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 #1 - 07-07-2010 20:29:28

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4789

Gâeau 12

Un petit gâteau aux fruits pour se reposer :

Depuis que le nouvel apprenti sévit chez le pâtissier du coin , les gâteaux ont des formes vraiment bizarres . J'avais commandé un poirier pour six et j'ai reçu une vague chose de forme triangulaire .

http://img697.imageshack.us/img697/4799/6partsgales.jpg

Pour le partager , j'ai relié chaque sommet au milieu du côté opposé . J'ai bien six parts mais sont-elles toujours égales ?

Bonne dégustation !!!

Vasimolo



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 #2 - 07-07-2010 20:45:15

emmaenne
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Au sud du Nord

gâtrau 12

moi je vois 6 parts et tu parles de 4 parts, comment veux-tu que je m'en sorte sad


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #3 - 07-07-2010 21:00:08

scrablor
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Enigmes résolues : 49
Messages : 947

Gâteau 21

Application classique du théorème de Thalès et de la position du centre de gravité aux deux tiers de la médiane en partant du sommet...
http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/college/aire/medianes.png
Le triangle rouge a même base que ABC et une hauteur réduite au tiers car GA'=AA'/3.
Ainsi : aire(BGC)=aire(BAC)/3.
La position de A' au milieu de [BC] donne aussi : aire(BGA')=aire(BGC)/2.
Par suite : aire(BGA')=aire(BAC)/6.
Il en est de même pour les cinq autres petits triangles.
Bon appétit big_smile


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #4 - 07-07-2010 21:04:01

looozer
Expert de Prise2Tete
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Messages : 663
Lieu: Belgique

GGâteau 12

http://www.prise2tete.fr/upload/looozer-gateau12.jpg

Dans chaque paire 1-2 , 3-4 et 5-6, les triangles ont même aire puisqu'il ont même base (BN=NC) et même hauteur (sommet commun).

Les triangles BMC et BPC ont aussi même base et même hauteur puisque MP||BC, on en déduit que BMP-(3+4) = BPC-(3+4) et donc 2=5. Même raisonnement pour montrer que 1=4 et que 3=6.

Les 6 triangles ont donc la même aire.

 #5 - 07-07-2010 21:22:24

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

gâreau 12

oui

triangle ABC, de milieux a,b,c (a opposé de A, b opposé de B et c opposé de C), et O centre du triangle (croisement des médianes)

On note S(xyz) l'aire du triangle xyz.

comme a milieu de BC, S(OaB) = S(OaC)
de meme S(OcA)=S(OcB) et S(ObA)=S(ObC).
(En d'autres termes, les petits triangles cotes à cotes qui partagent un coté du gros triangle sont de meme aire)

De plus, S(AaB)=S(AaC) (les deux moitiés du gros triangle issu de A et coupé au milieu sont de meme aire)

et en developpant chaque coté il vient :
S(OcA) + S(OcB) + S(OaB) = S(ObA) + S(ObC) + S(OaC)

qui se simplifie en S(OcA)=S(ObA),

et par symétrie (de rôle joué, pas dans la figure), on a l'égalité pour tout le monde...

 #6 - 08-07-2010 00:41:45

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4789

Gâteua 12

Bonne réponse de scrablor , looozer et McFlambi smile

Emmaenne fait semblant de ne pas comprendre sous prétexte que j'ai tapé 4 au lieu de 6 , où va se nicher la mauvaise foi smile

Essayez , c'est facile et les solutions sont multiples smile

Vasimolo

 #7 - 08-07-2010 02:45:34

chaton_endormi
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Enigmes résolues : 0
Messages : 2

Gâteeau 12

Affirmation : Les 6 parts d'un triangle (non-aplati) découpé par ses médianes sont d'aires égales.

1°) C'est évident par symétrie si le triangle est équilatéral.

2°) Si c'est vrai pour un triangle T, c'est vrai pour tout triangle f(T) où f est une transformation affine du plan.

En effet, f conserve les milieux et les segments ( f[AB] = [f(A)f(B)] ) donc f envoie un triangle et ses médianes sur un triangle et ses médianes.

De plus, f multiplie les aires par une constante non-nulle, donc conserve les égalités d'aires.

3°) Pour tout triangle non aplati, il existe un triangle équilatéral T et une application affine tel que f(T) soit ce triangle-là.

(Car les transformations du plan agissent transitivement sur les triangles non aplatis.)

Ce qui prouve l'affirmation.

Par conséquent, les six convives auront bien tous autant à manger.

 #8 - 08-07-2010 08:30:14

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
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hâteau 12

J'ai une démonstration assez rapide. Comme le ratio entre les différentes aires reste inchangé par une transformation linéaire, on peut transformer ce triangle en triangle équilatéral, pour lequel les aires sont manifestement égales :
http://www.prise2tete.fr/upload/McFlambi-triangles.jpg

*On peut même juste s'arrêter à l'isocèle du dessin, ca suffit pour généraliser.

