Notre apprenti calamiteux a bien trop fait cuire le quatre quarts que je lui ai commandé . Profitant de l'absence de son patron , je lui fait remarquer que le bord du gâteau se sent un peu mal . Voulant bien faire , il s'empare d'un couteau et commence à 'enlever les parties incriminées . Les pas de son chef dans son dos lui font quelque peu massacrer la fin du travail et voilà la bête :
Mais quel était donc le rayon du gâteau ????
Vasimolo
Pour ceux qui veulent une démonstration "à la main" :
étant donné les doublons, je me place sur un demi cercle, avec 3 segments de 4, 14 et 22cm qui le partagent.
Il y a donc 4 points, disons A,B,C,D de coordonnées : A(−r,0),B(rcosx,rsinx),C(rcosy,rsiny),D(r,0) avec AB=√r2(cosx+1)2+r2sin2x=r√2(1+cosx)=4 BC=r√(cosy−cosx)2+(siny−sinx)2=r√2(1−cosxcosy−sinxsiny)=r√2(1−cos(y−x))=14 CD=r√(1−cosy)2+sin2y=r√2(1−cosy)=22 portons tout au carré: r2(1+cosx)=8 r2(1−cos(x−y))=98 r2(1−cosy)=242 Ou en notant X=cosx et Y=cosy, il vient : r2(1+X)=8 r2(1−XY−√1−X2√1−Y2)=98 r2(1−Y)=242 Un ordi doit pouvoir résoudre ca mais j'ai la flemme.
On peut diviser notre gâteau en 6 triangles isocèles dont les cotés égaux sont le rayon et le dernier coté un des cotés du gâteau (4, 14 ou 22). Nous obtenons ainsi 2 exemplaires de trois triangles différents.
Les aires de ces triangles en fonction du rayon sont 4sqrt(r2−4), 7sqrt(r2−49) et 11sqrt(r2−121).
Si on répartit différemment les six triangles on peut découper le gâteau en deux parts égales séparées par un diamètre et dont les 4 cotés sont 4, 14, 22 et 2r. Ces parts sont des quadrilatères inscrits dans un cercle on peut donc exprimer leur aire en fonction de leur cotés : sqrt(r+16)(r+6)(r−2)(−r+20)
en comparant la somme des aires des trois triangles différents avec celle d'une moitié de gâteau, http://www.wolframalpha.com/ me répond 14 en approximation. En remplaçant je trouve bien que 14 est correct.
Je sais démontrer que R=14 convient mais je ne vois pas comment aboutir à cette valeur...
Pour cette vérification, je note 2a l'angle qui intercepte les 22 cm et 2b celui qui intercepte les 4 cm. En traçant les bissectrices, j'obtiens deux valeurs utiles : sina=1114[/latex]et[latex]sinb=214 Par suite : cosa=√7514[/latex]et[latex]cosb=√19214 Une petite formule : cos(a+b)=cos a cos b - sin a sin b = \frac12[/latex] d'où [latex]a+b=\frac\pi3 2a+2b valent donc 120° et un triangle équilatéral de côté 14 a un angle au centre de 60°, le total donne bien 180° avec un triangle de chaque sorte, donc 360° pour le tout.
Avec l'indice Ptolémée : J'ai réorganisé les cordes à ma guise... AB*CD+BC*AD=AC*BD On connaît AB=22, BC=4 et CD=14. On pose AD=2r et les longueurs AC et BD sont des troisièmes côtés de triangles rectangles.
En élevant au carré après division par 4 : (r^2-11^2)(r^2-7^2)=(2r+77)^2
On réduit et ordonne : r^4-174r^2-308r=0
On factorise : r(r-14)(r^2+14r+22)=0
Il n'y a qu'une solution strictement positive : r=14.
J'avais tout oublié de Ptolémée.
Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.
methode intuitive on dit que le périmètre du cercle est un peu plus grang que celui de l'hexagone donc en prenant pi=3 on aura une valeur approchée du périmètre de l'hexagone donc 6R=80 donc R=13.3
démonstration si on trace les rayons sur le cercle de centre O on arrive à 6 triangles isocèles: 2 triangles isocèles de base 4 cm et d'angle à la base a° 2 triangles isocèles de base 14 cm et d'angle à la base b° 2 triangles isocèles de base 22 cm et d'angle à la base c°
la somme des angles d'un hexagone est de 720° donc 4(a+b+c)=720 donc a+b+c=180°
Si on prend un triangle de chaque et qu'on les colle les uns contre les autres alors l'angle en O est 180-2a+180-2b+180-2c=540-2(a+b+c)=540-360=180° donc il est plat
donc ce quadrilatère est inscrit dans un demi-cercle dont les côtés sont 4cm; 14cm; 22cm et 2R
puisque les point sont sur les demi cercle alors il y a 2 triangles rectangles donc les diagonales valent \sqrt{4R^2-16}=2\sqrt{R^2-4} et \sqrt{4R^2-196}=2\sqrt{R^2-49}
donc d'après le théorème de Ptolémée 4\sqrt{R^2-49}\sqrt{R^2-4}=4\times 14+22\times 2R \sqrt{(R^2-49)(R^2-4)}=14+11R R^4-53R^2+196=(14+11R)^2=196+308R+121R^2 R(R^3-174R-308)=0 donc R=0 ou R^3-174R-308=0
et en testant le rayon vaut 14 cm ou en faisant le méthode de Cardan que je n'ai jamais utilisé.....
Je préfère celles qui n'utilisent pas les solveurs ou autre ( ça n'engage que moi )
Ma solution est celle de scrablor et looozer , changer l'ordre des côtés , pythagore et Ptolémée . On tombe sur une équation de degré trois mais la solution "évidente" 14 apparait assez vite
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, mais y'aura-t-il quelqu'un pour résoudre l'énigme sans solveur ou autre abominable machinerie 
