r^2 (1-XY-\sqrt{1-X^2}\sqrt{1-Y^2})= 98[/TeX]
[TeX]r^2 (1-Y)=242[/TeX]
Un ordi doit pouvoir résoudre ca mais j'ai la flemme.

r vérifie arcsin(11/r)+arcsin(7/r)+arcsin(2/r) = pi/2

solution r = 14 (solveur excell...)

Il doit y avoir une démo plus classe...

14 cm.

Et je ne sais pas du tout pourquoi

Je sais démontrer que R=14 convient mais je ne vois pas comment aboutir à cette valeur...

Pour cette vérification, je note 2a l'angle qui intercepte les 22 cm et 2b celui qui intercepte les 4 cm. En traçant les bissectrices, j'obtiens deux valeurs utiles :
[TeX]sin a = \frac{11}{14}[/latex] et [latex]sin b = \frac{2}{14}[/TeX]
Par suite :
[TeX]cos a = \frac{\sqrt{75}}{14}[/latex] et [latex]cos b = \frac{\sqrt{192}}{14}[/TeX]
Une petite formule :
[TeX]cos(a+b)=cos a cos b - sin a sin b = \frac12[/latex] d'où [latex]a+b=\frac\pi3[/TeX]
2a+2b valent donc 120° et un triangle équilatéral de côté 14 a un angle au centre de 60°, le total donne bien 180° avec un triangle de chaque sorte, donc 360° pour le tout.

Avec l'indice Ptolémée :
J'ai réorganisé les cordes à ma guise...

AB*CD+BC*AD=AC*BD
On connaît AB=22, BC=4 et CD=14.
On pose AD=2r et les longueurs AC et BD sont des troisièmes côtés de triangles rectangles.

En élevant au carré après division par 4 : [latex](r^2-11^2)(r^2-7^2)=(2r+77)^2[/latex]

On réduit et ordonne : [latex]r^4-174r^2-308r=0 [/latex]

On factorise : [latex]r(r-14)(r^2+14r+22)=0[/latex]

Il n'y a qu'une solution strictement positive : r=14.

J'avais tout oublié de Ptolémée.

methode intuitive
on dit que le périmètre du cercle est un peu plus grang que celui de l'hexagone donc en prenant pi=3 on aura une valeur approchée du périmètre de l'hexagone donc 6R=80 donc R=13.3

démonstration
si on trace les rayons sur le cercle de centre O on arrive à 6 triangles isocèles:
2 triangles isocèles de base 4 cm et d'angle à la base a°
2 triangles isocèles de base 14 cm et d'angle à la base b°
2 triangles isocèles de base 22 cm et d'angle à la base c°

la somme des angles d'un hexagone est de 720° donc 4(a+b+c)=720 donc a+b+c=180°

Si on prend un triangle de chaque et qu'on les colle les uns contre les autres alors l'angle en O est 180-2a+180-2b+180-2c=540-2(a+b+c)=540-360=180° donc il est plat

donc ce quadrilatère est inscrit dans un demi-cercle dont les côtés sont 4cm; 14cm; 22cm et 2R

puisque les point sont sur les demi cercle alors il y a 2 triangles rectangles donc les diagonales valent [latex]\sqrt{4R^2-16}=2\sqrt{R^2-4}[/latex] et [latex]\sqrt{4R^2-196}=2\sqrt{R^2-49}[/latex]

donc d'après le théorème de Ptolémée
[TeX]4\sqrt{R^2-49}\sqrt{R^2-4}=4\times 14+22\times 2R[/TeX]
[TeX]\sqrt{(R^2-49)(R^2-4)}=14+11R[/TeX]
[TeX]R^4-53R^2+196=(14+11R)^2=196+308R+121R^2[/TeX]
[TeX]R(R^3-174R-308)=0[/TeX]
donc [latex]R=0 ou R^3-174R-308=0[/latex]

et en testant le rayon vaut 14 cm ou en faisant le méthode de Cardan que je n'ai jamais utilisé.....

Bravo aussi à Gabriel et Looozer

Vasimolo

MthS-MlndN a écrit:

14 cm.

ce n'est pas si mal, juste un peu en dessous de la moyenne

kosmogol a écrit:

MthS-MlndN a écrit:

14 cm.

ce n'est pas si mal, juste un peu en dessous de la moyenne

...au repos...