 #9 - 08-07-2010 08:34:24

McFlambi
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Gâteau 21

sinon le calcul direct donne aussi la réponse, puisque l'aire d'un petit triangle est

s = l * h / 2                (où s l'aire, l la largeur, et h la hauteur du petit triangle)
s = L/2 * H/3 / 2          (où L la largeur, et H la hauteur du grand triangle)
s = (L*H/2) / 6 = S / 6               (où S l'aire du grand triangle)

 #10 - 08-07-2010 10:18:59

rivas
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Gtâeau 12

Les parts sont toujours égales.
Cela est du à l'utilisation des médianes.

Je numérote les surfaces comme ci-dessous:
http://www.prise2tete.fr/upload/rivas-6partsgales.jpg

On raisonne sur l'égalité des surfaces. La surface d'un triangle est égale (par exemple) à (la base x la hauteur)/2. Si on considère S4 et S5, elles sont égales car la hauteur des 2 triangles est la même et la base aussi (puisque le point du bas est le milieu du segment).

Le même raisonnement donne: S1+S6+S5=S2+S3+S4 et comme S4=S5, S1+S6=S2+S3. Encore le même raisonnement donne S1=S6 et S2=S3 donc l'égalité précédente donne 2S1=2S2 par exemple donc S1=S2=S6=S3 et séparément S4=S5.

En utilisant S4+S5+S6=S1+S2+S3, en simplifiant par S6 et S3 par exemple puisqu'ils sont égaux, et en appliquant les égalités déjà connues, on obtient, 2S4=2S1 donc S1=S2=S3=S6=S4=S5.

CQFD.
J'ai trouvé ce gâteau la plus digeste que certains autres smile Merci.

 #11 - 08-07-2010 10:50:32

emmaenne
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Lieu: Au sud du Nord

Gâteau 21

mauvaise foi peut-être mais bon foie lol


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #12 - 08-07-2010 13:01:36

dhrm77
L'exilé
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gâtrau 12

Je dirais oui.
Ca se démontre par la surface d'un triangle qui est égal a sa base fois sa hauteur sur 2. Du fait que l'on coupe entre un sommet et le milieu de la base d'un triangle, chaque coupe divise un triangle en 2 partie égales, quelque soit la position du sommet, pour a la fin avoir 6 petits triangles a surfaces égales.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #13 - 08-07-2010 15:47:27

gabrielduflot
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Messages : 609

âGteau 12

oui
Si ABC est un triangle et A'; B' et C' les milieux des côtés des côtés [BC],[AC] et [AB] alors (AA'); (BB') et (CC') sont les 3 médianes et G le centre de gravité alors les triangles ABG et ACG et BCG sont de même aire.
d'où (GC') est donc une médiane du triangle ABG et donc l'aire du triangle AGC' est égale à l'aire du triangle GBC' et de même pour les triangle GBC et GAC

 #14 - 08-07-2010 23:16:05

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

gâtrau 12

Je dirais : OUI.

Une médiane issue de A sépare un triangle en 2 morceaux de mêmes surface (on peut le "sentir" en faisant des bandes étroites parallèles au coté BC qui sont coupées en 2 par la médiane ou bien l'affirmer car la surface du triangle c'est base x hauteur / 2).

Si on appelle H, I, J, K, L et M les surfaces des six parts du gateau (H bleu, I rose etc...).

L'application de la règle ci-dessus donne H = I, J = K et L = M.

De plus, H+I+J = K + L + M et I + J + K = L + M + H donc H = K et de la même façon I = L et J = M.

Donc tout le monde ils sont égaux !!!!

 #15 - 09-07-2010 09:51:05

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

gâteay 12

Une médiane coupe le triangle original en 2 triangles contenant 3 parts chacun.
Ces deux triangles ont en commun au moins 2 cotés : la médiane et la moitié de la base dont la médiane est issue.
Le troisième coté de chacun des deux triangles est un des deux autres cotés du triangle.  Ces 2 demi triangles ont la même aire ssi leur troisieme coté sont égaux.
Donc les six parts ne peuvent pas être de même surface si le triangle n'est pas équilatéral.
Si il l'est alors les parts sont trivialement de même surface, donc de même aire.

Finalement les 6 parts sont égales ssi le triangle est équilateral.

 #16 - 11-07-2010 00:57:26

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4789

Gââteau 12

Bonsoir tout le monde smile

Beaucoup de réponses et plein de méthodes que je vous laisse regarder et critiquer , je n'ai pas mieux à proposer .

Nicouj s'est un peu mélangé les pinceaux avec les aires et les périmètres mais bon , ça prouve qu'en fin de compte ça n'était pas si simple  cool

J'ai encore une bonne dizaine de gâteau au congel mais je pense qu'après les vacances je passerais à autre chose ( problèmes de dés , carte ou magie à la pelle ) .

Encore merci aux participants smile

Vasimolo

 #17 - 11-07-2010 12:15:23

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

fâteau 12

vi je me suis bien planté big_smile.
Un copain me l'a fait remarqué vendredi et m'a aidé a comprendre mon erreur.

Je me basait sur la formule de Héron pour le calcul d'aire de triangle quelconque.
[latex]\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/latex] avec a, b, c les cotés et p le demi périmètre.

Je m'étais dit que si juste un coté change alors un seul facteur du produit change et donc le résultat change.

En fait j'ai oublié que si un coté change alors p aussi et donc les autres facteurs changent aussi mais pas forcément le résultat ><.

 

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